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B2 - Analysis

Aufgaben
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Eine Brauerei stellt Fassbrause (Limonade aus Malzextrakt mit Kräuterzusätzen) und alkoholfreies Bier her.
1.
Die Entwicklung der wöchentlichen Produktionsmenge der Fassbrause über das Jahr hinweg lässt sich für das vergangene Jahr näherungsweise durch die Funktion $f$ mit
$f(t)= 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}\cdot (t-26)^2}+10$
auf dem Intervall $[0;52]$ modellieren. Hierbei gibt $t$ die Zeit in Wochen seit Jahresbeginn an; $f(t)$ beschreibt die wöchentliche Produktionsmenge in $\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$ Der Graph von $f$ ist im Material abgebildet.
1.1
Zeige rechnerisch, dass für $f'$ gilt:
$f'(t)= -0,18\cdot (t-26)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}$
$f'(t)= -0,18\cdot (t-26)\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}$
(4 BE)
#ableitung
1.2
Berechne die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f.$
Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(4 BE)
#extrempunkt
1.3
Begründe anhand des Funktionsterms von $f,$ dass die wöchentliche Produktionsmenge den Wert von $28\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ nicht überschreitet.
(3 BE)
1.4
Es gilt $f''(36) =0 .$ Deute dies im Sachzusammenhang.
(3 BE)
1.5
Es gilt: $\frac{1}{26}\displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt \approx 18,6$
Deute diese Berechnung im Sachzusammenhang.
(3 BE)
#integral
2.
Für das vergangene Jahr soll die wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers in $\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ zum Zeitpunkt $t$ in Wochen seit Jahresbeginn durch eine quadratische Funktion $g$ auf dem Intervall $[0;52]$ beschrieben werden. Zu Beginn des Jahres betrug die wöchentliche Produktionsmenge $7\,\frac{\text{m}^3}{\text{woche}}.$ Zum Zeitpunkt $t=30$ Wochen wurde mit $25\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ die größte wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers erreicht.
2.1
Leite die Funktionsgleichung von $g$ her und zeige, dass gilt:
$g(t)= -0,02t^2+1,2t+7$
Skizziere den Funktionsgraphen von $g$ in das Koordinatensystem im Material.
(7 BE)
#quadratischefunktion
2.2
Der Marketingberater der Brauerei trifft die folgenden Aussagen:
  • „Die Differenz zwischen der größten und der kleinsten wöchentlichen Produktionsmenge der Fassbrause und die entsprechende Differenz für das alkoholfreie Bier unterscheiden sich um weniger als $1\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$“
  • „Die Gesamtproduktion der Fassbrause innerhalb des vergangenen Jahres in $\text{m}^3$ war größer als die des alkoholfreien Biers.“
  • „In der Nachbarbrauerei beträgt die Gesamtproduktion des alkoholfreien Biers innerhalb eines Jahres mehr als $1.000.000$ Liter. Um dies zu erreichen, müssten wir unsere Produktion deutlich steigern.“
Prüfe die Aussagen des Beraters.
(8 BE)
3.
Die wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers soll erhöht werden. Zur Modellierung dieses Sachverhalts werden im Folgenden geignete Funktionen der Funktionenschar $g_m$ und $g_n$ verwendet mit $g_m(t)= m\cdot (-0,02t^2 +1,2t+7)$ und $g_n(t) = -0,02t^2+1,2t+7+n.$
Hierbei gibt $t$ jeweils die Zeit in Wochen seit Jahresbeginn an; $g_m(t)$ und $g_n(t)$ beschreiben die wöchentliche Produktionsmenge in $\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$
Es wird prognostiziert, dass die wöchentliche Produktionsmenge für den Zeitpunkt $t=30$ Wochen $35\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ beträgt.
#funktionenschar
3.1
Bestimme die Parameter $m$ und $n$ der beiden Funktionenscharen so, dass zum Zeitpunkt $t=30$ Wochen die prognostizierte wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers erreicht wird.
(4 BE)
3.2
Es sei $m=1,4$ und $n=10.$
Beschreibe jeweils im Sachzusammenhang die Wirkung des Parameters auf den Verlauf der Graphen $g_m$ bzw. $g_n$ im Vergleich zum Graphen von $g.$
(4 BE)
Material
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion zeigenB2 - Analysis
Mit der Kettenregel folgt für die erste Ableitung:
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2} +10 \\[5pt] f'(t) &=& 18\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}\cdot \left(-\frac{1}{200}(t-26)\cdot 2 \right) \\[5pt] &=& 18\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}\cdot \left(-\frac{1}{100}(t-26) \right) \\[5pt] &=& -0,18\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}\cdot \left(t-26 \right)-0,18\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}\cdot \left(t-26 \right) \\[5pt] &=& -0,18\cdot \left(t-26 \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2} \\[5pt] \end{array}$
$ f'(t)= … $
#kettenregel
1.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Hochpunkts berechnen
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle $t_E$ von $f$ lautet $f'(t_E)=0.$ Mit dem Ergebnis aus 1.1 ergibt sich folgende Rechnung:
$\begin{array}[t]{rll} f'(t) &=& 0 \\[5pt] -0,18\cdot \left(t-26 \right)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2} \neq 0 \\[5pt] -0,18\cdot \left(t-26 \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,18) \\[5pt] t-26 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +26 \\[5pt] t &=& 26 \end{array}$
$ t = 26 $
Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich also an der Stelle $t=26.$ Für die zweite Koordinate folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(26)&=& 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(26-26)^2} + 10 \\[5pt] &=& 28 \end{array}$
$ f(26)=28 $
Die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$ lauten $H(26\mid 28).$
1.3
$\blacktriangleright$  Maximalen Funktionswert begründen
Betrachte zunächst den Exponenten: $-\frac{1}{200}(t-26)^2$
Dieser kann aufgrund des Quadrats und des negativen Vorzeichens niemals positiv werden. Es gilt $-\frac{1}{200}(t-26)^2\leq 0$ für alle $t\in \mathbb{R}.$
Der Faktor $\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}$ kann daher maximal den Wert $1$ annehmen.
Insgesamt gilt daher folgendes:
$\underbrace{18\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}}_{\leq 1}}_{\leq 18} +10 \leq 28$
$ \underbrace{18\cdot \underbrace{\mathrm e^{-\frac{1}{200}(t-26)^2}}_{\leq 1}}_{\leq 18} $
Die wöchentliche Produktionsmenge kann also den Wert $28\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ nicht überschreiten.
1.4
$\blacktriangleright$  Funktionswert der zweiten Ableitung deuten
Da $f''(36) = 0$ gilt, besitzt $f'$ an dieser Stelle ein Extremum. Da der Graph an dieser Stelle fällt und auch anschließend immer weiter fällt, muss es sich um ein Minimum handeln. Die Steigung des Graphen von $f$ ist an dieser Stelle also minimal. Damit ist dies die Stelle, an der $f$ am stärksten abnimmt.
Im Sachzusammenhang bedeutet dies: Nach $36$ Wochen nimmt die wöchentliche Produktionsmenge am stärksten ab.
1.5
$\blacktriangleright$  Berechnung im Sachzusammenhang deuten
Mit dem Term $\frac{1}{26}\displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt$ wird der mittlere Funktionswert von $f$ im Bereich $0\leq t \leq 26$ berechnet. Im Sachzusammenhang entspricht dies der mittleren wöchentlichen Produktionsmenge in den ersten $26$ Wochen.
In den ersten $26$ Wochen werden also im Schnitt ca. $18,6\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ Fassbrause produziert.
#mittelwertvonfunktionen
2.1
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung herleiten
Da $g$ quadratisch ist, hat ihr Funktionsterm folgende Form:
$g(t) = a\cdot (t-b)^2 + c,$ wobei $(b\mid c)$ die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ sind.
Aus dem Aufgabentext lassen sich folgende Informationen ablesen:
  1. Zu Beginn des Jahres betrug die wöchentliche Produktionsmenge $7\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}},$ also ist:
    $g(0)=7$
  2. Die größte wöchentliche Produktionsmenge betrug $25\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ und wurde zum Zeitpunkt $t=30$ erreicht. Also besitzt der Hochpunkt des Graphen von $g$ die Koordinaten $(30\mid 25).$ Es ist also $b=30$ und $c=25:$
    $g(t)= a\cdot (t-30)^2 +25$
Einsetzen der ersten Information in die Gleichung aus 2. liefert:
$\begin{array}[t]{rll} g(t) &=& a\cdot (t-30)^2 +25 &\quad \scriptsize \mid\; g(0)=7 \\[5pt] 7 &=& a\cdot (0-30)^2 +25 \\[5pt] 7 &=& 900a +27 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] -18 &=& 900a &\quad \scriptsize \mid\; :900 \\[5pt] -0,02 &=& a \end{array}$
$ a=-0,02 $
Eine Gleichung der Funktion $g$ lautet also $g(t)= -0,02\cdot(t-30)^2+25.$
$\blacktriangleright$  Gleichung zeigen
$\begin{array}[t]{rll} g(t) &=& -0,02\cdot(t-30)^2+25 \\[5pt] &=& -0,02 \cdot \left(t^2-60t +900\right)+25 \\[5pt] &=& -0,02t^2+1,2t-18+25\\[5pt] &=& -0,02t^2+1,2t +7 \end{array}$
$ g(t)= … $
$\blacktriangleright$  Funktionsgraphen skizzieren
B2 - Analysis
Abb. 1: Graph von $g$
B2 - Analysis
Abb. 1: Graph von $g$
2.2
$\blacktriangleright$  Aussagen des Beraters prüfen
1. Aussage
Die größte wöchentliche Produktionsmenge der Fassbrause beträgt $28\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$ Da der Graph von $f$ nur einen Extrempunkt besitzt, bei dem es sich um einen Hochpunkt handelt, kann es keinen lokalen Tiefpunkt geben. Der kleinste Funktionswert im betrachteten Intervall $[0;52]$ muss daher in einem der beiden Intervallrändern liegen:
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(0-26)^2}+10 \\[5pt] &\approx& 10,613 \\[10pt] f(52) &=& 18\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{200}(52-26)^2}+10 \\[5pt] &\approx& 10,613 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &\approx& 10,613 \\[10pt] f(52) &\approx& 10,613 \\[10pt] \end{array}$
Die kleinste wöchentliche Produktionsmenge der Fassbrause beträgt also ca. $10,613\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$
Die Differenz zwischen der kleinsten und der größten wöchentlichen Produktionsmenge der Fassbrause beträgt also:
$d_F \approx 28\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}} - 10,613\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}} = 17,387\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$
$ d_F \approx 17,387\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}} $
Die größte wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers beträgt $25\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$ Da die Funktion $g$ quadratisch ist, kann auch ihr Graph keinen weiteren Extrempunkt als den Hochpunkt besitzen. Hier muss also ebenfalls der kleinste Funktionswert in einem der Intervallränder angenommen werden:
$\begin{array}[t]{rll} g(0) &=& -0,02\cdot 0^2 +1,2\cdot 0 +7 \\[5pt] &=& 7 \\[10pt] g(52) &=& -0,02\cdot 52^2 +1,2\cdot 52 +7 \\[5pt] &=& 15,32 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(0) &=& 7 \\[10pt] g(52) &=& 15,32 \\[10pt] \end{array}$
Die kleinste wöchentliche Produktionemgen des alkoholfreien Biers beträgt also $7\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$
Die Differenz zwischen der kleinsten und der größten wöchentlichen Produktionsmenge des alkoholfreien Biers beträgt also:
$d_B = 25\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}} - 7\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}} = 18\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$
$ d_B =18\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}} $
Die Differenz zwischen der größten und der kleinsten wöchentlichen Produktionsmenge der Fassbrause und die entsprechende Differenz des alkoholfreien Biers unterscheiden sich um ca. $0,613\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}.$ Diese Aussage des Beraters ist also wahr.
2. Aussage
Die jeweiligen Gesamtproduktionen kannst du mithilfe eines Integrals über $f$ bzw. $g$ über dem Intervall $[0;52]$ berechnen. Aus 1.5 weißt du, dass gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{26}\displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt&\approx& 18,6 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 26 \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt &\approx& 483,6 \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt \approx 483,6 $
Du benötigst allerdings den Wert des Integrals über $f$ für $0\leq t \leq 52.$ Der Exponent der Exponentialfunktion $f$ ist $-\frac{1}{200}\cdot (t-26)^2$ und damit quadratisch. Der zum Exponenten gehörende Graph ist achsensymmetrisch zur Paralellen zur $y$-Achse mit der Gleichung $t = 26.$ Da die Funktionsvariable $t$ lediglich im Exponenten vorkommt, gilt diese Symmetrieeigenschaft damit auch für den Graphen von $f.$
Damit gilt insbesondere:
$\displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt = \displaystyle\int_{26}^{52}f(t)\;\mathrm dt$
Und damit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{52}f(t)\;\mathrm dt&=& 2\cdot \displaystyle\int_{0}^{26}f(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &\approx & 2\cdot 483,6 \\[5pt] &=& 967,2 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{52}f(t)\;\mathrm dt \approx 967,2 $
Die Gesamtproduktion der Fassbrause betrug also ca. $967,2\,\text{m}^3.$ Für die Gesamtproduktion des alkoholfreien Biers gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{52}g(t)\;\mathrm dt&=& \displaystyle\int_{0}^{52}\left(-0,02t^2+1,2t+7 \right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \left[-\frac{1}{150}t^3+0,6t^2+7t \right]_0^{52}\\[5pt] &=& -\frac{1}{150}\cdot 52^3+0,6\cdot 52^2+7\cdot 52- \left(-\frac{2}{300}\cdot 0^3+0,6\cdot 0^2+7\cdot 0 \right) \\[5pt] &\approx& 1.049,013 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{0}^{52}g(t)\;\mathrm dt \approx 1.049,013 $
Im vergangenen Jahr betrug die Gesamtproduktion des alkoholfreien Biers also ca. $1.049,013\,\text{m}^3.$ Damit ist die Gesamtproduktion des alkoholfreien Biers größer als die der Fassbrause. Der Berater hat mit seiner zweiten Aussage also nicht recht.
3. Aussage
Im vergangenen Jahr hat die betrachtete Brauerei ca. $1.049\,\text{m}^3$ alkoholfreies Bier produziert. Umgerechnet in Liter ergibt das:
$1.049\,\text{m}^3 = 1.049.000\,l$
Dies sind sogar mehr als die $1.000.000\,l$ der Nachbarbrauerei. Die dritte Aussage des Beraters ist also ebenfalls falsch.
#integral
3.1
$\blacktriangleright$  Parameter bestimmen
Es soll gelten:
$g_m(30) = 35$ und $g_n(30) = 35$
Also ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} g_m(30) &=& 35 \\[5pt] m\cdot (-0,02\cdot 30^2 +1,2\cdot 30+7) &=& 35 \\[5pt] m\cdot 25&=& 35 &\quad \scriptsize \mid\; : 25 \\[5pt] m &=& 1,4 \end{array}$
$ m = 1,4 $
Analog ergibt sich für $n:$
$\begin{array}[t]{rll} g_n(30) &=& 35 \\[5pt] -0,02\cdot 30^2+1,2\cdot 30+7+n &=& 35 \\[5pt] 25 +n &=& 35 &\quad \scriptsize \mid\; -25\\[5pt] n &=& 10 \end{array}$
$ n = 10 $
Für $m=1,4$ und $n=10$ wird zum Zeitpunkt $t=30$ die prognostizierte wöchentliche Produktionsmenge des alkoholfreien Biers erreicht.
3.2
$\blacktriangleright$  Wirkung der Parameter beschreiben
Der Parameter $m=1,4$ führt zu einer Streckung des Graphen von $g$ in $y$-Richtung. Dadurch wird die wöchentliche Produktionsmenge zu jedem Zeitpunkt mit dem Faktor $1,4$ multipliziert.
Der Parameter $n=10$ verschiebt den Graphen von $g$ in positive $y$-Richtung. Dadurch wird die wöchentliche Produktionsmenge zu jedem Zeitpunkt um $10\,\frac{\text{m}^3}{\text{Woche}}$ erhöht.
Bildnachweise [nach oben]
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