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C - Stochastik

Aufgaben
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1
1.1
Bestimme unter Angabe einer geeigneten Zufallsgröße die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
Bei $100$ Würfen fällt genau $77$-mal die Zahl $1.$
Bei $100$ Würfen fällt mindestens $73$-mal aber höchstens $81$-mal die Zahl $1.$
(5 BE)
1.2
Für ein Gewinnspiel wird der Spielwürfel bei jedem Spiel viermal geworfen. Man betrachtet die Augensumme der vier Würfe.
1.2.1
Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der geworfenen Zahlen $4$ ist, größer ist als die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der geworfenen Zahlen $8$ ist.
(2 BE)
1.2.2
Einen Hauptpreis erhält eine Spielerin bzw. ein Spieler, wenn die Summe der geworfenen Zahlen mindestens $7$ ist. Zeige, dass auf lange Sicht im Mittel etwa bei einem von zwanzig Spielen ein Hauptpreis vergeben wird.
(3 BE)
1.2.3
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Spiel ein Trostpreis vergeben wird, beträgt $\frac{81}{256}.$
Gib den Spielausgang an, bei dem die Spielerin bzw. der Spieler einen Trostpreis erhält, und begründe deine Angabe.
(2 BE)
1.2.4
Beurteile jede der beiden folgenden Aussagen:
Wird bei einmaligem Werfen des Spielwürfels die geworfene Zahl betrachtet, so handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment.
Wird bei mehrfacher Durchführung des beschriebenen Spiels jeweils festgehalten, ob ein Trostpreis oder ob ein Hauptpreis vergeben wird, so handelt es sich um eine Bernoulli- Kette.
(4 BE)
#bernoullikette
2
Ein Supermarkt bietet Nass- und Trockenfutter für Hunde jeweils in einer normalen Variante und in einer energiereduzierten Light-Variante an. Im Folgenden werden ausschließlich Kundinnen und Kunden betrachtet, die sich bei einem Kauf von Hundefutter für genau eine dieser vier Varianten entscheiden. Zwei Drittel dieser Personen kaufen Trockenfutter, $40\,\%$ davon entscheiden sich für die Light-Variante. Von den Personen, die Nassfutter kaufen, entscheiden sich nur $25\,\%$ für die Light-Variante.
Von den betrachteten Kundinnen und Kunden wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden die folgenden Ereignisse:
„Die Person kauft Trockenfutter.“
„Die Person entscheidet sich für eine der beiden Light-Varianten.“
2.1
Stelle den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
(4 BE)
#baumdiagramm
2.2
Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $L$ eintritt, $35\,\%$ beträgt.
(2 BE)
2.3
Die zufällig ausgewählte Person entscheidet sich für eine der beiden Light-Varianten. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um Nassfutter handelt.
(4 BE)
2.4
Der Leiter des Supermarktes vermutet, dass der Anteil der Personen, die Trockenfutter kaufen, gestiegen ist, und möchte die Bestellmengen von Trockenfutter erhöhen. Vorher soll die Vermutung des Leiters mit Hilfe eines geeigneten Hypothesentests überprüft werden. Dazu werden $100$ zufällig ausgewählte Käuferinnen und Käufer von Hundefutter betrachtet, die sich entweder für Trockenfutter oder für Nassfutter entscheiden.
Getestet wird die Nullhypothese $H_0:\, p \leq \frac{2}{3}.$
Entwickle im Sachzusammenhang eine Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%.$
(4 BE)
#hypothesentest
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmenC - Stochastik
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die unter $100$ Würfen die Anzahl der Würfe beschreibt, bei denen die Zahl $1$ fällt. Da die Wahrscheinlichkeit für eine $1$ bei jedem Wurf unabhängig der bisherigen Ergebnisse gleich bleibt, ist $X$ binomialverteilt mit $n=100$ und $p = \frac{9}{12} = 0,75.$
Für Ereignis $A$ ergibt sich mithilfe der Formel für binomialverteilte Zufallsgrößen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=77) \\[5pt] &=& \binom{100}{77}\cdot 0,75^{77}\cdot 0,25^{23} \\[5pt] &\approx& 0,0847 \\[5pt] &=& 8,47\,\% \end{array}$
$ P(A)\approx 8,47\,\% $
Für Ereignis $B$ kannst du eine geeignete Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p=0,75$ verwenden. Du erhältst dann:
$\begin{array}[t]{rll} P( B )&=& P(73\leq X \leq 81) \\[5pt] &=& P(X \leq 81)- P(X\leq 72) \\[5pt] &\approx& 0,9370 - 0,2776 \\[5pt] &=& 0,6594 \\[5pt] &=& 65,94\,\% \end{array}$
$ P(B)\approx 65,94\,\% $
#binomialverteilung
1.2.1
$\blacktriangleright$  Größere Wahrscheinlichkeit begründen
Um in vier Würfen die Augensumme $8$ zu erzielen, muss in allen vier Würfen die Zahl $2$ fallen.
Für die Augensumme $4$ muss in allen vier Würfen die Zahl $1$ fallen.
Die Wahrscheinlichkeit für eine $1$ ist in jedem Wurf mit $75\,\%$ größer als die Wahrscheinlichkeit für eine $2$ mit $25\,\%,$ da nur drei der zwölf Würfelseiten mit $2$ beschriftet sind, aber alle übrigen mit $1.$
Da also in jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit für eine $1$ größer ist als für eine $2,$ ist auch die Wahrscheinlichkeit dafür in allen vier Würfen eine $1$ zu erzielen höher als in allen vier Würfen eine $2$ zu erzielen.
Die Augensumme $4$ hat also eine höhere Wahrscheinlichkeit als die Augensumme $8.$
#pfadregeln
1.2.2
$\blacktriangleright$  Mittel auf lange Sicht nachweisen
Damit die Summe der geworfenen Zahlen in vier Würfen mindestens $7$ beträgt, darf höchstens einmal die Zahl $1$ geworfen werden. Betrachte die Zufallsgröße $X_4,$ die unter vier Würfen die Anzahl der Würfe beschreibt, in denen die Zahl $1$ fällt. Diese ist aus den gleichen Gründen wie $X$ binomialverteilt mit $n=4$ und $p=0,75.$ Die Wahrscheinlichkeit für höchstens eine $1$ beträgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} P(X_4 \leq 1 )&=& P(X_4=0) + P(X_4 = 1) \\[5pt] &=& \binom{4}{0}\cdot 0,75^0\cdot 0,25^4 + \binom{4}{1}\cdot 0,75^1\cdot 0,25^3 \\[5pt] &\approx& 0,0508 \\[5pt] &=& 5,08\,\% \end{array}$
$ P(X_4 \leq 1 ) \approx 5,08\,\% $
Bei jedem Spiel beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptpreis also $5\,\%.$ Dies entspricht im Mittel jedem zwanzigsten Spiel, bei dem ein Hauptpreis vergeben wird.
#binomialverteilung
1.2.3
$\blacktriangleright$  Spielausgang angeben
Aufgrund der Pfadregeln müssen sich alle Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Spielausgänge nach vier Würfen als Bruch mit dem Nenner $12^4$ darstellen lassen. Erweitere also die angegebene Wahrscheinlichkeit auf diesen Nenner.
$12^4 : 256 = 81$
Der Bruch muss also mit $81$ erweitert werden:
$\frac{81}{256} = \frac{81\cdot 81}{256\cdot 81} = \frac{81^2}{12^4} = \frac{9^4}{12^4} = \left(\frac{9}{12}\right)^4$
$\frac{81}{256} = \left(\frac{9}{12}\right)^4$
$\frac{9}{12}$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Wurf die Zahl $1$ fällt. Aufgrund der Pfadmultiplikationsregel ist $\frac{81}{256} = \left(\frac{9}{12}\right)^4$ also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in allen vier Würfen die Zahl $1$ fällt.
Der Trostpreis wird vergeben wenn in allen vier Würfen die Zahl $1$ fällt.
#pfadregeln
1.2.4
$\blacktriangleright$  Aussagen beurteilen
$A_1$
Bei einem Bernoulli-Experiment, gibt es lediglich zwei mögliche Ausgänge des Experiments, die in der Regel als Treffer und Nichttreffer bezeichnet werden. Da bei einmaligem Werfen nur zwei Ausgänge möglich sind, entweder es fällt die Zahl $1$ oder die Zahl $2,$ kann eine der beiden Zahlen als Treffer bezeichnet und die andere als Nichttreffer bezeichnet werden. Damit handelt es sich beim einmaligen Werfen des Spielwürfels um ein Bernoulli-Experiment.
Aussage $A_1$ ist also richtig.
$A_2$
Wird ein Bernoulli-Versuch mehrfach hintereinander ausgeführt, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette. Wird bei mehrfacher Durchführung des Spiels jeweils festgehalten, ob ein Trostpreis oder Hauptpreis vergeben wird, so handelt es sich bei den einzelnen Durchgängen aber nicht um Bernoulli-Experimente, da es noch den dritten möglichen Ausgang gibt, dass kein Preis vergeben wird. Es gibt in jedem Durchgang also drei mögliche Ausgänge.
Die Aussage $A_2$ ist also nicht richtig.
2.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
C - Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
C - Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $L$ zeigen
Mit den Pfadregeln folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(L)&=& P(T)\cdot P_T(L) + P(\overline{T})\cdot P_{\overline{T}}(L) \\[5pt] &=& \frac{2}{3}\cdot 0,4 + \frac{1}{3}\cdot 0,25 \\[5pt] &=& 0,35 \\[5pt] &=& 35\,\% \end{array}$
$ P(L)=35\,\% $
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $L$ beträgt also $35\,\%.$
#pfadregeln
2.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Verwende den Satz von Bayes.
$\begin{array}[t]{rll} P_L(\overline{T})&=& \dfrac{P_{\overline{T}}(L)\cdot P(\overline{T})}{P(L)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,25\cdot \frac{1}{3}}{0,35} \\[5pt] &=& \frac{5}{21} \\[5pt] &\approx& 0,2381 \\[5pt] &=& 23,81\,\% \end{array}$
$ P_L(\overline{T})\approx 23,81\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $23,81\,\%$ handelt es sich bei einer gekauften Light-Variante um Nassfutter.
#satzvonbayes
2.4
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel entwickeln
Die Nullhypothese ist mit $H_0:\, p\leq \frac{2}{3}$ angegeben. Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die unter $100$ zufällig ausgewählten Käuferinnen und Käufern die Anzahl derer beschreibt, die sich für Trockenfutter entscheiden.
Gilt die Nullhypothese, so kann $Y$ im Extremfall als binomialvereteilt mit $n=100$ und $p = \frac{2}{3}$ angenommen werden.
Gesucht ist die kleinste Grenze $k,$ für die gerade noch $P(Y >k)\leq 0,05$ gilt. Forme diese Ungleichung mithilfe des Gegenereignisses um und verwende dann eine geeignete Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ um $k$ zu bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y> k) &\leq& 0,05 \\[5pt] 1-P(Y\leq k)&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P(Y\leq k)&\leq& -0,95 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(Y\leq k) &\geq& 0,95 \end{array}$
$ P(Y\leq k) \geq 0,95 $
Suche nun in der Tabelle das kleinste $k,$ für das gerade noch $P(Y\leq k) \geq 0,95 $ erfüllt ist. Du erhältst:
$ P(Y\leq 74)\approx 0,9542 $ und $P(X\leq 73)\approx 0,9285$
Das kleinste $k$ für das die angegebene Gleichung entsprechend des Signifikanzniveaus von $95\,\%$ erfüllt ist, ist also $k= 74.$
Wird in der Stichprobe festgestellt, dass mehr als $74$ Käuferinnen und Käufer Trockenfutter kaufen, kann der Leiter des Supermarktes davon ausgehen, dass sich der Anteil des verkauften Trockenfutters erhöht hat und wird die Bestellmengen für Trockenfutter erhöhen. Andernfalls kann er nicht von einer erhöhten Verkaufszahl ausgehen und erhöht die Bestellmengen für Trockenfutter nicht.
#binomialverteilung
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