D – Stochastik

Die Wintersportart Biathlon kombiniert Skilanglauf und Schießen, wobei ein Teil der Schüsse im Liegen absolviert wird und der restliche Teil im Stehen. Bei jedem Schuss wird unterschieden, ob ein Treffer erzielt wird oder nicht.

An einem bestimmten Tag trainiert ein Biathlet Schüsse im Stehen. Zunächst schießt er mit Ruhepuls und erzielt bei 120 Schüssen 84 Treffer. Nach einer Laufeinheit schießt er mit leicht erhöhtem Puls und erzielt bei 80 Schüssen 62 Treffer. Betrachtet werden die Ereignisse

$R:$

„Der Biathlet schießt mit Ruhepuls.“

$T:$

„Der Biathlet erzielt einen Treffer.“

1.1

Stelle für den beschriebenen Sachzusammenhang die absoluten Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

1.2

Beschreibe das Ereignis $R \cap \overline{T}$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

1.3

Beurteile die folgende Aussage: „Mit Ruhepuls erzielt der Biathlet einen höheren Anteil an Treffern als mit leicht erhöhtem Puls.“

(3 BE)

Bei einer Biathlonwettkampfform sind die Schüsse entsprechend der folgenden Übersicht zu absolvieren:

Nach der 1. Laufrunde: 5 Schüsse im Liegen

Nach der 2. Laufrunde: 5 Schüsse im Stehen

Nach der 3. Laufrunde: 5 Schüsse im Liegen

Nach der 4. Laufrunde: 5 Schüsse im Stehen

Es kann davon ausgegangen werden, dass eine bestimmte Biathletin im Liegen mit der Wahrscheinlichkeit $p_1 = 0,85$ und im Stehen mit der Wahrscheinlichkeit $p_2 = 0,78$ einen Treffer erzielt.

2.1

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $B$ und erläutere, warum man im gegebenen Sachzusammenhang die Verwendung von konstanten Wahrscheinlichkeiten $p_1$ bzw. $p_2$ infrage stellen könnte.

$A:$

„Die Biathletin erzielt bei den insgesamt 10 Schüssen im Stehen genau 7 Treffer.“

$B:$

„ Die Biathletin erzielt bei den insgesamt 10 Schüssen im Liegen höchstens 8 Treffer.“

(5 BE)

2.2

Formuliere ein Ereignis $E,$ dessen Wahrscheinlichkeit sich durch folgenden Term berechnen lässt:

$P(E)=\left(\displaystyle\sum_{i=4}^{5}\pmatrix{5\\i}\cdot 0,85^i\cdot 0,15^{5-i} \right)^2\cdot \left(\displaystyle\sum_{i=0}^{3}\pmatrix{5\\i}\cdot 0,78^i\cdot 0,22^{5-i} \right)^2$

(2 BE)

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1.1

	$\color{#fff}{T}$	$\color{#fff}{\overline{T}}$	$\color{#fff}{\displaystyle\sum}$
$\color{#fff}{R}$	$84$	$36$	$120$
$\color{#fff}{\overline{R}}$	$62$	$18$	$80$
$\color{#fff}{\displaystyle\sum}$	$146$	$54$	$200$

1.2

Der Biathlet schießt mit Ruhepuls und erzielt keinen Treffer.

1.3

$\begin{array}[t]{rlll} P_R(T)&=&\dfrac{P(R\cap T)}{P(R)} \\[5pt] &=&\dfrac{84}{120} \\[5pt] &=&0,7 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} P_\overline{R}(T)&=&\dfrac{P\left(\overline{R}\cap T\right)}{P\left(\overline{R}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{62}{80} \\[5pt] &=&0,775 \end{array}$

Somit gilt $P_R(T)\lt P_\overline{R}(T),$ das heißt die Aussage ist falsch.

2.1

Für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $B$ folgt:

$P(A)=B(10;0,78;7)\approx0,2244=22,44\,\%$

$P(B)=F(10;0,85;8)\approx 0,4557=45,57\,\%$

Die Verwendung von konstanten Wahrscheinlichkeiten $p_1$ und $p_2$ kann infrage gestellt werden, da z.B. mit zunehmender Dauer des Wettkampfs die Erschöpfung der Biathletin eine größere Rolle spielt oder auch andere Faktoren wie z.B. Wettereinflüsse oder Nervosität in entscheidenden Phasen des Wettkampfs die Trefferwahrscheinlichkeit beeinflussen können.

2.2

Die Biathletin erzielt in den beiden Schussblöcken im Liegen jeweils mindestens $4$ Treffer und in den beiden Schussblöcken im Stehen jeweils maximal $3$ Treffer.

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