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Digitales Schulbuch
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Hyperbeln

Die Graphen von Potenzfunktionen, die einen negativen Exponenten haben, werden Hyperbeln genannt. Sie bestehen aus zwei zueinander symmetrischen Hyperbelästen.
Hyperbel Sachsen Anhalt Mathe Sekundarschule
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Für die Hyperbeln der Funktionen \(y=x^{-1}\) und \(y=x^{-2}\) mit dem Definitionsbereich \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\) gilt:
  • Für sehr große und sehr kleine Werte für \(x\) nähern sich die Graphen der \(x\)-Achse an, erreichen oder überschreiten diese jedoch nie.
  • Beide Funktionen haben keine Nullstelle.
  • Beide Graphen verlaufen durch den Punkt \(P(1 \mid 1).\)
  • Der Graph der Funktion mit \(y=x^{-2}\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, während der Graph der Funktion \(y=x^{-1}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
  • Beide Teilgraphen zu \(y=x^{-1}\) sind fallend. Der Graph zu \(y=x^{-2}\) steigt für \(x\lt0\) und fällt für \(x\gt0.\)
  • Der Wertebereich der Funktion \(y=x^{-1}\) ist \(\mathbb R\backslash\{0\}.\) Zum Wertebereich der Funktion \(y=x^{-2}\) gehören alle positiven reellen Zahlen.