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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Gegeben ist das im Material dargestellte quaderförmige Holzgerüst mit quadratischer Grundfläche mit einer Länge und einer Breite von jeweils $3\;\text{m}$ und einer Höhe von $2,50\;\text{m}$. Als Sonnen- und Sichtschutz wird ein dreieckiges Sonnensegel in den Punkten $S(3\mid 2\mid 2,5$), $T(3\mid 3\mid 0,5$) und $U(0\mid 3\mid 2$) befestigt. Der Flächeninhalt des Sonnensegels beträgt $A\approx$ 3,44 m$^2$.
1.1   Gib die Koordinaten der Eckpunkte des Holzgerüstes an. Die Pfostendicke bleibt dabei unberücksichtigt.
(4P)
1.2   Zeichne das Sonnensegel in die Abbildung im Material und berechne eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$.
[zur Kontrolle: $E: x + 4y +2z=16$]
(7P)
1.3   Durch das Sonnensegel wird die Höhe eingeschränkt. Damit man den Raum noch großzügig nutzen kann, soll die Stehhöhe über dem Punkt $P(2,5\mid2,5\mid0$) noch $h = 2,0\,\text{m}$ betragen. Prüfe, ob durch die Befestigung des Sonnensegels die Stehhöhe über dem Punkt $P$ beeinträchtigt wird.
(4P)
1.4   Bestimme den Winkel zwischen der Sonnensegelebene und der Dachebene $DCGH$.
(3P)
2.   Bei starkem Wind beginnt das Sonnensegel zu flattern. Um die Bewegung des Sonnensegels einzuschränken, wird eine zur Dreiecksfläche orthogonale Verbindung zum Eckpunkt $C$ konzipiert.
2.1   Bestimme die Länge dieses Verbindungsstücks unter der modellhaften Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt.
$\left[ \text{Zur Kontrolle: } d \approx 0,87\;\text{m}\right]$
(4P)
2.2   Zu künstlerischen Zwecken sollen innerhalb des Holzgerüsts drei weitere dreieckige Tücher gespannt werden, die jeweils eine Seitenkante des vorhandenen Sonnensegels mit dem Eckpunkt $C$ verbinden. Berechne, wie viel Prozent des Raumes innerhalb des Holzgerüstes der entstehende Körper einnimmt.
(4P)
3.   Es beginnt zu regnen. Die Regentropfen fallen dabei modellhaft geradlinig in Richtung $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}0,5\\ -0,25\\ -1,25\end{pmatrix} $ . Durch das Sonnensegel bleibt ein Teil des Bodens trocken. Dieser trockene Teil wird durch die Punkte $S'(4\mid1,5\mid0$), $T'(3,2\mid2,9\mid0$) und $U'$ begrenzt. Berechne die Koordinaten von $U'$ und stelle diese Flache in deiner Zeichnung dar.
(4P)

Material

B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Rechnerisch zeigen, dass $\boldsymbol{ABCD}$ ein Rechteck ist
Das Viereck $ABCD$ ist genau dann ein Rechteck, falls die jeweils gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, parallel sind und die anliegenden Seiten senkrecht aufeinander stehen. Das ist der Fall, wenn die Verbindungsvektoren der Eckpunkte folgende Bedingungen erfüllen:
  1. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
  2. $\overrightarrow{AD} \circ \overrightarrow{AB}=0$
Berechne dazu die Verbindungsvektoren und überprüfe die Bedingungen.
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{ABCD}}$ berechnen
Der Flächeninhalt $F_{ABCD}$ des Rechtecks $ABCD$ lässt sich durch $F_{ABCD} = \left|\overrightarrow{AD}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|$ berechnen. Vergleiche dann das Ergebnis mit dem geforderten Mindestflächeninhalt.
1.2 $\blacktriangleright$ Richtung der senkrechten auftreffenden Sonnenstrahlen berechnen
Hier ist die Richtung gesucht, die senkrecht auf die Kollektorfläche trifft. Diese ist gerade durch die Normalenvektoren der Ebene, die durch die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ aufgespannt wird, gegeben. Einen Vektor $\overrightarrow{n}$, der orthogonal auf den Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AD}$ steht, erhältst du mit Hilfe des Vektorprodukts. Das Vektorprodukt zweier beliebiger Vektoren $v$ und $w$ lautet:
$\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}w_1\\ w_2\\ w_3\end{pmatrix} = \left(\begin{array}{c}v_2 \cdot w_3 - v_3 \cdot w_2\\ v_3 \cdot w_1 - v_1 \cdot w_3 \\ v_1 \cdot w_2 - v_2 \cdot w_1\end{array}\right) $
Beachte dabei, dass der Vektor das richtige Vorzeichen hat.
1.3 $\blacktriangleright$  Neigungswinkel der Kollektorfläche berechnen
Der Neigungswinkel der Kollektorfläche gegenüber dem Dach ist der Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{AD}$ und der $y$-Achse. Der Richtungsvektor der $y$-Achse ist durch $\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)$ gegeben. Den Schnittwinkel berechnest du mit der Formel für den Schnittwinkel. Diese lautet für zwei beliebige Vektoren $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ und deren Schnittwinkel $\alpha$:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\, \overrightarrow{v} \circ \overrightarrow{w} \,\right|}{ \left|\, \overrightarrow{v} \,\right| \cdot \left|\,\overrightarrow{w} \, \right|}$
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Berechnung der Lage des Punktes $\boldsymbol{D'}$
Um die Lage des Punktes $D' (d_1 \mid d_2 \mid d_3)$ zu berechnen, musst du aus Material 2 Bedingungen für den Punkt $D'$ ablesen. Aus diesen Bedingungen erhältst du Gleichungen mit deren Hilfe du die Lage des Punktes bestimmen kannst.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Im Material erkennst du, dass der Verbindungsvektor der Punkte $D$ und $D'$ parallel zu den einfallenden Sonnenstrahlen ist. Weiter stehen die Sonnenstrahlen orthogonal auf dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AD'}$.
Formuliere mit diesen beiden Eigenschaften zwei Bedingungen an $D'$. Mit diesen beiden Bedingungen kannst du ein Gleichungssystem formulieren, welches du nach den Koordinaten von $D'$ auflösen kannst.
2.2 $\blacktriangleright$  Flächeninhalt $\boldsymbol{F_{eff}}$ der effizienten Kollektorfläche
Berechne den Flächeninhalt $F_{eff}$ mit den Seiten $\overrightarrow{AD'}$ und $\overrightarrow{AB}$ der effizienten Kollektorfläche:
$F_{eff}=\left|\overrightarrow{AD'}\right| \cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|$
$\blacktriangleright$  Prozentsatz der maximalen Leistung berechnen
Die maximale Leistung wird genau dann erreicht, wenn die Sonnenstrahlen senkrecht auf der Kollektorfläche stehen. Da die Leistung proportional zum Flächeninhalt ist, ist das Verhältnis zwischen den Leistungen und den Flächeninhalten der Kollektorflächen gleich. Somit können wir mit den Flächeninhalten $F_{eff}$ und $F_{ABCD}$ den gesuchten Prozentsatz $p$ ermitteln:
$p=\dfrac{F_{eff}}{F_{ABCD}}$
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Projektionsmatrix bestimmen
Hier ist nach einer Projektionsmatrix $M$ gesucht, welche beliebige Punkte $P(x \mid y \mid z)$ in die $x$-$y$-Ebene projiziert. Für $M$ und einen beliebigen Punkt $P(x \mid y \mid z)$ mit Schattenpunkt $P'(a \mid b \mid 0)$ gilt also:
$M\cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ 0\end{pmatrix};\quad a,b \in \mathbb{R}$.
Der Schattenpunkt eines beliebigen Punktes $P(x \mid y \mid z)$ ist der Schnittpunkt der $x$-$y$-Ebene (Dach) und der Geraden $g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}; \; \lambda \in \mathbb{R}$ (Sonnenstrahl durch den Punkt $P$). Berechne also zuerst den Schattenpunkt eines beliebigen Punktes $P$, bestimme danach mit dem berechneten Schattenpunkt und der obigen Bedingung die Projektionsmatrix $M$.
3.2 $\blacktriangleright$ Schattenpunkte berechnen
Die Schattenpunkte der Eckpunkte kannst du mit dem Matrix-Vektor-Produkt der Projektionsmatrix $M$ und den Ortsvektoren der Eckpunkte bestimmen. Es reicht hier die Punkte $D$ und $C$ zu betrachten, da $A$ und $B$ keine Schatten werfen, weil sie bereits auf dem Dach liegen (bzw. in der $x$-$y$-Ebene). Berechne die Ortsvektoren der gesuchten Punkte.
$\blacktriangleright$  Lage der Schattenpunkte untersuchen
Nun musst du überprüfen, ob der Schatten ganz auf der Dachfläche liegt. Vergleiche die Länge des Daches mit der Lage der Schattenpunkte.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Koordinaten der Eckpunkte angeben
Orientiere dich an der Skizze des Materials. Darin erkennst du, dass $E$ im Koordinatenursprung liegt und du ausgehend von $E$ mit den Seitenlängen die Koordinaten der übrigen Punkte bestimmen kannst.
Um die Koordinaten der Eckpunkte angeben zu können, musst dir noch überlegen, in welcher Form die Punkte im dreidimensionalen Raum angegeben werden:
$P(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ bedeutet, dass die $x$-Koordinate $x_1$ beträgt, die $y$-Koordinate $y_1$ und die $z$-Koordinate $z_1$. Somit kannst du aus dem Material ablesen:
Länge in $x$-Richtung: $3 \text{ m } \widehat{=} 6$ diagonalen Kästchen
Breite in $y$-Richtung: $3 \text{ m } \widehat{=} 12$ Kästchen
Höhe in $z$-Richtung: $2,5 \text{ m } \widehat{=} 10$ Kästchen
Daraus folgt, dass vier Kästchen des Koordinatensystems gerade einem Meter entsprechen sowie, dass zwei diagonale Kästchen ebenfalls einem Meter entsprechen. Damit kannst du die Koordinaten der Eckpunkte direkt ablesen:
$\begin{array}{l} A( 3 \mid 0 \mid 0) \\[5pt] B(3 \mid 3 \mid 0) \\[5pt] C( 3 \mid 3 \mid 2,5) \\[5pt] D( 3 \mid 0 \mid 2,5) \\[5pt] E( 0 \mid 0 \mid 0) \\[5pt] F( 0 \mid 3 \mid 0) \\[5pt] G( 0 \mid 3 \mid 2,5) \\[5pt] H( 0 \mid 0 \mid 2,5) \end{array}$
1.2 $\blacktriangleright$ Sonnensegel einzeichnen
Zeichne die drei gegebenen Punkte $S$, $T$ und $U$ ein und verbinde diese zum Sonnensegel.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
$\blacktriangleright$ Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$ berechnen
Da du drei Punkte gegeben hast, die in der Ebene $E$ liegen, ist es sinnvoll, zunächst die Parameterform der Ebene $E$ zu berechnen. Lege dazu fest, welchen Ortsvektor du als Stützvektor und welche Verbindungsvektoren du als Spannvektoren betrachtest. Diese kannst du dann in die Parameterform einsetzen.
Anschließend kannst du die Parameterform in die gesuchte Koordinatenform umwandeln. Berechne dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ aus dem Vektorprodukt der beiden Spannvektoren und den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe. Damit erhältst du die eine Koordinatengleichung der Sonnensegelebene $E$ durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform.
1. Schritt: Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Wähle zunächst den Stützvektor und die Spannvektoren:
$\overrightarrow{OS}$ sei der Stützvektor, $\overrightarrow{ST}$ und $\overrightarrow{SU}$ die Spannvektoren.
Du erhältst:
$\overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}$ ;
$\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OS}= \begin{pmatrix}3\\3\\0,5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}$ ;
$\overrightarrow{SU}=\overrightarrow{OU}-\overrightarrow{OS}= \begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}$ .
Einsetzen in die Parameterform liefert:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OS} + t \cdot \overrightarrow{ST} + s \cdot \overrightarrow{SU}= \begin{pmatrix}3\\2\\2,5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}$
2. Schritt: Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Für die Koordinatenform benötigst du zunächst den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$, den du mittels Vektorprodukt der beiden Spannvektoren bestimmen kannst. Anschließend kannst du den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen:
$\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\1\\-0,5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 \cdot (-0,5)-(-2) \cdot 1\\(-2) \cdot (-3)-0 \cdot (-0,5)\\0 \cdot 1-(-3) \cdot 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1,5\\6\\3 \end{pmatrix}$
Bestimme den Parameter $d_a$ mit Hilfe einer Punktprobe:
Anhand des Stützvektors kannst du die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene ablesen: $P(3 \mid 2 \mid 2,5)$. Setze diese zusammen mit dem Normalenvektor in die Koordinatenform ein, um den Parameter $d_a$ zu ermitteln:
$E: n_1\cdot p_1 + n_2\cdot p_2 + n_3\cdot p_3= 1,5\cdot 3 + 6\cdot 2 + 3\cdot 2,5 =24= d_a $
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform liefert das Ergebnis:
$\begin{array}{rll} E: &1,5\cdot x + 6\cdot y + 3 \cdot z =24 &\scriptsize \mid \ :1,5 \\[5pt] E: &x + 4\cdot y + 2 \cdot z =16 \end{array}$
Je nachdem, welche Vektoren als Stütz- und Spannvektoren gewählt wurden, sind noch andere Lösungsansätze möglich.
1.3 $\blacktriangleright$ Beeinträchtigung der Stehhöhe über dem Punkt $P$ prüfen
Um herauszufinden, ob die Stehhöhe $h=2 \text{ m}$ vom Sonnensegel beeinträchtigt wird, kannst du die Koordinaten des Punktes $P'$, der den Punkt des Sonnensegels über $P$ beschreibt, berechnen. Dabei besitzt $P'$ dieselben $x$- und $y$-Koordinate wie $P$ und liegt in der Sonnensegelebene $E$. Die $z$-Koordinate von $P'$ entspricht dann genau der Höhe des Sonnensegels über dem Punkt $P$.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Setze also die $x$- und $y$-Koordinate von $P$ in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ ein und löse nach der $z$-Koordinaten auf:
$\begin{array}[t]{rll} x+4y+2z=&16 & \scriptsize \mid\; \text{$x$- und $y$-Koordinate von $P$ einsetzen} \\[5pt] 2,5 + 4 \cdot 2,5 +2z=&16 & \scriptsize \mid\; -12,5 \\[5pt] 2z=&3,5 & \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] z=&1,75 \end{array}$
Damit beträgt die Stehhöhe über dem Punkt $P$ durch das Sonnensegel $1,75 \text{ m}$ und die geforderte Stehhöhe von $2 \text{ m}$ wird durch das Sonnensegel beeinträchtigt.
1.4 $\blacktriangleright$ Winkel bestimmen
Stelle zuerst fest, dass die Dachebene $DCGH$ die $x,y$-Ebene ist. Die Sonnensegelebene $E$ hast du bereits berechnet oder du entnimmst sie dem Hinweis „ zur Kontrolle “ aus Aufgabe 1.1. Bestimme nun den Schnittwinkel der beiden Ebenen mit Hilfe der Formel für den Schnittwinkel zwischen Ebenen. Dazu benötigst du die Normalenvektoren der beiden Ebenen, die du entweder aus der Koordinatengleichung der Ebene direkt ablesen kannst oder über das Vektorprodukt der Spannvektoren erhältst.
B1 - Analytische Geometrie
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1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Den Normalenvekor der Sonnensegelebene $\overrightarrow{n}_E$ kannst du direkt aus der Koordinatengleichung ablesen:
$\overrightarrow{n}_E=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Den Normalenvektor der Dachebene $\overrightarrow{n}_{DCGH}$ erhältst du über das Vektorprodukt der Spannvektoren.
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$, $\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$ sind dabei die Spannvektoren der $x,y$-Ebene. Also ergibt sich:
$\overrightarrow{n}_{DCGH}= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 \cdot 0-0 \cdot 1\\0 \cdot 0-1 \cdot 0\\1 \cdot 1-0 \cdot 0 \end{pmatrix}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Mit den beiden Normalenvektoren ergibt sich:
$\begin{array}{rll} \cos\alpha=&\dfrac{\left|\overrightarrow{n}_E\circ\overrightarrow{n}_{DCGH}\right|}{\left|\overrightarrow{n}_E\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_{DCGH}\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 2\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 2\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{\left|2\right|}{\sqrt{1+16+4}\cdot\sqrt{1}} \\[5pt] =&\dfrac{2}{\sqrt{21}}\\[5pt] \approx&0,44 &\scriptsize \mid \, {\cos^{-1}} \\[5pt] \alpha \approx&64,1^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Damit beträgt der Winkel zwischen Sonnensegelebene und Dachebene ca. $64,1^{\circ}$.
2.1 $\blacktriangleright$ Länge des Verbindungsstücks berechnen
Da der Verbindungsvektor orthogonal zum Sonnensegel ist, kannst du den Abstand vom Punkt $C$ zur Ebene berechnen. Dieser Abstand entspricht dann der Länge des Verbindungsvektors. Die Annahme, dass das Sonnensegel so gespannt wurde, dass es nicht durchhängt, sagt dir, dass du dazu die ursprüngliche Koordinatengleichung der Sonnensegelebene verwenden kannst. Gesucht ist also der Abstand zwischen der Ebene E und dem Punkt C. Einen solchen Abstand kannst du mit Hilfe der hesseschen Normalenform berechnen.
1. Schritt: Länge von $\overrightarrow{n}$ bestimmen
$\overrightarrow{n}$ kannst du direkt aus der Koordinatengleichung ablesen:
$\overrightarrow{n}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Damit ergibt sich für die Länge von $\overrightarrow{n}$:
$\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{1^2+4^2+2^2}=\sqrt{21}$
2. Schritt: Ebene umformen
$E:\;x+4y+2z=16$
$\Leftrightarrow x+4y+2z-16=0$
3. Schritt: $HNF$ aufstellen
Mit der umgeformten Ebene und der Länge von $\overrightarrow{n}$ ergibt sich die $HNF$:
$\dfrac{x+4y+2z-16}{\sqrt{21}}=0$
4. Schritt: $C$ in $HNF$ einsetzen
Den Abstand vom Punkt $C$ und der Ebene $E$ erhältst du durch Einsetzen von $C$ in die $HNF$:
$d=\dfrac{1\cdot 3 +4\cdot 3 +2\cdot 2,5 -16}{\sqrt{21}}=\dfrac{4}{\sqrt{21}} \approx 0,87$
Also ist der Verbindungsvektor ca. $0,87 \text{ m}$ lang.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentualen Anteil des Körpers bestimmen
Du erkennst, dass der gebildete Körper eine Pyramide ist. Die Grundfläche ist die Fläche des Sonnensegels und der Punkt $C$ ist die Spitze der Pyramide. Den Flächeninhalt des Sonnensegels kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, $A_{Sonnensegel}= 3,44 \text{ m}^2$. Die Höhe der Pyramide hast du im Aufgabenteil 2.1 berechnet, also $h_{Pyramide}=0,87 \text{ m}$. Damit kannst du das Volumen des gebildeten Körpers berechnen. Das Volumen des Holzgerüsts kannst du mit der in der Aufgabenstellung angegebenen Länge, Breite und Höhe des Holzgerüsts berechnen. Den prozentualen Anteil des Körpers vom Raum des Holzgerüsts erhältst du, indem die du beiden Volumina in Verhältnis zueinander setzt.
1. Schritt: Volumen des Holzgerüsts berechnen
Du hast vom Holzgerüst die Länge von $3 \text{ m}$, die Breite von $3 \text{ m}$ und die Höhe von $2,5 \text{ m}$ in der Aufgabenstellung gegeben. Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rl} V_{Holzgerüst}=& \text{Länge } \cdot \text{Breite } \cdot \text{ Höhe} \\[5pt] =& 3 \text{ m} \cdot 3 \text{ m} \cdot 2,5 \text{ m} \\[5pt] =& 22,5 \text{ m}^3 \end{array}$
2. Schritt: Volumen des Körpers berechnen
Das Volumen der Pyramide berechnest du wie folgt:
$\begin{array}{rl} V_{Pyramide}=& \dfrac{1}{3} \cdot A_{Sonnensegel} \cdot h_{Pyramide} \\[5pt] =& \dfrac{1}{3} \cdot A_{Sonnensegel} \cdot h_{Pyramide} &\scriptsize \mid \ \text{Einsetzen} \\[5pt] =& \dfrac{1}{3} \cdot 3,44 \text{ m}^2 \cdot 0,87 \text{ m} \\[5pt] \approx & 1 \end{array}$
3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen
Nun setzt du das Volumen der Pyramide ins Verhältnis zum Volumen der Holzgerüstes:
$\begin{array}{rl} \dfrac{V_{Pyramide}}{V_{Holzgerüst}}=& \dfrac{1 \text{ m}}{22,5 \text{ m}} \\[5pt] =& \frac{2}{45} \\[5pt] \approx & 0,044 \end{array}$
Damit nimmt der entstehende Körper etwa $4,4 \%$ des Raumes innerhalb des Holzgerüstes ein.
3. $\blacktriangleright$ $U'$ bestimmen
$U'$ ist gerade der Punkt auf dem Boden, auf dem der Regentropfen landen würde, der vom Eckpunkt $U$ des Sonnensegels abgefangen wird. Also kannst du eine Gerade $g$ ermitteln, die dir den theoretischen Verlauf des Regentropfens, der auf $U$ landet, angibt. Der Punkt auf dieser Geraden, dessen $z$-Koordinate gleich Null ist, ist der gesuchte Punkt $U'$.
1. Schritt: Geradengleichung von $g$ aufstellen
Den Richtungsvektor von $g$ kannst du der Aufgabenstellung entnehmen. Dies ist die Richtung der Regentropfen, also
$\overrightarrow{v}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right)$
Da $U$ auf unserer gesuchten Gerade liegt, kannst du
$\overrightarrow{OU}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
als Stützvektor interpretieren. Damit ergibt sich folgende Geradengleichung:
$g: \, \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + u \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 0,5 \\ -0,25 \\ -1,25 \\ \end{array}} \right)$
2. Schritt: $U'$ berechnen
Da du weißt, dass die $z$-Koordinate von $U'$ gleich Null sein musst, suchst du einen Parameter $u$ für deine Geradengleichung, sodass die $z$-Koordinate Null ergibt. Aus dieser Bedingung erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{rll} 2+ u \cdot (-1,25) \stackrel{!}{=}& 0 &\scriptsize \mid \ -2 \\[5pt] u \cdot (-1,25)=& -2 &\scriptsize \mid \ : (-1,25) \\[5pt] u=& \dfrac{-2}{-1,25} \\[5pt] =& \dfrac{8}{5} \\[5pt] =& 1,6 \end{array}$
Damit erhältst du für die $x$-Koordinate des gesuchten Punktes $U'$:
$\begin{array}{rll} 0+ u \cdot 0,5 =& 0+ (1,6 \cdot 0,5) \\[5pt] =& 0,8 \end{array}$
Und die $y$-Koordinate:
$\begin{array}{rll} 3+ u \cdot (-0,25) =& 3+ (1,6 \cdot (-0,25)) \\[5pt] =& 2,6 \end{array}$
Somit folgt insgesamt:
$U'\left( {\begin{array}{*{20}r} 0,8 \\ 2,6 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
Also lauten die Koordinaten des Punktes $U'$ gerade $\left( {\begin{array}{*{20}r} 0,8 \\ 2,6 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$.
$\blacktriangleright$ Fläche einzeichnen
Zeichne nun die drei Punkte $S'$, $T'$ und $U'$ ein und verbinde diese zur der gesuchten Dreiecksfläche.
B1 - Analytische Geometrie
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