Zufallsversuche und Wahrscheinlichkeiten

Definition

Bei einem Zufallsversuch sind die möglichen Ergebnisse bekannt. Es kann jedoch nicht vorhergesagt werden, welches Ergebnis eintritt.
Ein Zufallsversuch lässt sich beliebig oft wiederholen.

Beispiel

Werfen eines Würfels

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In der Ergebnismenge $\boldsymbol{S}$ werden alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs zusammengefasst.

Mögliche Ergebnisse:
$S=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}$

Ergebnisse können zu einem Ereignis $\boldsymbol{E}$ zusammengefasst werden. Die Ergebnisse, die einem Ereignis entsprechen, heißen dann günstige Ergebnisse.

Ereignis $E:$ Augenzahl größer als $2$
Günstige Ergebnisse:
$E=\{3;\,4;\,5;\,6\}$

Bei einem Laplace-Versuch haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ lässt sich wie folgt berechnen:

$P(E)=\dfrac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}$

Ereignis $E:$ Augenzahl ist gerade
mögliche Ergebnisse: $1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$
günstige Ergebnisse: $2,\,4,\,6$
$P(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\,\%$

Wird ein Zufallsversuch sehr oft wiederholt, so gilt näherungsweise:
relative Häufigkeit $\boldsymbol{\approx}$ Wahrscheinlichkeit

$P(3)=\frac{1}{6}$
Wird der Würfel sehr oft geworfen, so wird etwa in einem Sechstel aller Fälle die Zahl $3$ gewürfelt.

Die Summenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse ist.

$\begin{array}[t]{rll} P(1 \text{ oder } 2)&=& P(1)+P(2) \\[5pt] &=& \frac{1}{6}+\frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \end{array}$

In manchen Fällen kann es einfacher sein, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $E$ mit dem Gegenereignis $\boldsymbol{\overline{E}}$ (nicht $E$ ) zu berechnen.

Es gilt: $P(E)=1-P(\overline{E})$

Ereignis $E:$ Zahl größer $1$
Gegenereignis $\overline{E}:$ Zahl $1$
$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& 1-P(\overline{E}) \\[5pt] &=& 1-\frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{5}{6} \end{array}$