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C1 - Lineare Algebra, Analytische Geometrie

Aufgaben
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Ein neu geplantes Mehrfamilienhaus soll $9\,\text{m}$ breit, $15\,\text{m}$ lang und inklusive Dach $9\,\text{m}$ hoch werden. Das Material zeigt eine Darstellung des Hauses im Koordinatensystem. Der Erdboden wird durch die $xy$-Ebene beschrieben. In dieser Ebene liegen die Eckpunkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ des rechteckigen Hausbodens. Der Punkt $G$ hat die Koordinaten $G(9\mid 15\mid 6).$ Der Dachfirst $\overline{IJ}$ verläuft horizontal und mittig über der Dachbodenfläche $EFGH.$
1.1
Gib die Koordinaten der Punkte $C,$ $F$ und $J$ an.
Beschrifte die Achsen im Material mit einer geeigneten Skalierung.
(5 BE)
1.2
Gib eine Parametergleichung der Ebene $T$ an, in der die Dachfläche $FGJI$ liegt, und bestimme eine Koordinatengleichung dieser Ebene.
[Zur Kontrolle: $2x+3z = 36$ ist eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene.]
(6 BE)
#parameterform#ebenengleichung#koordinatenform
1.3
Berechne den Flächeninhalt der gesamten Dachfläche des Hauses.
(3 BE)
1.4
Berechne das Volumen des Mehrfamilienhauses.
(3 BE)
1.5
Damit das Dach für die geplante Installation einer Photovoltaikanlage geeignet ist, sollte die Dachneigung zwischen $30$ und $35$ Grad betragen. In diesem Sachzusammenhang wird folgende Rechnung durchgeführt:
(1)
$\overrightarrow{u}_1 = \pmatrix{-4,5\\0\\3},$ $\overrightarrow{u}_2 = \pmatrix{-9\\0\\0}$
(2)
$\cos \alpha = \dfrac{\pmatrix{-4,5\\0\\3}\circ \pmatrix{-9\\0\\0}}{\left| \pmatrix{-4,5\\0\\3}\right| \cdot \left| \pmatrix{-9\\0\\0}\right|} = …$
(1)
$\overrightarrow{u}_1 = \pmatrix{-4,5\\0\\3},$ $\overrightarrow{u}_2 = \pmatrix{-9\\0\\0}$
(2)
$\cos \alpha = \frac{\pmatrix{-4,5\\0\\3}\circ \pmatrix{-9\\0\\0}}{\left| \pmatrix{-4,5\\0\\3}\right| \cdot \left| \pmatrix{-9\\0\\0}\right|} = …$
Erläutere den Ansatz in Zeile (1) und den Rechenschritt in Zeile (2).
Berechne den Winkel $\alpha.$
Deute dein Ergebnis für $\alpha$ im Sachzusammenhang.
(4 BE)
Auf dem Nachbargrundstück steht eine $13,5\,\text{m}$ hohe Tanne im Punkt $P(30,75\mid 6\mid 0).$ Zu einem bestimmten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht in Richtung des Vektors $\overrightarrow{v} = \pmatrix{-2\\0\\-0,5} $ auf die Dachfläche $FGJI.$
1.6
Prüfe, ob der Schatten der Tannenspitze zu diesem Zeitpunkt auf die Dachfläche $FGJI$ trifft.
(5 BE)
2.
Im Garten des Hauses soll ein Blumenbeet angelegt werden. Dafür sollen Pflanzen dreier Pflanzengattungen gekauft werden. Eine Pflanze der Gattung Sonnenhut kostet $3\,€,$ eine der Gattung Phlox $4\,€$ und eine der Gattung Malve $6\,€.$ Es sollen genau $25$ Pflanzen für insgesamt $100\,€$ gekauft werden. Darunter sollen doppelt so viele Pflanzen der Gattung Sonnenhut wie Pflanzen der Gattung Malve sein.
2.1
Mithilfe der Informationen im Text wird das folgende lineare Gleichungssystem aufgestellt:
$\begin{array}{llllll} \text{I}\quad&x_s & &-2x_M &=& 0 \\ \text{II}\quad& x_s& +x_p& +x_M &=& 25 \\ \text{III}\quad&3x_s&+4x_p& +6x_M &=& 100 \\ \end{array}$
$\begin{array}{llllll} \text{I}\quad&… \\ \text{II}\quad& … \\ \text{III}\quad&… \\ \end{array}$
Gib eine Definition der verwendeten Variablen an.
Erläutere die Bedeutung der einzelnen Gleichungen im Sachzusammenhang.
(4 BE)
#gleichungssystem
2.2
Das lineare Gleichungssystem besitzt ohne Beachtung des Sachzusammenhangs unendlich viele Lösungen.
Berechne diese Lösungen.
(5 BE)
2.3
Eine mögliche Darstellung aller Lösungen des linearen Gleichungssystems lautet:
$\overrightarrow{x} = \pmatrix{x_s\\x_p\\x_M} = \pmatrix{0\\25\\0} + t\cdot \pmatrix{2\\-3\\1}$
$\overrightarrow{x} = \pmatrix{x_s\\x_p\\x_M} = \pmatrix{0\\25\\0} + t\cdot \pmatrix{2\\-3\\1}$
2.3.1
Um eine mögliche Bepflanzung des Beetes darzustellen, müssen $x_s,$ $X_p$ und $x_M$ nichtnegative ganzzahlige Werte annehmen.
Untersuche, welche Werte $t$ unter dieser Bedingung annehmen kann.
(3 BE)
2.3.2
Gesucht ist die Bepflanzung mit der maximal möglichen Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut. Bestimme die Anzahlen der Pflanzen der Gattung Sonnenhut, Phlox und Malve für diese Bepflanzung.
(2 BE)
Material
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Punkte angebenC1 - Lineare Algebra, Analytische Geometrie
Der Punkt $G$ besitzt die Koordinaten $G(9\mid 15\mid 6).$ Der Punkt $C$ ist laut der Abbildung im Material der Eckpunkt des Hauses, der direkt darunter liegt. Er besitzt daher die gleiche $x$- und $y$-Koordinate wie $G$ und die $z$-Koordinate $0:$
$C(9\mid 15\mid 0)$
Analog erhältst du auch die Koordinaten von $F:$
$F(9\mid 0\mid 6)$
Der Punkt $J$ ist ein Endpunkt des Dachfirstes. Da der First mittig über der Dachbodenfläche liegt, ist seine $x$-Koordinate die Hälfte der $x$-Koordinate von $G.$ Die $y$-Koordinate entspricht der von $G.$ Da das Haus insgesamt $9\,\text{m}$ hoch ist, ist die $z$-Koordinate von $J$ $9.$
$J(4,5\mid 15\mid 9)$
$\blacktriangleright$  Achsen beschriften
C1 - Lineare Algebra, Analytische Geometrie
Abb. 1: Beschriftung
C1 - Lineare Algebra, Analytische Geometrie
Abb. 1: Beschriftung
1.2
$\blacktriangleright$  Parametergleichung angeben
$\begin{array}[t]{rll} T:\quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OG} + r\cdot \overrightarrow{GF} + s\cdot \overrightarrow{GJ} \\[5pt] &=& \pmatrix{9\\15\\6} + r\cdot \pmatrix{0\\-15\\0} + s\cdot \pmatrix{-4,5\\ 0\\3} \end{array}$
$ T:\, … $
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung bestimmen
Einen Normalenvektor der Ebene $T$ kannst du mithilfe des Kreuzproduktes der beiden Spannvektoren von oben bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \overrightarrow{GF} \times \overrightarrow{GJ} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\-15\\0} \times \pmatrix{-4,5\\ 0\\3} \\[5pt] &=& \pmatrix{-15\cdot 3 - 0\cdot 0 \\ 0\cdot (-4,5) - 0\cdot 3 \\ 0\cdot 0 - (-15)\cdot (-4,5) } \\[5pt] &=& \pmatrix{-45\\0\\-67,5} \\[5pt] &=& -22,5\cdot \pmatrix{2\\0\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = -22,5\cdot \pmatrix{2\\0\\3}$
Du kannst nun sowohl den gekürzten als auch den ungekürzten Vektor verwenden. Eine vorläufige Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet also:
$T: \, 2x +3z = d.$
Setze nun die Koordinaten eines Punktes ein, beispielsweise $F:$
$\begin{array}[t]{rll} T:\, 2x +3z &=& d &\quad \scriptsize \mid\; F(9\mid 0 \mid 6) \\[5pt] 2\cdot 9 + 3\cdot 6&=& d \\[5pt] 36 &=& d \end{array}$
$ d=36 $
Eine Gleichung von $T$ in Koordinatenform lautet also:
$T:\, 2x +3z = 36$
1.3
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Beide Dachflächen sind identisch und rechteckig. Du kannst den gesuchten Flächeninhalt daher wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A &=& 2\cdot \left|\overrightarrow{GF} \right| \cdot \left| \overrightarrow{GJ}\right| \\[5pt] &=& 2\cdot \left|\pmatrix{0\\-15\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{-4,5\\ 0\\3}\right| \\[5pt] &=& 2\cdot \sqrt{0^2 +(-15)^2 +0^2 } \cdot \sqrt{(-4,5)^2 +0^2 +3^2 }\\[5pt] &=& 2\cdot 15 \cdot \sqrt{29,25} \\[5pt] &\approx & 162,25 \,\left[\text{m}^2\right] \\[5pt] \end{array}$
$ A \approx 162,25 \,\left[\text{m}^2\right] $
Die gesamte Dachfläche ist ca. $162,25 \,\text{m}^2$ groß.
1.4
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
1. Schritt: Volumen des Dachs berechnen
Das Dach hat die Form eines Prismas mit dreiseitiger Grundfläche. Das Prisma besitzt eine Höhe von $15\,\text{m},$ die Länge des Hauses. Die dreieckige Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck, beispielsweise die Fläche $GHJ.$ Sie besitzt die Grundseite $\overline{GH}$ mit einer Länge von $9\,\text{m},$ die Breite des Hauses, und eine Höhe von $3\,\text{m},$ die Höhe des Dachbodens.
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Dach}}&=& \frac{1}{2}\cdot 9 \,\text{m} \cdot 3\,\text{m} \cdot 15\,\text{m} \\[5pt] &=& 202,5\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V_{\text{Dach}} = 202,5\,\text{m}^3 $
2. Schritt: Volumen des Hauses berechnen
Der untere Teil des Hauses hat die Form eines Quaders mit einer Länge von $15\,\text{m},$ einer Breite von $9\,\text{m}$ und einer Höhe von $6\,\text{m}.$
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{unten}}&=& 15\,\text{m}\cdot 9\,\text{m} \cdot 6\,\text{m} \\[5pt] &=& 810\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V_{\text{unten}} = 810\,\text{m}^3 $
Das gesamte Volumen des Hauses beträgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& V_{\text{Dach}} + V_{\text{unten}} \\[5pt] &=& 202,5\,\text{m}^3 + 810\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 1.012,5\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V=1.012,5\,\text{m}^3 $
Das Gesamtvolumen des Hauses beträgt $1.012,5\,\text{m}^3.$
1.5
$\blacktriangleright$  Ansatz und Rechenschritt erläutern
$\overrightarrow{u}_1 = \pmatrix{-4,5\\0\\3}$ entspricht dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{GJ},$ $\overrightarrow{u}_2 = \pmatrix{-9\\0\\0}$ entspricht dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{GH}.$
Da sowohl die Dachbodenfläche als auch die Dachfläche $FGJI$ rechteckig sind und beide die gemeinsame Kante $\overline{FG}$ besitzen, entspricht der Winkel, den diese beiden Flächen einschließen dem Winkel, den die beiden Seitenkanten $\overline{GJ}$ und $\overline{GH}$ einschließen.
In Schritt (2) wird dann der Winkel zwischen diesen beiden Kanten als Winkel zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{GJ}$ und $\overrightarrow{GH}$ mithilfe der entsprechenden Formel zur Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Vektoren bestimmt.
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\pmatrix{-4,5\\0\\3}\circ \pmatrix{-9\\0\\0}}{\left| \pmatrix{-4,5\\0\\3}\right| \cdot \left| \pmatrix{-9\\0\\0}\right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{-4,5 \cdot (-9) + 0\cdot 0 +3\cdot 0 }{ \sqrt{(-4,5)^2 +0^2+3^2}\cdot \sqrt{(-9)^2+0^2+0^2}} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{40,5}{\sqrt{29,25}\cdot 9 } &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 33,7^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 33,7^{\circ} $
Der Winkel $\alpha$ ist ca. $33,7^{\circ}$ groß.
$\blacktriangleright$  Ergebnis im Sachzusammenhang deuten
Die Dachneigung beträgt ca. $33,7^{\circ}.$ Damit ist das Dach in Bezug auf die Dachneigung für die Installation einer Photovoltaikanlage geeignet.
1.6
$\blacktriangleright$  Lage des Schattens prüfen
Da die Tanne im Punkt $P(30,75\mid 6\mid 0)$ steht, befindet sich ihre Spitze im Punkt $S(30,75\mid 6\mid 13,5).$ Die Tannenspitze und ihr Schattenpunkt liegen daher auf der Geraden $g$ entlang der Sonnenstrahlen mit der Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} g:\, \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OS} + t\cdot \overrightarrow{v}\\[5pt] &=& \pmatrix{30,75\\ 6\\13,5 } + t\cdot \pmatrix{-2\\0\\-0,5} \end{array}$
$ g:\, \overrightarrow{x} = … $
Die Dachfläche $FGJI$ liegt in der Ebene $T.$ Bestimme also zunächst den Schnittpunkt von $T$ und $g$ und prüfe anschließend, ob dieser innerhalb des Rechtecks $FGJU$ liegt.
1. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Wenn du die Parametergleichung von $T$ verwendest, kannst du später anhand der berechneten Parameterwerte argumentieren, ob der Schnittpunkt innerhalb oder außerhalb des Rechtecks liegt. Setze also Geradengleichung und Ebenengleichung gleich:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{30,75\\ 6\\13,5 } + t\cdot \pmatrix{-2\\0\\-0,5} &=& \pmatrix{9\\15\\6} + r\cdot \pmatrix{0\\-15\\0} + s\cdot \pmatrix{-4,5\\ 0\\3} &\quad \scriptsize \mid\; -t\cdot \pmatrix{-2\\0\\-0,5} ; -\pmatrix{9\\15\\6} \\[5pt] \pmatrix{21,75\\ -9\\7,5 }&=& r\cdot \pmatrix{0\\-15\\0} + s\cdot \pmatrix{-4,5\\ 0\\3} - t\cdot \pmatrix{-2\\0\\-0,5} \end{array}$
$ \pmatrix{21,75\\ -9\\7,5 } = … $
Daraus lässt sich folgendes lineares Gleichungssystem ableiten:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&21,75 &=& 0r -4,5s +2t \\ \text{II}\quad&-9 &=& -15r +0s +0t \\ \text{III}\quad&7,5&=& 0r +3s +0,5t \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&… \\ \text{II}\quad&… \\ \text{III}\quad&… \\ \end{array}$
Aus $\text{II}$ lässt sich direkt ein Wert für $r$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} -9 &=& -15r &\quad \scriptsize \mid\; :(-15) \\[5pt] 0,6 &=& r \end{array}$
$ r = 0,6 $
Bleibt noch folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&21,75 &=& -4,5s +2t &\quad \scriptsize\mid \text{I} -4\cdot \text{III} \\ \text{III}\quad&7,5&=& 3s +0,5t \\ \hline \text{I}'\quad & -8,25 &=& -16,5s +0t \\ \end{array}$
$ \text{I}'\quad -8,25 = -16,5s +0t $
Diese Gleichung kannst du nun nach $s$ lösen:
$\begin{array}[t]{rll} -8,25 &=& -16,5s &\quad \scriptsize \mid\; :(-16,5)\\[5pt] 0,5 &=& s \end{array}$
$ s = 0,5 $
Einsetzen in $\text{III}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 7,5 &=& 3s +0,5t &\quad \scriptsize \mid\;s = 0,5 \\[5pt] 7,5 &=& 3\cdot 0,5 +0,5t \\[5pt] 7,5 &=& 1,5 +0,5t &\quad \scriptsize \mid\; -1,5\\[5pt] 6 &=& 0,5t &\quad \scriptsize \mid\; :0,5\\[5pt] 12 &=& t \end{array}$
$ t = 12 $
Der Schattenpunkt der Tannenspitze lässt sich also mithilfe der Parameterwerte $r= 0,6$ und $s=0,5$ als Punkt der Ebene $T$ darstellen.
2. Schritt: Lage des Punkts überprüfen
Das Rechteck $FGJI$ wird durch die beiden Vektoren $\overrightarrow{GF}$ und $\overrightarrow{GJ}$ aufgespannt. Alle Punkte innerhalb dieses Rechtecks lassen sich daher durch die Gleichung $\overrightarrow{OG} + r\cdot \overrightarrow{GF} + s\cdot \overrightarrow{GJ} $ mit $0\leq r\leq 1$ und $0\leq s\leq 1$ beschreiben.
Oben wurde berechnet, dass sich der Schattenpunkt $S'$ der Tannenspitze als $\overrightarrow{OS'} = \overrightarrow{OG} + r\cdot \overrightarrow{GF} + s\cdot \overrightarrow{GJ}$ mit $r=0,6$ und $s=0,5$ beschreiben lässt. Er liegt also innerhalb des Rechtecks $FGJI.$
Der Schatten der Tannenspitze trifft zum betrachteten Zeitpunkt auf die Dachfläche $FGJI.$
2.1
$\blacktriangleright$  Definition der Variablen angeben
Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut
Anzahl der Pflanzen der Gattung Phlox
Anzahl der Pflanzen der Gattung Malve
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Gleichungen im Sachzusammenhang erläutern
Die Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut ist doppelt so groß wie die Anzahl der Pflanzen der Gattung Malve.
Die Gesamtanzahl der Pflanzen beträgt $25.$
Die Gesamtkosten der Pflanzen betragen $100\,€.$
2.2
$\blacktriangleright$  Lösungen des Gleichungssystems berechnen
Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, kannst du direkt eine der drei Variablen als $t$ festlegen und dann das Gleichungssystem so lösen, dass du die anderen beiden Variablen in Abhängigkeit von $t$ beschreiben kannst. Setze beispielsweise $x_s = t.$ Dann lautet das Gleichungssystem:
$\begin{array}{llllll} \text{I}\quad&t & &-2x_M &=& 0 \\ \text{II}\quad& t& +x_p& +x_M &=& 25 \\ \text{III}\quad&3t&+4x_p& +6x_M &=& 100 \\ \end{array}$
$\begin{array}{llllll} \text{I}\quad&… \\ \text{II}\quad&… \\ \text{III}\quad&… \\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} t -2x_M&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -t \\[5pt] -2x_M &=& -t &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] x_M &=& 0,5t \\[5pt] \end{array}$
$ x_M=0,5t $
Dies kannst du nun wiederum in $\text{II}$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{lrll} \text{II}& t+x_p+x_M &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\;x_M=0,5t \\[5pt] &t+x_p +0,5t &=& 25 \\[5pt] &1,5t +x_p &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; -1,5t\\[5pt] &x_p &=& 25-1,5t \end{array}$
$ x_p = 25-1,5t $
Dies kannst du nun zum Test in die dritte Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}& 3t+4x_p +6x_M &=& 100 &\quad \scriptsize \mid\; x_M = 0,5t;x_p = 25-1,5t \\[5pt] & 3t + 4\cdot (25-1,5t) +6 \cdot 0,5t &=& 100 \\[5pt] & 3t +100 -6t +3t &=& 100 \\[5pt] & 100 &=& 100 \end{array}$
$ 100 = 100 $
Die dritte Gleichung ist also durch die Lösungen auch erfüllt.
Das Gleichungssystem ist daher für alle $x_s = t,$ $x_p = 25-1,5t$ und $x_M = 0,5t$ mit $t\in \mathbb{R}$ erfüllt.
2.3.1
$\blacktriangleright$  Mögliche Werte untersuchen
Die Lösungen werden wie folgt angegeben:
$\pmatrix{x_s\\x_p\\x_M} = \pmatrix{0\\25\\0} + t\cdot \pmatrix{2\\-3\\1}$
Die Einträge $x_s,$ $x_p$ und $x_M$ sind ganzzahlig, wenn auch $t$ ganzzahlig ist. Nun musst du noch überprüfen, für welche Werte von $t$ diese Einträge auch nicht null sind. Für $x_s = 2t$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_s &\geq& 0 \\[5pt] 2t &\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] t &\geq & 0 \end{array}$
$ t\geq 0 $
Für $x_p = 25 -3t$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_p&\geq & 0 \\[5pt] 25-3t &\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] -3t&\geq& -25 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] t&\leq& \frac{25}{3}\\[5pt] \end{array}$
$ t\leq \frac{25}{3} $
Für $x_M = t$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_M&\geq& 0 \\[5pt] t&\geq& 0 \end{array}$
$ t \geq 0 $
Insgesamt muss daher $0\leq t \leq \frac{25}{3}$ gelten. $t$ kann also alle ganzzahligen Werte mit $0\leq t \leq \frac{25}{3}$ annehmen.
2.3.2
$\blacktriangleright$  Anzahlen der Pflanzen bestimmen
Die Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut wird durch $x_S = 2t$ beschrieben. Je größer also $t$ ist, desto größer ist $x_s.$ Im vorherigen Aufgabenteil hast du berechnet, dass $t$ höchstens $\frac{25}{3}$ sein darf und ganzzahlig sein muss. Es ist $\frac{25}{3} \approx 8,3.$ Also kann $t$ maximal $8$ sein. Für $t=8$ kannst du also die jeweiligen Anzahlen bestimmen, sodass die Anzahl der Pflanzen der Gattung Sonnenhut maximal ist:
$x_s = 2\cdot 8 = 16$
$x_p = 25 +8\cdot (-3) = 1 $
$x_M = 8\cdot 1 = 8$
Bildnachweise [nach oben]
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