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A1 - Analysis

Aufgaben
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1. Zum Zeitpunkt $t=0$ werden einmalig 20 mg eines Medikamentes direkt in die Blutbahn eines Patienten gespritzt. Die im Blut vorhandene Medikamentenmenge (in mg) kann näherungsweise durch die Exponentialfunktion $f$ mit $f(t)=20\cdot\mathrm e^{-0,1054\cdot t}$ beschrieben werden ($t$ misst die Zeit in Minuten nach der Injektion).
1.1 Geben Sie die fehlenden Werte in der Tabelle (Material 1) an. Zeichnen Sie anschließend anhand der ermittelten Punkte des Graphen von $f$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
(7P)
1.2 Berechnen Sie die Zeit, nach der sich nur noch die Hälfte der anfänglichen Medikamentenmenge im Blut des Patienten befindet.
(4P)
2. Unter der medizinischen Wirkung $w(T)$ eines Medikamentes bis zum Zeitpunkt $T$ (in Minuten)
versteht man den Ausdruck $w(T)=\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{T}f(t)\mathrm dt$, wobei die Funktion $f$ die Menge des Medikamentes im Blut in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) beschreibt.
2.1 Bestimmen Sie die medizinische Wirkung des Medikamentes aus Aufgabe 1 für $T=30$ unter Angabe einer Stammfunktion.
(6P)
2.2 Erläutern Sie die Zeilen (Ⅰ) bis (Ⅲ) im Kasten und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
$\begin{array}{ll} (Ⅰ)&\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{35}f(t)\mathrm dt\approx 185,01 \\ &\\ (Ⅱ)&\mathop{\lim}\limits_{T\to\infty}w(T)=\mathop{\lim}\limits_{T\to\infty}\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{T}f(t)\mathrm dt\approx 189,75 \\ &\\ (Ⅲ)&\dfrac{185,01}{189,75}\approx 0,98=98\,\% \\ &\\ \end{array}$
$\begin{array}{ll} (Ⅰ)&\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{35}f(t)\mathrm dt\approx 185,01 \\ &\\ (Ⅱ)&\mathop{\lim}\limits_{T\to\infty}w(T) \\ &=\mathop{\lim}\limits_{T\to\infty}\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{T}f(t)\mathrm dt \\ &\approx 189,75 \\ &\\ (Ⅲ)&\dfrac{185,01}{189,75}\approx 0,98=98\,\% \\ &\\ \end{array}$
(6P)
3. Das Medikament kann auch über eine Tropfinfusion verabreicht werden. Dabei gelangt jede Minute eine gleichbleibende Menge von $c=3$ mg des Medikamentes in den Blutkreislauf, wobei über die Nieren in jeder Minute $k=10\,\%$ des im Blut vorhandenen Medikamentes abgebaut werden.
Für die im Blut befindliche Menge $h$ des Medikamentes in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in
Minuten gilt allgemein (mit den obigen Bezeichnungen): $h(t)=\dfrac{c}{k}\cdot\left(1-\mathrm e^{-kt}\right)$.
3.1 Geben Sie die Funktionsgleichung $h(t)$ für die im Blut befindliche Medikamentenmenge bei einer Tropfinfusion an. Begründen Sie dann, welcher der drei Graphen (Material 2) die Funktion $h$ korrekt beschreibt.
(6P)
3.2 Zeigen Sie, dass $H$ mit $H(t)=30\cdot\left(t+10\cdot\mathrm e^{-0,1\cdot t}\right)$ eine Stammfunktion von $h$ ist. Berechnen Sie die medizinische Wirkung (siehe Aufgabe 2) der Tropfinfusion nach 30 Minuten.
(6P)
4. Diskutieren Sie die Einsatzmöglichkeiten der beiden Darreichungsformen „Spritze“ und „Tropfinfusion“ anhand der betrachteten Graphen.
(5P)
Material 1
$t$ 0 5 10 15 20 25 30
$f(t)$ 20 $\approx4,12$ $\approx0,85$
$t$ $f(t)$
0 20
5
10
15 $\approx4,12$
20
25
30 $\approx0,85$
Material 2
A1 - Analysis
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$Tabelle vervollständigen und Graphen von $f$ zeichnen
In dieser Aufgabe ist die Exponentialfunktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$f(t)=20\cdot \mathrm e^{-0,1054\cdot t}$
gegeben, die die Medikamentenmenge (in mg) im Blut eines Patienten angibt, dem zum Zeitpunkt $t=0$ einmalig $20\,\text{mg}$ des Medikaments direkt in die Blutbahn injiziert wurden. $t$ gibt die Zeit (in Minuten) nach der Injektion an.
Deine Aufgabe ist es, die fehlenden Werte in der Tabelle (Material 1) zu ergänzen und anhand dieser Werte den Graphen der Funktion $f$ in ein Koordinatensystem zu zeichnen.
1. Schritt: Tabelle vervollständigen
Die fehlenden Funktionswerte ermittelst du, indem du die gegebenen Werte für $t$ in die Funktion $f$ einsetzt.
Erstelle dazu mit deinem Taschenrechner eine Wertetabelle.
2. Schritt: Graphen von $f$ zeichnen
Trage die Werte, die du im ersten Schritt mit einer Wertetabelle bestimmt hast, in ein Koordinatensystem ein.
Achte beim Zeichnen des Funktionsgraphen $G_f$ auf eine passende Skalierung der Achsen.
1.2 $\blacktriangleright$Zeitpunkt $t_{\frac{1}{2}}$ berechnen
Dem Patienten wurden $20\,\text{mg}$ des Medikaments injiziert. Du sollst nun den Zeitpunkt berechnen, zu dem sich nur noch die Hälfte der anfänglichen Medikamentenmenge, also $10\,\text{mg}$, im Blut des Patienten befinden.
Da auf der $y$-Achse des gezeichneten Graphen die im Blut befindliche Menge aufgetragen ist, musst du den $t$-Wert berechnen, an dem gilt $f(t)=10\,\text{[mg]}$.
Setze hier also den Funktionsterm von $f$ mit 10 mg gleich und löse nach dem gesuchten Zeitpunkt $t_{\frac{1}{2}}$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$Stammfunktion $F$ bestimmen und $T=30$ ermitteln
Die Wirkung des Medikaments bis zum Zeitpunkt $T$, das dem Patienten in Aufgabe $1$ injiziert wurde, wird durch die Funktion $w$ mit der Funktionsgleichung
$w(T)=\displaystyle\int_{0}^{T} f(t)\mathrm dt$
beschrieben. Um die genaue Wirkung bis zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, musst du das Integral lösen. Dafür musst du vorher die Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ aus Aufgabenteil $1$ ermitteln.
Hast du das Integral gelöst und den Term für die Funktion $w$ bestimmt, kannst du den gesuchten Zeitpunkt in diesen Term einsetzen und so die Wirkung des Medikaments bis dahin bestimmen.
1. Schritt: Stammfunktion $F$ aufstellen
Bei der Funktion $f$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion, deren Exponent eine weitere, von $t$ abhängige, Funktion beinhaltet. Du musst also die Kettenregel beim Integrieren beachten!
Der Vorfaktor $20$ bleibt bei der Stammfunktion bestehen. Das Integral einer Exponentialfunktion ist wieder eine Exponentialfunktion.
Da du beim Ableiten der Stammfunktion die Funktion im Exponent nachdifferenzieren musst, muss der Faktor dieser Funktion im Nenner der Stammfunktion stehen, damit er beim Ableiten wieder herausfällt.
2. Schritt: Funktionswert für $T=30$ berechnen
$w(T)$ ist eine Integralfunktion. Den Funktionswert für $T = 30$ berechnest du über diesen Ansatz:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(t)dt=[F(t)]_a^b=F(b)-F(a)$
Setze dazu zunächst $T$ als obere Grenze, um hier eine Stammfunktion von $f$ anzugeben.
2.2 $\blacktriangleright$Zeilen (Ⅰ) bis (Ⅲ) erläutern und im Sachzusammenhang deuten
In Zeile (Ⅰ) wird das Integral bis zur oberen Grenze $T=35$ berechnet. Überlege dir, was durch die Intgralfunktion dargestellt wird. Das Ergebnis gibt also nicht die medizinische Wirkung des Medikaments in den ersten $30$ Minuten an, die du in der vorherigen Aufgabe berechnet hast, sondern die Wirkung des gespritzten Stoffs bis zum Zeitpunkt $T=35$, also in den $35$ Minuten nach dem Einspritzen.
In Zeile (Ⅱ) wird der Grenzwert der Funktion $w$ berechnet für $T\rightarrow \infty$. Die Funktion $w$ beschreibt die Wirkung des gespritzten Medikaments bis zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Überlege dir nun, was es bedeutet, wenn der Zeitpunkt, bis zu dem die Wirkung betrachtet wird, ins Unendliche reicht.
In Zeile (Ⅲ) wird der Quotient, also das Verhältnis zwischen den Ergebnissen aus Zeile (Ⅰ) und Zeile (Ⅱ) gebildet.
Was wird angegeben, wenn man ein Teilstück von etwas Ganzem betrachtet?
3.
3.1 $\blacktriangleright$Funktionsgleichung $h(t)$ aufstellen
In dieser Aufgabe ist die allgemeine Funktionsgleichung $h(t)=\frac{c}{k}\cdot (1-\mathrm e^{-kt})$ gegeben, die die Menge $h$ eines Medikaments angibt, das über eine Tropfinfusion ins Blut gelangt.
Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung sollst du nun die für diese Aufgabe konkrete Gleichung für die Funktion $h$ angeben.
Nach der Angabe gilt $c=3\,\text{mg}$ und $k=10\,\%=0,1$. Setzt du diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung, erhältst du den gesuchten Term:
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: signifikante Wertetabelle erstellen
Welcher Graph aus Material $2$ zu Funktion $h$ gehört, kannst du ermitteln, indem du eine Wertetabelle mit signifikanten Werten erstellst und diese mit den Graphen vergleichst.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Funktionsgleichung und Graphen vergleichen
Anstatt eine Wertetabelle zu erstellen, kannst du den passenden Graphen auch durch Ausschlussverfahren bestimmen, indem du den Verlauf der Kurven und die gegebene Funktionsgleichung genauer betrachtest.
Achte dabei auf folgende Kriterien:
  • Fällt oder steigt der Graph?
  • Welche Wendepunkte hat der Graph, der durch die Gleichung beschrieben wird?
3.2 $\blacktriangleright$Stammfunktion $H(t)$ nachweisen und Wirkung nach 30 Minuten berechnen
In diesem Aufgabenteil ist vermeintliche Stammfunktion $H$ gegeben. Deine Aufgabe ist es, nachzuweisen, dass diese Funktion tatsächlich die Stammfunktion zur Funktion $h$ darstellt und anschließend die Wirkung des Medikaments nach $30$ Minuten zu berechnen.
1. Schritt: Stammfunktion nachweisen
Ob $H$ die Stammfunktion von $h$ darstellt, kannst du überprüfen, indem du die erste Ableitung der gegebenen Funktion bildest und überprüfst, ob diese mit $h$ übereinstimmt.
Stimmt die erste Ableitung von $H$ mit der gegebenen Funktion $h$ überein, hast du nachgewiesen, dass $H$ die Stammfunktion ist. Stimmt die Ableitung nicht mit der Funktion $h$ überein, ist dies nicht der Fall.
2. Schritt: Medizinische Wirkung berechnen
Die medizinische Wirkung des Medikaments wird wie in Aufgabe $2$, also durch eine Integralfunktion, beschrieben.
In diesem Fall beschreibt die Funktionsgleichung $W(t)=\displaystyle\int_{0}^{T}h(t)\mathrm dt$ diese Wirkung.
Da der Wert an der Stelle $t=30$ gesucht wird, musst du das Integral lösen und den Wert in die Stammfunktion einsetzen.
4. $\blacktriangleright$Diskutieren der Einsatzmöglichkeiten
Um zu verstehen, auf welche Weise die zwei Varianten (Einspritzen des Medikaments oder Tropfinfusion) wirken, skizziere dir die beiden Graphen. So kannst du dir am Besten veranschaulichen, zu welchem Zeitpunkt sich welche Menge des Medikaments im Blut befindet.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$Tabelle vervollständigen und Graphen von $f$ zeichnen
In dieser Aufgabe ist die Exponentialfunktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$f(t)=20\cdot \mathrm e^{-0,1054\cdot t}$
gegeben, die die Medikamentenmenge (in mg) im Blut eines Patienten angibt, dem zum Zeitpunkt $t=0$ einmalig $20\,\text{mg}$ des Medikaments direkt in die Blutbahn injiziert wurden. $t$ gibt die Zeit (in Minuten) nach der Injektion an.
Deine Aufgabe ist es, die fehlenden Werte in der Tabelle (Material 1) zu ergänzen und anhand dieser Werte den Graphen der Funktion $f$ in ein Koordinatensystem zu zeichnen.
1. Schritt: Tabelle vervollständigen
Die fehlenden Funktionswerte ermittelst du, indem du die gegebenen Werte für $t$ in die Funktion $f$ einsetzt.
Hier sollte sich folgende Wertetabelle ergeben haben.
$t$ 0 5 10 15 20 25 30
$f(t)$ 20 $\approx11,81$ $\approx6,97$ $\approx4,12$ $\approx2,43$ $\approx1,43$ $\approx0,85$
$t$ $f(t)$
0 20
5 $\approx11,81$
10 $\approx6,97$
15 $\approx4,12$
20 $\approx2,43$
25 $\approx1,43$
30 $\approx0,85$
2. Schritt: Graphen von $f$ zeichnen
Achte beim Zeichnen des Funktionsgraphen $G_f$ auf eine passende Skalierung der Achsen.
A1 - Analysis
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1.2 $\blacktriangleright$Zeitpunkt $t_{\frac{1}{2}}$ berechnen
Dem Patienten wurden $20\,\text{mg}$ des Medikaments injiziert. Du sollst nun den Zeitpunkt berechnen, zu dem sich nur noch die Hälfte der anfänglichen Medikamentenmenge, also $10\,\text{mg}$, im Blut des Patienten befinden.
Da auf der $y$-Achse des gezeichneten Graphen die im Blut befindliche Menge aufgetragen ist, musst du den $t$-Wert berechnen, an dem gilt $f(t)=10\,\text{[mg]}$.
Setze hier also den Funktionsterm von $f$ mit 10 mg gleich und löse nach dem gesuchten Zeitpunkt $t_{\frac{1}{2}}$.
Hier gilt also:
$\begin{array}{rcll} f(t)&=&10\\ 10&=&20\cdot \mathrm e^{-0,1054\cdot t}&\scriptsize{ \mid\; :20}\\ \dfrac{1}{2}&=&\mathrm e^{-0,1054\cdot t}&\scriptsize{ \mid\; \ln}\\ \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&-0,1054\cdot t&\scriptsize{ \mid\; :(-0,1054)}\\ t&=&6,58\\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} f(t)&=&10\\ 10&=&20\cdot \mathrm e^{-0,1054\cdot t}\\ \dfrac{1}{2}&=&\mathrm e^{-0,1054\cdot t}\\ \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&-0,1054\cdot t\\ t&=&6,58\\ \end{array}$
Nach $6,58$ Minuten ist nur noch die Hälfte der gespritzten Medikamentenmenge im Blut des Patienten.
2.
2.1 $\blacktriangleright$Stammfunktion $F$ bestimmen und $T=30$ ermitteln
Die Wirkung des Medikaments bis zum Zeitpunkt $T$, das dem Patienten in Aufgabe $1$ injiziert wurde, wird durch die Funktion $w$ mit der Funktionsgleichung
$w(T)=\displaystyle\int_{0}^{T} f(t)\mathrm dt$
beschrieben. Um die genaue Wirkung bis zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, musst du das Integral lösen. Dafür musst du vorher die Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ aus Aufgabenteil $1$ ermitteln.
Hast du das Integral gelöst und den Term für die Funktion $w$ bestimmt, kannst du den gesuchten Zeitpunkt in diesen Term einsetzen und so die Wirkung des Medikaments bis dahin bestimmen.
1. Schritt: Stammfunktion $F$ aufstellen
Bei der Funktion $f$ handelt es sich um eine Exponentialfunktion, deren Exponent eine weitere, von $t$ abhängige, Funktion beinhaltet. Du musst also die Kettenregel beim Integrieren beachten!
Der Vorfaktor $20$ bleibt bei der Stammfunktion bestehen. Das Integral einer Exponentialfunktion ist wieder eine Exponentialfunktion.
Da du beim Ableiten der Stammfunktion die Funktion im Exponent nachdifferenzieren musst, muss der Faktor dieser Funktion im Nenner der Stammfunktion stehen, damit er beim Ableiten wieder herausfällt.
$w(T)=F(t)=\dfrac{20}{(-0,1054)}\mathrm e^{-0,1054\cdot t} = -189,75 \cdot \mathrm e^{-0,1054\cdot t}$
$\begin{array}{rcl} w(T)&=&F(t) \\ &=&\dfrac{20}{(-0,1054)}\mathrm e^{-0,1054\cdot t} \\ &=& -189,75 \cdot \mathrm e^{-0,1054\cdot t}\\ \end{array}$
2. Schritt: Funktionswert für $T=30$ berechnen
$w(T)$ ist eine Integralfunktion. Den Funktionswert für $T = 30$ berechnest du über diesen Ansatz:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(t)dt=[F(t)]_a^b=F(b)-F(a)$
Setze dazu zunächst $T$ als obere Grenze, um hier eine Stammfunktion von $f$ anzugeben.
$\begin{array}{rcl} w(T)&=&\displaystyle\int_{0}^{30}\mathrm f(t)dt \\ &=&\left[F(t)\right]_0^T \\[3pt] &=&F(T)-F(0) \\[3pt] &=&[-189,75 \mathrm e^{-0,1054\cdot 30}]-[-189,75 \mathrm e^{-0,1054\cdot 0}] \\[3pt] &=&[-189,75 \mathrm e^{-0,1054\cdot T}]-[-189,75 \mathrm e^{0}] \\[3pt] &=&[-189,75 \mathrm e^{-0,1054\cdot T}]-[-189,75 \mathrm \cdot 1] \\[3pt] &=&-189,75 \mathrm \cdot(e^{-0,1054\cdot T}-1) \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} w(T)&=&\displaystyle\int_{0}^{30}\mathrm f(t)dt \\ &=&\left[F(t)\right]_0^T \\[3pt] &=&F(T)-F(0) \\[3pt] &=&[-189,75 \mathrm e^{-0,1054\cdot 30}] \\ &&-[-189,75 \mathrm e^{-0,1054\cdot 0}] \\[3pt] &=&[-189,75 \mathrm e^{-0,1054\cdot T}] \\ &&-[-189,75 \mathrm e^{0}] \\[3pt] &=&[-189,75 \mathrm e^{-0,1054\cdot T}] \\ &&-[-189,75 \mathrm \cdot 1] \\[3pt] &=&-189,75 \mathrm \cdot(e^{-0,1054\cdot T}-1) \\ \end{array}$
Nun hast du den Term für die Funktion $w$ bestimmt.
Um die Wirkung des Medikaments zum Zeitpunkt $T=30$ zu ermitteln, musst du diesen Wert in die gerade bestimmte Gleichung einsetzen.
$\begin{array}{rcl} w(T)&=&\dfrac{20}{(-0,1054)}\cdot(e^{-0,1054\cdot T}-1)\\[4pt] w(30)&=&\dfrac{20}{(-0,1054)}\cdot(e^{-0,1054\cdot 30}-1) \\ &=&181,72 \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} w(T)&=&\dfrac{20}{(-0,1054)} \\[1pt] &&\cdot(e^{-0,1054\cdot T}-1)\\[4pt] w(30)&=&\dfrac{20}{(-0,1054)} \\[1pt] &&\cdot(e^{-0,1054\cdot 30}-1) \\ &=&181,72 \\ \end{array}$
2.2 $\blacktriangleright$Zeilen (Ⅰ) bis (Ⅲ) erläutern und im Sachzusammenhang deuten
In Zeile (Ⅰ) wird das Integral bis zur oberen Grenze $T=35$ berechnet. Das Ergebnis gibt also nicht die medizinische Wirkung des Medikaments in den ersten $30$ Minuten an, die du in der vorherigen Aufgabe berechnet hast, sondern die Wirkung des gespritzten Stoffs bis zum Zeitpunkt $T=35$, also in den $35$ Minuten nach dem Einspritzen.
A1 - Analysis
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In Zeile (Ⅱ) wird der Grenzwert der Funktion $w$ berechnet für $T\rightarrow \infty$. Die Funktion $w$ beschreibt die Wirkung des gespritzten Medikaments bis zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Läuft der betrachtete Zeitpunkt ins Unendliche, gilt also $T\rightarrow\infty$, so gibt die Funktion die Wirkung des Medikaments nach unendlich vielen Minuten/ Stunden/ Tagen an.
Aus Alltagserfahrung weißt du, dass ein Medikament nicht ewig, sondern nur eine bestimmte Zeit lang wirkt. Dies kannst du auch am Graphen $w$ der Funktion $w$ ablesen: nach ca. $50$ Minuten nähert sich der Graph hier einem fixen Wert an.
Der Grenzwert $\lim\limits_{T\to\infty}$ gibt also die „maximale“ medizinische Wirkung des Medikaments an.
In Zeile (Ⅲ) wird der Quotient, also das Verhältnis zwischen den Ergebnissen aus Zeile (Ⅰ) und Zeile (Ⅱ) gebildet.
Zeile (Ⅰ) gibt die Wirkung des Medikaments innerhalb der ersten $35$ Minuten und Zeile (II) die gesamte Wirkung des Medikaments an. Der Quotient bzw. die $98\,\%$ aus Zeile (III) geben den Teil bezogen auf die Gesamtwirkung des Medikaments an, der bis zum Zeitpunkt $T=35$ bereits gewirkt hat.
Nach $35$ Minuten hat es schon $98\,\%$, also fast seine ganze Wirkung im Körper des Patienten entfaltet.
3.
3.1 $\blacktriangleright$Funktionsgleichung $h(t)$ aufstellen
In dieser Aufgabe ist die allgemeine Funktionsgleichung $h(t)=\frac{c}{k}\cdot (1-\mathrm e^{-kt})$ gegeben, die die Menge $h$ eines Medikaments angibt, das über eine Tropfinfusion ins Blut gelangt.
Mit den Angaben aus der Aufgabenstellung sollst du nun die für diese Aufgabe konkrete Gleichung für die Funktion $h$ angeben.
Nach der Angabe gilt $c=3\,\text{mg}$ und $k=10\,\%=0,1$. Setzt du diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung, erhältst du folgenden Term.
$\begin{array}{rcl} h(t)&=&\dfrac{c}{k}\cdot (1-\mathrm e^{-kt}) \\ &=&\dfrac{3}{0,1}\cdot (1-\mathrm e^{-0,1t}) \\ &=&30\cdot (1-\mathrm e^{-0,1t}) \\ &=&-30 \cdot \mathrm e^{-0,1t}+30 \\ \end{array}$
Welcher Graph aus Material $2$ zu Funktion $h$ gehört, kannst du ermitteln, indem du eine Wertetabelle mit signifikanten Werten von $h$ erstellst und diese mit den Graphen vergleichst oder indem du das Steigungsverhältnis der Funktion mit denen der drei Graphen vergleichst.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg A: signifikante Wertetabelle erstellen
$t$ 0 1 2 4 6 8 10
$h(t)$ 0 $\approx2,85$ $\approx5,44$ $\approx9,89$ $\approx13,54$ $16,52$ $\approx18,96$
$t$ $h(t)$
0 0
1 $\approx2,85$
2 $\approx5,44$
4 $\approx9,89$
6 $\approx13,54$
8 $16,52$
30 $\approx18,96$
Graph $1$ kann ausgeschlossen werden, da er nicht durch den Ursprung verläuft.
Anhand der Funktionswerte wie zum Beispiel $h(10)\approx 18,96$ kann auch Graph $2$ ausgeschlossen werden.
Graph $3$ bildet also die Funktion $h$ ab.
$\blacktriangleright\blacktriangleright$Lösungsweg B: Funktionsgleichung und Graphen vergleichen
Der Graph $1$ fällt vom Punkt $P(0\mid 40)$ aus. Da $h$ hier aber mit
$h(0) = -30 \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot 0}+30 = -30 + 30 = 0$
$\begin{array}{rcl} h(0) &=& -30 \cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot 0}+30 \\ &=& -30 + 30 = 0 \\ \end{array}$
durch den Ursprung verläuft, kommt Graph 1 nicht in Frage.
Der zweite Graph kann ebenfalls ausgeschlossen werden, da er einen Wendepunkt besitzt.
Die Ableitung jeder $\mathrm e$-Funktion ist eine weitere $\mathrm e$-Funktion und kann somit nie den Wert $h(t)=0$ erreichen. Um einen Wendepunkt zu bestimmen, muss für die zweite Ableitung gelten $f''(t)=0$. Da eine $\mathrm e$-Funktion diesen Wert nicht annehmen kann, hat eine solche Funktion auch keinen Wendepunkt.
Es bleibt also nur Graph $3$.
3.2 $\blacktriangleright$Stammfunktion $H(t)$ nachweisen und Wirkung nach 30 Minuten berechnen
In diesem Aufgabenteil ist dir die Funktion $H$ gegeben. Deine Aufgabe ist es, nachzuweisen, dass diese Funktion eine Stammfunktion zur Funktion $h$ darstellt und anschließend die Wirkung des Medikaments nach $30$ Minuten zu berechnen.
1. Schritt: Stammfunktion nachweisen
Ob $H$ die Stammfunktion von $h$ darstellt, kannst du überprüfen, indem du die erste Ableitung der gegebenen Funktion bildest und überprüfst, ob diese mit $h$ übereinstimmt.
$\begin{array}{rcl} H'(t)&=&[30\cdot (t+10\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t})]' \\ &=&30[1+10(\mathrm e^{-0,1\cdot t})\cdot (-0.1)] \\ &=&30[1-(\mathrm e^{-0,1\cdot t})] \\ &=&h(t) \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} H'(t)&=&[30\cdot (t+10\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot t})]' \\ &=&30[1 \\ &&+10(\mathrm e^{-0,1\cdot t})\cdot (-0.1)] \\ &=&30[1-(\mathrm e^{-0,1\cdot t})] \\ &=&h(t) \\ \end{array}$
Da die erste Ableitung von $H$ der gegebenen Funktion $h$ entspricht, ist $H$ die Stammfunktion von $h$.
2. Schritt: Medizinische Wirkung berechnen
Die medizinische Wirkung des Medikaments wird wie in Aufgabe $2$, also durch eine Integralfunktion, beschrieben.
In diesem Fall beschreibt die Funktionsgleichung $W(t)=\displaystyle\int_{0}^{T}h(t)\mathrm dt$ diese Wirkung.
Da der Wert an der Stelle $t=30$ gesucht wird, musst du das Integral lösen und den Wert in die Stammfunktion einsetzen.
$\begin{array}{rcl} W(t)&=&\displaystyle\int_{0}^{T}\mathrm h(t)dt\\ &=&[H(t)]_0^T\\ &=&H(T)-H(0) \\[8pt] W(30)&=&H(30)-H(0)&\\ &=&30\cdot (30+10\cdot e^{-0,1\cdot 30})-30\cdot (0+10\cdot e^{-0,1\cdot 0})& \\ &=&614,94 \end{array}$
$\begin{array}{rcl} W(t)&=&\displaystyle\int_{0}^{T}\mathrm h(t)dt \\ &=&[H(t)]_0^T \\ &=&H(T)-H(0) \\[8pt] W(30)&=&H(30)-H(0)&\\ &=&30\cdot (30+10\cdot e^{-0,1\cdot 30}) \\ &&-30\cdot (0+10\cdot e^{-0,1\cdot 0})& \\ &=&614,94 \end{array}$
4. $\blacktriangleright$Diskutieren der Einsatzmöglichkeiten
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Wird dem Patienten das Medikament mit einer Spritze verabreicht, steht es dem Körper gleich in hohen Konzentration zur Verfügung, wird allerdings relativ schnell wieder abgebaut.
Es ist also sinnvoll das Medikament per Spritze zu verabreichen, wenn dieses möglichst schnell wirken soll.
(In Aufgabe $2.2$ hast du berechnet, dass bereits nach $35$ Minuten $98\,\%$ verbraucht sind.)
A1 - Analysis
A1 - Analysis
Gelangt das Medikament durch eine Tropfinfusion in das Blut des Patienten, steigt die Menge im Blut erst mit der Zeit langsam an. Nach ungefähr $30$ Minuten ist eine einigermaßen konstante Konzentration der Medikamentenmenge im Blut erreicht, die über einen längeren Zeitraum beibehalten wird.
Es ist also sinnvoll das Medikament durch eine Tropfinfusion zu verabreichen, wenn dieses möglichst lange wirken soll.
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