Bestimme die Länge der kürzesten und die Länge der längsten der acht Kanten sowie das Volumen der Pyramide

Ermittle eine Gleichung von in Koordinatenform.

[zur Kontrolle: ]

Bestimme die Größe des Winkels, den die Ebene mit der --Ebene einschließt.

Der Punkt wird nun so parallel zur -Achse verschoben, dass für den dadurch entstehenden Punkt gilt: Das Viereck hat in einen rechten Innenwinkel.

Um die Koordinaten von zu bestimmen, kann folgender Ansatz verwendet werden:

Erläutere diesen Ansatz.

Längste Kantenlänge:

Kleinste Kantenlänge:

Das Koordinatengitter in der Abbildung zeigt, dass die Grundfläche ein Drachenviereck mit Diagonalen der Länge und ist. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist somit gegeben durch:

Da die Grundfläche der Pyramide in der -Ebene liegt, folgt aus den Koordinaten von dass die Pyramide eine Höhe von besitzt. Damit ergibt sich für das Volumen der Pyramide:

Zwei mögliche Spannvektoren der Ebene sind gegeben durch:

Ein Normalenvektor der Ebene muss somit die folgenden beiden Bedingungen erfüllen:

Daraus ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

Da der Normalenvektor beliebig skaliert werden kann, kann einer der drei Einträge frei gewählt werden. Mit liefert Gleichung somit z.B. direkt Einsetzen dieser beiden Werte in Gleichung ergibt:

Ein möglicher Normalenvektor der Ebene ist somit durch gegeben und hat damit eine Gleichung der Form Einsetzen der Koordinaten von in diese Gleichung liefert direkt sodass insgesamt folgt: