Prozentuale Veränderung

Prozentuale Erhöhung

Der ursprüngliche Wert wird als Grundwert bezeichnet und entspricht $100\,\%.$

Der veränderte Wert ist der um einen Prozentwert $p\,\%$ vermehrte Grundwert.

Bei einer Erhöhung um $p\%$ kann der veränderte Wert $(100+p)\,\%$ berechnet werden, indem der Grundwert mit dem Zunahmefaktor $1+\dfrac{p}{100}$ multipliziert wird.

Grundwert Prozentwert Prozentuale Veränderung Erhöhung

Beispiel:

Die Miete einer Wohnung beträgt $450\,€.$ Im nächsten Monat soll diese um $20\,\%$ erhöht werden. Wie hoch ist der neue Mietpreis im folgenden Monat?

Der neue Preis entspricht $120\,\%$ des Grundwerts von $450\,€.$ Es muss also mit dem Zunahmefaktor $1,2$ multipliziert werden:

Prozentuale Verminderung

Der ursprüngliche Wert wird als Grundwert bezeichnet und entspricht $100\,\%.$

Der veränderte Wert ist der um einen Prozentwert $p\,\%$ verminderte Grundwert.

Bei einer Verminderung um $p\,\%$ kann der veränderte Wert $(100-p)\,\%$ berechnet werden, indem der Grundwert mit dem Abnahmefaktor $1-\dfrac{p}{100}$ multipliziert wird.

Verminderter Wert Prozentuale Veränderung Verminderung

Beispiel:

Ein Fahrrad kostet $500\,€.$ Bei einer Rabattaktion gibt es einen Preisnachlass von $15\,\%.$ Berechne den reduzierten Preis.

Der neue Preis entspricht $85\,\%$ des Grundwerts von $500\,€.$ Es muss also mit dem Abnahmefaktor $0,85$ multipliziert werden:

Fahrrad Rabatt Verminderter Wert Prozentuale Veränderung

Berechnung des Grundwertes bei verändertem Grundwert

Der Grundwert kann durch Umkehren der Rechnung und Rückwärtsrechnen berechnet werden.

Beispiel:

Nach einer Preiserhöhung von $5\,\%$ kostet eine Monatskarte für den Zug $33,60\,€.$ Wie viel hat sie vorher gekostet?

Rechnung:

$\begin{array}[t]{rll} G&=& 33,60\,€ : 1,05& \\[5pt] &=& 32€ \end{array}$

Berechnung des Prozentsatzes bei verändertem Grundwert

Die prozentuale Veränderung kann berechnet werden, indem der veränderte Wert durch den Grundwert geteilt wird. Umschreiben in Prozent und Abziehen der $100\,\%$ des Grundwertes liefert dann die Veränderung in Prozent.

Beispiel:

Der Preis für ein Laptop wurde von $400€$ auf $340\,€$ gesenkt. Um wie viel Prozent wurde der Preis gesenkt?

Rechnung:

$\dfrac{340\,€}{400\,€}=0,85=85\,\%$

Die prozentuale Änderung beträgt somit $85\,\%-100\,\% =-15\,\%$

Der Preis wurde also um $15\,\%$ gesenkt.

Berechne die fehlenden Angaben.

Alter Preis	Erhöhung	Neuer Preis
$75\,€$	$5\,\%$
$325\,€$	$19\,\%$
$22,50\,€$	$12\,\%$
$60\,€$	$5,5\,\%$
$80\,€$	$3,5\,\%$

Alter Preis	Ermäßigung	Neuer Preis
$8,50\,€$	$20\,\%$
$95,50\,€$	$30\,\%$
$525\,€$	$12\,\%$
$18\,€$	$2,5\,\%$
$105\,€$	$84,8\,\%$

Alter Preis	Veränderung	Neuer Preis
$135\,€$		$152,55\,€$
	$-15\,\%$	$74,46\,€$
$120\,€$		$105\,€$
$1,56\,€$		$1,50\,€$
	$+15\,\%$	$57,04\,€$

Im Kino Cosmos gibt es regelmäßig Filmpremieren. Der Saal, in dem die Veranstaltungen stattfinden, bietet 160 Zuschauern Platz. In der abgelaufenen Saison kostete eine Karte $16€$ .

Eine Filmpremiere ist durchschnittlich zu $95\,\%$ ausgebucht.

Wie hoch sind die Einnahmen aus solch einer Vorstellung?

Die Geschäftsführung überlegt, aufgrund der steigenden Kosten und Ausgaben den normalen Ticketpreis im nächsten Jahr auf $18€$ zu erhöhen.

Berechne, um wie viel Prozent die Ticketpreise steigen würden.

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Alter Preis	Erhöhung	Neuer Preis
$75\,€$	$5\,\%$	$78,75\,€$
$325\,€$	$19\,\%$	$386,75\,€$
$22,50\,€$	$12\,\%$	$25,20\,€$
$60\,€$	$5,5\,\%$	$63,30\,€$
$80\,€$	$3,5\,\%$	$82,80\,€$

Alter Preis	Ermäßigung	Neuer Preis
$8,50\,€$	$20\,\%$	$6,80\,€$
$95,50\,€$	$30\,\%$	$66,85\,€$
$525\,€$	$12\,\%$	$462\,€$
$18\,€$	$2,5\,\%$	$17,55\,€$
$105\,€$	$84,8\,\%$	$15,96\,€$

Alter Preis	Veränderung	Neuer Preis
$135\,€$	$+13\,\%$	$152,55\,€$
$87,60\,€$	$-15\,\%$	$74,46\,€$
$120\,€$	$-12,5\,\%$	$105\,€$
$1,56\,€$	$-4\,\%$	$1,50\,€$
$49,60\,€$	$+15\,\%$	$57,04\,€$