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Aufgaben
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1.
Bei einer Befragung unter $2360$ Männern und $2200$ Frauen, die in den vorhergegangenen $12$ Monaten zumindest einmal an einem Glüksspiel teilgenommen hatten, zeigten $2,5\,\%$ der befragten Männer und $0,5\,\%$ der befragten Frauen Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens. Unter den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt.
Betrachtet werden folgende Ereignisse:
„Die ausgewählte Person ist ein Mann.“
„Die ausgewählte Person zeigt Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens.“
1.1
Stelle den beschriebenen Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
(4 BE)
#vierfeldertafel
1.2
Die Terme $P_M(S)$ und $P(M\cap S)$ stellen Wahrscheinlichkeiten dar.
Beschreibe für jeden der beiden Terme die Bedeutung im Sachzusammenhang.
(2 BE)
1.3
Von den befragten Personen, die Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigten, wird eine zufällig ausgewählt.
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die ausgewählte Person eine Frau ist.
(2 BE)
Im Folgenden werden ausschließlich Männer betrachtet, die in den vorhergegangenen $12$ monaten zumindest einmal an einem Glüksspiel teilgenommen hatten.
2.
Für eine weiterführende Studie sollen $200$ Männer zufällig ausgewählt werden. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Anzahl der ausgewählten Männer, die Anzeichen spielspchtigen Verhaltens zeigen, durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit der Trefferwahrscheinlichkeit von $2,5\,\%$ beschrieben werden kann.
#binomialverteilung
2.1
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
Unter den ausgewählten Männern befinden sich genau $4$ Männer, die Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigen.
Unter den zufällig ausgewählten Männern befinden sich mindestens $4$ Männer, die Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigen.
Alle ausgewählten Männer zeigen keine Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens.
(7 BE)
2.2
Bestimme das kleinste Intervall mit den beiden folgenden Eigenschaften:
  • Das Intervall ist bezüglich des Erwartungswerts von $X$ symmetrisch.
  • Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von $X$ im Intervall liegt, ist größer als $90\,\%.$
(5 BE)
#erwartungswert
2.3
Berechne, wie viele Männer mindestens befragt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens ein Mann darunter ist, der Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigt.
(4 BE)
3.
Die Bundeszentrale für gesundheitliche Aufklärung (BZgA) führt eine Kampagne durch, die die Bevölkerung über Glücksspielsucht aufklären soll. Die BZgA vermutet, dass durch die Kampagne der Anteil der Männer, die Anzeichen für spielsüchtiges Verhalten zeigen, unter $2,5\,\%$ gesunken ist.
Entwickle zur Überprüfung dieser Vermutung einen Hypothesentest auf Grundlage der Befragung von $500$ zufällig ausgewählten Männern bei einer vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ und gib die Entscheidungsregel im Sachzusammenhang an.
(7 BE)
#hypothesentest
4.
In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Drei Kugeln tragen die Zahl 4, die anderen beiden die von $4$ verschiedene Zahl $x.$
4.1
Im dargestellten Sachzusammenhang wird die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $1-0,6^3$ berechnet.
Beschreibe das zugrundeliegende Zufallsexperiment und das Ereignis.
(3 BE)
4.2
Werden der Urne zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen, so ist der Erwartungswert für die Summe der beiden Zahlen auf den entnommenen Kugeln $12.$
#erwartungswert
4.2.1
Begründe ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass $x$ größer als $5$ ist.
(2 BE)
4.2.2
Berechne die Zahl $x.$
(4 BE)
Binomialsummenfunktion $\boldsymbol{F_{n;p}(k)= \displaystyle\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i} \cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}} $ für $\boldsymbol{n=500}$
Binomialsummenfunktion $\boldsymbol{F_{n;p}(k)= \displaystyle\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i} \cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}} $ für $\boldsymbol{n=500}$
$p=$$0,025$
$k=$
$0$ $0,0000$
$1$$0,0000$
$2$$0,0003$
$3$$0,0014$
$4$$0,0050$
$5$$0,0139$
$6$$0,0330$
$7$$0,0674$
$8$$0,1218$
$9$$0,1980$
$10$$0,2940$
$11$$0,4037$
$12$$0,5183$
$13$$0,6285$
$14$$0,7269$
$15$$0,8086$
$16$$0,8721$
$17$$0,9185$
$18$$0,9504$
$19$$0,9711$
$20$$0,9839$
$21$$0,9914$
$22$$0,9956$
$23$$0,9978$
$24$$0,9990$
$25$$0,9995$
$26$$0,9998$
$27$$0,9999$
$28$$1,0000$
Die Werte $1,0000$ und $0,0000$ bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet $1,0000$ bzw. $0,0000.$
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Vierfeldertafel erstellenC2 - Stochastik
Im Folgenden findest du eine Lösung mit den absoluten Zahlen. Du kannst aber auch Wahrscheinlichkeiten verwenden.
$\boldsymbol{S}$$\boldsymbol{\overline{S}}$Gesamt
$\boldsymbol{M}$$59$$2301$$2360$
$\boldsymbol{\overline{M}}$$11$$2189$$2200$
Gesamt$70$$4490$$4560$
1.2
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Terme im Sachzusammenhang beschreiben
$P_M(S)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Mann Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigt.
$P(M\cap S)$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person männlich ist und Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigt.
#bedingtewahrscheinlichkeit
1.3
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
Der Vierfeldertafel aus 1.1 kannst du entnehmen, dass insgesamt $70$ der befragten Personen Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigten. Davon sind $11$ Frauen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens eine Frau ist, beträgt also $\frac{11}{70}.$
2.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Betrachte die in der Aufgabe genannte Zufallsgröße $X.$ Diese kann als binomialverteilt mit $n=200$ und $p=0,025$ angenommen werden. Mit der entsprechenden Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=4)\\[5pt] &=& \binom{200}{4}\cdot 0,025^4\cdot 0,975^{196} \\[5pt] &\approx& 0,1768 \\[5pt] &=& 17,68 \,\% \\[10pt] P(B) &=& P(X\geq 4) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 3) \\[5pt] &=& 1-\left(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) +P(X=3) \right) \\[5pt] &=& 1-(\binom{200}{0}\cdot 0,025^0\cdot 0,975^{200} + \binom{200}{1}\cdot 0,025^1\cdot 0,975^{199} \\[5pt] && +\binom{200}{2}\cdot 0,025^2\cdot 0,975^{198} +\binom{200}{3}\cdot 0,025^3\cdot 0,975^{197} ) \\[5pt] &\approx& 0,7385 \\[5pt] &=& 73,85\,\% \\[10pt] P(C) &=& P(X=0) \\[5pt] &=& \binom{200}{0}\cdot 0,025^0\cdot 0,975^{200} \\[5pt] &\approx& 0,0063 \\[5pt] &=& 0,63\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&\approx& 17,68 \,\% \\[10pt] P(B) &\approx& 73,85\,\% \\[10pt] P(C) &\approx& 0,63\,\% \end{array}$
#binomialverteilung
2.2
$\blacktriangleright$  Intervall bestimmen
Berechne den Erwartungswert von $X$ mit der entsprechenden Formel für eine binomialverteilte Zufallsgröße:
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 200 \cdot 0,025 \\[5pt] &=& 5 \\[5pt] \end{array}$
Du kannst folgende Wahrscheinlichkeiten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=5) &=& \binom{200}{5} \cdot 0,025^5 \cdot 0,975^{195} \\[5pt] &\approx& 0,1777 \\[10pt] P(X=4) &\approx& 0,1768 \\[10pt] P(X=6) &=& \binom{200}{6}\cdot 0,025^6\cdot 0,975^{194} \\[5pt] &\approx& 0,1481 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=5) &\approx& 0,1777 \\[10pt] P(X=4) &\approx& 0,1768 \\[10pt] P(X=6) &\approx& 0,1481 \\[10pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit $P(4\leq X \leq 6)$ ist noch geringer als $90\,\%.$ Berechne also noch $P(X=3)$ und $P(X=7):$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3) &=& \binom{200}{3} \cdot 0,025^3 \cdot 0,975^{197} \\[5pt] &\approx& 0,1400 \\[10pt] P(X=7) &=& \binom{200}{7}\cdot 0,025^7\cdot 0,975^{193} \\[5pt] &\approx& 0,1052 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=3) &\approx& 0,1400 \\[10pt] P(X=7) &\approx& 0,1052 \\[10pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit $P(3\leq X \leq 7)$ ist immernoch geringer als $90\,\%.$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2) &=& \binom{200}{2} \cdot 0,025^2 \cdot 0,975^{198} \\[5pt] &\approx& 0,0827 \\[10pt] P(X=8) &=& \binom{200}{8}\cdot 0,025^8\cdot 0,975^{192} \\[5pt] &\approx& 0,0651 \\[10pt] P(X=1) &=& \binom{200}{1} \cdot 0,025^1 \cdot 0,975^{199} \\[5pt] &\approx& 0,0324\\[10pt] P(X=9) &=& \binom{200}{9}\cdot 0,025^9\cdot 0,975^{191} \\[5pt] &\approx& 0,0356 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=2) &\approx& 0,0827 \\[10pt] P(X=8) &\approx& 0,0651 \\[10pt] P(X=1) &\approx& 0,0324\\[10pt] P(X=9) &\approx& 0,0356 \\[10pt] \end{array}$
Es gilt nun:
$\begin{array}[t]{rll} P(2\leq X \leq 8 )&\approx& 0,8956 \\[5pt] &<& 0,9 \\[10pt] P(1\leq X \leq 9)&\approx& 0,9637 \\[5pt] &>& 0,9 \end{array}$
Das gesuchte Intervall ist also $[1;9].$
#binomialverteilung
2.3
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X_n,$ die die Anzahl der Männer mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens unter $n$ befragten Männern beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,025$ angenommen werden. Gesucht ist das kleinste $n$ mit $P(X_n \geq 1) \geq 0,9:$
$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 1) &\geq& 0,9 \\[5pt] 1- P(X_n =0) &\geq & 0,9 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] - P(X_n =0) &\geq & -0,1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_n =0) &\leq & 0,1 \\[5pt] \binom{n}{0} \cdot 0,025^0 \cdot 0,975^{n} &\leq& 0,1 \\[5pt] 0,975^{n} &\leq& 0,1 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] n\cdot \ln 0,975 &\leq& \ln 0,1 &\quad \scriptsize \mid\; :\ln 0,975 < 0\\[5pt] n&\geq& 90,95 \end{array}$
$ n\geq 90,95 $
Es müssen mindestens $91$ Männer befragt werden, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens einer Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens zeigt.
3.
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln
Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der Männer mit Anzeichen von spielsüchtigem Verhalten in der Stichprobe der $500$ Männer beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=500$ und unbekanntem $p$ angenommen werden. Wähle die Hypothesen wie folgt:
$H_0:\, p\geq 0,025$ und $H_1: p< 0,025$
Ist $Y$ entsprechend der Nullhypothese verteilt, gilt im Extremfall $p=0,025.$
Die Nullhypothese wird für besonders kleine Werte abgelehnt. Bestimme nun die größtmögliche Anzahl $k$ an Männern mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens, bei der die Nullhypothese gerade noch abgelehnt werden soll. Wegen der angegebenen Nullhypothese muss die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie in Wahrheit gilt, höchstens $5\,\%$ betragen. Die Entscheidungsgrenze $k$ muss also folgende Ungleichung erfüllen:
$P(Y\leq k)\leq 0,05 $
Suche nun in der Tabelle im Aufgabenblatt den größten Wert für $k$ für den diese Ungleichung noch erfüllt ist. Du erhältst: $k=6.$
Befinden sich in der Stichprobe der $500$ Männer also weniger als $6$ Männer mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens, kann die Bundeszentrale für gesundheitliche Aufklärung davon ausgehen, dass der Anteil der Männer mit Anzeichen spielsüchtigen Verhaltens unter $2,5\,\%$ gesunken ist.
4.1
$\blacktriangleright$  Zufallsexperiment und Ereignis beschreiben
Da der Exponent $3$ ist, kannst du davon ausgehen, dass aus der Urne drei Kugeln gezogen werden. Da sich die Wahrscheinlichkeiten offensichtlich nicht ändern, kannst du davon ausgehen, dass es sich um Ziehen mit Zurücklegen handelt. Das Zufallsexperiment kannst du also wie folgt beschreiben:
Aus der Urne wird dreimal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig gezogen und wieder zurückgelegt.
Betrachtest du nun den Term, dann kannst du den Wert $0,6$ der Wahrscheinlichkeit zuordnen, dafür dass es sich bei einer zufällig gezogenen Kugel um eine mit der Zahl $4$ handelt. Mit dem Term $0,6^3$ wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass alle drei gezogenen Kugeln mit der Zahl $4$ beschriftet sind.
Mit dem Term $1-0,6^3$ wird dementsprechend die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet. Ein mögliches Ereignis lautet also:
„Mindestens eine der drei entnommenen Kugeln trägt die Zahl $x.$“
4.2.1
$\blacktriangleright$  Größenangabe begründen
Wäre $x=5$ oder kleiner, dann wäre die Summe der Zahlen zweier Kugeln immer höchstens $10.$ Der Erwartungswert könnte dann nicht $12$ sein, da alle möglichen Ergebnisse kleiner als $12$ sind.
4.2.2
$\blacktriangleright$  Zahl berechnen
Es gibt insgesamt drei mögliche Summen:
  • $4+4 = 8:\,$
    $\begin{array}[t]{rll} P(8) &=& \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& 0,3 \\[5pt] \end{array}$
  • $4+x:\,$
    $\begin{array}[t]{rll} P(4+x) &=& \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4} \\[5pt] &=& 0,6 \\[5pt] \end{array}$
  • $x+x:2x\,$
    $\begin{array}[t]{rll} P(2x) &=& \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& 0,1 \\[5pt] \end{array}$
Für den Erwartungswert folgt:
$\begin{array}[t]{rll} E &=& 8\cdot P(8) + (4+x)\cdot P(4+x) + 2x\cdot P(2x) \\[5pt] &=& 8\cdot 0,3 + (4+x)\cdot 0,6 + 2x\cdot 0,1 \\[5pt] &=& 2,4 + 2,4+0,6x + 0,2x \\[5pt] &=& 4,8 + 0,8x \end{array}$
$ E=4,8 + 0,8x $
Der Erwartungswert soll $12$ sein:
$\begin{array}[t]{rll} 4,8 + 0,8x &=& 12 &\quad \scriptsize \mid\;-4,8 \\[5pt] 0,8x&=& 7,2 &\quad \scriptsize \mid\; :0,8 \\[5pt] x &=& 9 \end{array}$
$ x=9 $
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