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Aufgaben
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Zahl der Woche Nr. 042 vom 21.10.2008
137.000 Migrantenkinder ohne [allgemeinen] Schulabschluss
WIESBADEN $-$ Kinder von Migranten tun sich schwer im deutschen Schulsystem. Das Statistische Bundesamt hat anhand von Zahlen aus dem Jahr 2007 den Schulerfolg von „Menschen mit Migrationshintergrund“ untersucht, die ihre schulische Ausbildung ausschließlich in Deutschland erhalten haben. Dazu mussten diese entweder in Deutschland geboren oder beim Zuzug höchstens fünf Jahre alt gewesen sein.
Von den 2,0 Millionen Menschen mit Migrationshintergrund, die […] das deutsche Schulsystem […] durchlaufen haben, haben 137.000 keinen allgemeinen Schulabschluss erreicht […].
Zu den „Menschen mit Migrationshintergrund“ zählen alle seit 1950 Zugewanderten und ihre Nachkommen.
[Unter den Personen ohne Migrationshintergrund] gab es im Übrigen 847.000 Menschen ohne [allgemeinen] Schulabschluss, das sind 1,5 % [aller Personen dieser Personengruppe].
Quelle: Statistisches Bundesamt (www.destatis.de)
Hinweis: Im obigen Artikel sowie im Nachfolgenden werden ausschließlich Personen betrachtet, die das deutsche Schulsystem durchlaufen haben.
1.
1.1 Geben Sie mit Hilfe der Daten aus dem Text des Statistischen Bundesamtes die fehlenden Werte in folgender Tabelle an; runden Sie die Zahlen dabei sinnvoll.
Personen mit allgemeinen
Schulabschluss
ohne allgemeinen
Schulabschluss
Summe$\quad$
mit Migrationshintergrund
ohne Migrationshintergrund $\,$
Summe
(6P)
1.2 Berechnen Sie die relative Häufigkeit, dass es sich bei einer Person mit allgemeinem Schulabschluss um jemanden mit Migrationshintergrund handelt.
(3P)
2. Wegen verstärkter Integrationsbemühungen geht man davon aus, dass unter den Personen mit Migrationshintergrund der Anteil derer, die keinen allgemeinen Schulabschluss erreichen, im Jahr 2014 auf 5 % gesunken sein wird.
Bestimmen Sie unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
$E_1$: Im Jahr 2014 erreichen von 50 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund genau 2 keinen allgemeinen Schulabschluss.
$E_2$: Im Jahr 2014 erreichen von 100 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund mindestens 90 einen allgemeinen Schulabschluss.
Begründen Sie Ihren mathematischen Ansatz zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten.
(9P)
3. Laut Statistischem Bundesamt soll die Quote der Schulabgänger aus allgemeinbildenden Schulen mit allgemeiner Hochschulreife von derzeit 31 % auf rund 35 % bis ins Jahr 2015 gesteigert werden. Im Wahlkampf verspricht die Partei A, die Quote für das Jahr 2015 auf über 40 % zu steigern.
3.1 Im Jahr 2015 werden 100 Schulabgänger zufällig ausgewählt und nach Ihrem Schulabschluss gefragt. Entwickeln Sie einen geeigneten Hypothesentest und geben Sie eine Entscheidungsregel auf der Basis von $\alpha\leq5 \%$ an, mit der die Partei A überprüfen kann, ob sie ihr Wahlversprechen gehalten hat.
(8P)
3.2 Stellen Sie dar, welche Fehler auftreten können, und diskutieren Sie jeweils deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
(4P)
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$Angeben der fehlenden Werte in der Tabelle
In der Aufgabenstellung zu dieser Aufgabe ist dir ein Bericht des statistischen Bundesamtes gegeben. Dieser Bericht handelt von Kindern von Migranten und über deren Erfolg in der Schule. Weiterhin hast du eine Tabelle gegeben, die du mit Hilfe des gegebenen Berichtes ausfüllen sollst.
Willst du dies hier tun, so analysiere zunächst die Tabelle:
  • Bei der Tabelle handelt es sich um eine Vierfeldertafel;
  • die Spalten der Tabelle behandeln allgemein die Zahlen der Personen mit und ohne allgemeinen Schulabschluss;
  • die Zeilen der Tabelle behandeln hingegen die Zahlen zum Migrationshintergrund der behandelten Personen;
  • außerdem ist jeweils eine Zeile bzw. Spalte gegeben, die die Summe der Personengruppen behandelt.
Willst du also die Spalten der Tabelle ausfüllen, so musst du den gegebenen Text explizit auf Aussagen zum Schulabschluss untersuchen. Die Zeilen füllst du aus, in dem du die Aussagen zum Migrationshintergrund der behandelten Personengruppen untersuchst. Hast du alle Zahlen ermittelt, so bildest du zuletzt die Summe der Zahlen, um die Tabelle zu vervollständigen.
1.2 $\blacktriangleright$Bestimmen der gesuchten relativen Häufigkeit
Nun sollst du die relative Häufigkeit dafür bestimmen, dass es sich bei einer Person mit allgemeinem Schulabschluss um jemanden mit Migrationshintergrund handelt.
Die relative Häufigkeit ergibt sich dabei aus dem Quotienten der Personen mit Migrationshintergrund und allgemeinem Schulabschluss und der Personen die insgesamt einen allgemeinen Schulabschluss in der Tasche haben.
Betrachtest du dazu die eben ausgefüllte Tabelle, dann kannst du dieser folgende zwei Werte entnehmen:
  • Personen mit Migrationshintergrund und allgemeinem Schulabschluss: 1.863.000
  • Gesamtzahl der Personen mit allgemeinem Schulabschluss (Summe der Spalte): 57.483.000
2. $\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $E_1$
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass man wegen verstärkter Integrationsbemühungen davon ausgeht, dass unter den Personen mit Migrationshintergrund der Anteil derer, die keinen allgemeinen Schulabschluss erreichen, im Jahr 2014 auf 5 % gesunken sein wird.
Deine Aufgabe ist es dabei, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E_1$, mit
$E_1$: „Im Jahr 2014 erreichen von 50 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund genau 2 keinen Schulabschluss.“,
zu berechnen und dabei deinen mathematischen Ansatz zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten darzulegen.
Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen, so betrachtest du die Zufallsvariable $X$. Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Personen mit Migrationshintergrund, die keinen allgemeinen Schulabschluss erreichen. Da $X$ nur die Ausprägungen
  • „Person mit Migrationshintergrund besitzt allgemeinen Schulabschluss“ und
  • „Person mit Migrationshintergrund besitzt keinen allgemeinen Schulabschluss“
kennt und es sich aufgrund der konstanten Wahrscheinlichkeit von 5 % dafür, dass eine Person mit Migrationshintergrund keinen allgemeinen Schulabschluss, näherungsweise um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, kann Zufallsvariable $X$ als binomialverteilt angenommen werden.
Da insgesamt 50 Personen bei Ereignis $E_1$ betrachtet werden, ist $X$ mit $p = 0,05$ und $n = 50$ binomialverteilt. Da du hier die Wahrscheinlichkeit dafür suchst, dass genau 2 der 50 betrachteten Personen keinen allgemeinen Schulabschluss besitzen, suchst du hier die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ den Wert 2 annimmt:
$P(X = 2)$
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $E_2$
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E_2$, mit
$E_2$: „Im Jahr 2014 erreichen von 100 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund mindestens 90 einen Schulabschluss.“,
berechnen. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Y$. Zufallsvariable $Y$ beschreibt hier die Anzahl der Personen, die einen allgemeinen Schulabschluss erreicht und einen Migrationshintergrund haben. Mit gleicher Begründung wie oben ist $Y$ binomialverteilt, jedoch mit anderen Parametern. Da nun die Personen betrachtet werden, die einen allgemeinen Schulabschluss erreicht haben, ist die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit $p = 0,95$. Weiterhin werden nun nicht mehr nur 50 sondern 100 Personen befragt.
Zufallsvariable $Y$ ist also mit $p = 0,95$ und $n = 100$ binomialverteilt.
Nun suchst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 90 Personen, von den 100 befragten Personen mit Migrationshintergrund, einen allgemeinen Schulabschluss besitzen. Es wird also die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass die Zufallsvariable $Y$ einen Wert größer gleich 90 annimmt:
$P(Y \geq 90)$
3.
3.1 $\blacktriangleright$Entwickeln eines Hypothesentests und Angeben einer Entscheidungsregel
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass laut statistischem Bundesamt die Quote der Schulabgänger aus allgemeinbildenden Schulen mit allgemeiner Hochschulreife von derzeit 31 % auf rund 35 % bis ins Jahr 2015 gesteigert werden soll. Im Wahlkampf verspricht dazu die Partei A, die Quote für das Jahr 2015 auf über 40 % zu steigern.
Deine Aufgabe ist es dabei, einen geeigneten Hypothesentest zu entwickeln und dazu eine Entscheidungsregel auf der Basis des Signifikanzniveaus $\alpha \leq 5 \%$ anzugeben, mit der die Partei A überprüfen kann, ob sie ihr Wahlversprechen gehalten hat. Dazu werden hier im Jahr 2015 100 zufällig ausgewählte Schulabgänger zu ihrem Schulabschluss befragt.
Da mit dem Hypothesentest untersucht werden soll, ob der Anteil der Schulabgänger mit allgemeiner Hochschulreife größer gleich 40 % im Jahr 2015 ist, muss die Nullhypothese hier wie folgt lauten:
$H_0: \quad p_0 \leq 0,4$
Da man diese Hypothese hier verwerfen möchte, handelt es sich hier um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Die Gegenhypothese $H_1$ muss hier demnach wie folgt lauten:
$H_1: \quad p_1 > 0,4$
Diese Hypothese möchte Partei A annehmen. Um entscheiden zu können, ab welcher Anzahl von Schulabgängern mit allgemeiner Hochschulreife die Partei annehmen kann, dass der Anteil der Schulabgänger mit Hochschulreife auf über 40 % gestiegen ist, musst du hier Ablehnungs- und Annahmebereich bestimmen. Für diese muss hier gelten:
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left(0,1,2,…,k-1\right)$;
  • Annahmebereich: $A = \left(k,k+1,…,100\right)$.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $Z$, die die Anzahl der Schulabgänger mit allgemeiner Hochschulreife unter den 100 Befragten beschreibt. Mit gleicher Begründung wie in den Aufgabenteilen zuvor ist $Z$ binomialverteilt. Um mit $Z$ Annahme- und Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss diese mit $p = 0,4$ und $n = 100$ binomialverteilt sein.
3.2 $\blacktriangleright$Darstellen, welche Fehler auftreten können und Interpretieren
Hier sollst du nun darstellen, welche Fehler beim oben durchgeführten Hypothesentest auftreten können. Weiterhin sollst du angeben, welche Bedeutung diese im hier behandelten Zusammenhang besitzen.
Allgemein können bei einem Hypothesentest folgende zwei Fehler auftreten:
  • Fehler 1. Art: Die Nullhypothese $H_0$ wird fälschlicherweise abgelehnt.
  • Fehler 2. Art: Die Nullhypothese $H_0$ wird fälschlicherweise beibehalten.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$Angeben der fehlenden Werte in der Tabelle
In der Aufgabenstellung zu dieser Aufgabe ist dir ein Bericht des statistischen Bundesamtes gegeben. Dieser Bericht handelt von Kindern von Migranten und über deren Erfolg in der Schule. Weiterhin hast du eine Tabelle gegeben, die du mit Hilfe des gegebenen Berichtes ausfüllen sollst.
Willst du dies hier tun, so analysiere zunächst die Tabelle:
  • Bei der Tabelle handelt es sich um eine Vierfeldertafel;
  • die Spalten der Tabelle behandeln allgemein die Zahlen der Personen mit und ohne allgemeinen Schulabschluss;
  • die Zeilen der Tabelle behandeln hingegen die Zahlen zum Migrationshintergrund der behandelten Personen;
  • außerdem ist jeweils eine Zeile bzw. Spalte gegeben, die die Summe der Personengruppen behandelt.
Willst du also die Spalten der Tabelle ausfüllen, so musst du den gegebenen Text explizit auf Aussagen zum Schulabschluss untersuchen. Die Zeilen füllst du aus, in dem du die Aussagen zum Migrationshintergrund der behandelten Personengruppen untersuchst. Hast du alle Zahlen ermittelt, so bildest du zuletzt die Summe der Zahlen, um die Tabelle zu vervollständigen.
Gleich der Überschrift, mit
„137.000 Migrantenkinder ohne [allgemeinen] Schulabschluss“
kannst du den ersten Wert der Tabelle entnehmen. Diese Aussage besagt, dass 137.000 Personen mit Migrationshintergrund keinen bzw. ohne allgemeinen Schulabschluss dastehen.
Als nächstes kannst du folgende Aussage betrachten:
„Von den 2,0 Millionen Menschen mit Migrationshintergrund, die […] das deutsche Schulsystem […] durchlaufen haben,…“
Diese Aussage besagt lediglich, dass 2,0 Millionen Menschen mit Migrationshintergrund das deutsche Schulsystem durchlaufen haben. Das heißt, für die Summe der Personen mit Migrationhintergrund gilt 2,0 Millionen.
Zuletzt findest du die Aussage:
„[Unter den Personen ohne Migrationshintergrund] gab es im Übrigen 847.000 Menschen ohne [allgemeinen] Schulabschluss, das sind 1,5 % [aller Personen dieser Personengruppe].“
Diese Aussage besagt, dass insgesamt 847.000 Menschen ohne Migrationshintergrund die Schule ohne [allgemeinen] Schulabschluss beendet haben. Weiterhin entspricht dies 1,5 % aller Personen, die die Schule besucht haben und keinen Migrationshintergrund haben.
Trägst du die bis jetzt bekannten Werte in die gegebene Tabelle ein, so sollte diese wie folgt aussehen:
Personen mit allgemeinen
Schulabschluss
ohne allgemeinen
Schulabschluss
Summe$\quad$
mit Migrationshintergrund 137.000 2.000.000
ohne Migrationshintergrund $\,$ 847.000
Summe
Die Anzahl der Personen, die einen allgemeinen Schulabschluss und einen Migrationshintergrund besitzen, berechnest du nun über die Summe in dieser Zeile:
$\begin{array}{lcl} \text{Summe}&=&\text{Schüler ohne Schulabschluss} + \text{Schüler mit Schulabschluss}\\ 2.000.000&=&137.000 + \text{Schüler mit Schulabschluss}&\scriptsize{\mid\; - 137.000}\\ 1.863.000&=&\text{Schüler mit Schulabschluss}\\ \end{array}$
Weiterhin weißt du, dass die 847.000 Menschen ohne Migrationshintergrund ebenfalls die Schule ohne allgemeinen Schulabschluss verlassen haben. Dies waren 1,5 % aller Personen dieser Personengruppe. Aus dieser Angabe lässt sich nun berechnen, wie viele Personen dieser Personengruppe überhaupt die Schule besucht haben:
$\text{Personen ohne Migrationshintergrund} = \dfrac{847.000}{1,5} \cdot 100 \approx 56.467.000$
Mit dieser Angabe kannst du zuletzt die Anzahl der Personen berechnen, die keinen Migrationshintergrund haben und die Schule mit allgemeinem Schulabschluss verlassen haben. Gehe dazu wie oben vor:
$\begin{array}{lcl} \text{Schüler mit Schulabschluss}&=&\text{Summe} - \text{Schüler ohne Schulabschluss}\\ &=&56.467.000 - 847.000\\ &=&55.620.000\\ \end{array}$
Füllst du nun die Tabelle vollständig aus, so sollte diese hier wie folgt aussehen:
Personen mit allgemeinen
Schulabschluss
ohne allgemeinen
Schulabschluss
Summe$\quad$
mit Migrationshintergrund 1.863.000 137.000 2.000.000
ohne Migrationshintergrund $\,$ 55.620.000 847.000 56.467.000
Summe 57.483.000 984.000 58.467.000
1.2 $\blacktriangleright$Bestimmen der gesuchten relativen Häufigkeit
Nun sollst du die relative Häufigkeit dafür bestimmen, dass es sich bei einer Person mit allgemeinem Schulabschluss um jemanden mit Migrationshintergrund handelt.
Die relative Häufigkeit ergibt sich dabei aus dem Quotienten der Personen mit Migrationshintergrund und allgemeinem Schulabschluss und der Personen die insgesamt einen allgemeinen Schulabschluss in der Tasche haben.
Betrachtest du dazu die eben ausgefüllte Tabelle, dann kannst du dieser folgende zwei Werte entnehmen:
  • Personen mit Migrationshintergrund und allgemeinem Schulabschluss: 1.863.000
  • Gesamtzahl der Personen mit allgemeinem Schulabschluss (Summe der Spalte): 57.483.000
Bilde nun den Quotienten dieser beiden Zahlen, um die hier gesuchte relative Häufigkeit zu berechnen:
$\text{rel. Häufigkeit} = \dfrac{1.863.000}{57.483.000} \approx 0,0324 = 3,24 %$
Die relative Häufigkeit dafür, dass es sich bei einer Person die einen allgemeinen Schulabschluss hat, um eine Person mit Migrationshintergrund handelt, ist 3,24 %.
2. $\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $E_1$
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass man wegen verstärkter Integrationsbemühungen davon ausgeht, dass unter den Personen mit Migrationshintergrund der Anteil derer, die keinen allgemeinen Schulabschluss erreichen, im Jahr 2014 auf 5 % gesunken sein wird.
Deine Aufgabe ist es dabei, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E_1$, mit
$E_1$: „Im Jahr 2014 erreichen von 50 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund genau 2 keinen Schulabschluss.“,
zu berechnen und dabei deinen mathematischen Ansatz zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten darzulegen.
Willst du die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen, so betrachtest du die Zufallsvariable $X$. Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Personen mit Migrationshintergrund, die keinen allgemeinen Schulabschluss erreichen. Da $X$ nur die Ausprägungen
  • „Person mit Migrationshintergrund besitzt allgemeinen Schulabschluss“ und
  • „Person mit Migrationshintergrund besitzt keinen allgemeinen Schulabschluss“
kennt und es sich aufgrund der konstanten Wahrscheinlichkeit von 5 % dafür, dass eine Person mit Migrationshintergrund keinen allgemeinen Schulabschluss, näherungsweise um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, kann Zufallsvariable $X$ als binomialverteilt angenommen werden.
Da insgesamt 50 Personen bei Ereignis $E_1$ betrachtet werden, ist $X$ mit $p = 0,05$ und $n = 50$ binomialverteilt. Da du hier die Wahrscheinlichkeit dafür suchst, dass genau 2 der 50 betrachteten Personen keinen allgemeinen Schulabschluss besitzen, suchst du hier die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ den Wert 2 annimmt:
$P(X = 2)$
Wahrscheinlichkeiten der Art $P(X = k)$ kannst du mit der Binomialverteilung über folgenden Ansatz berechnen:
$P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k \cdot \left(1 - p\right)^{n-k}$
Setze also $p = 0,05$, $n = 50$ und $k = 2$ ein, um die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen:
$P(X = 2)=\dbinom{50}{2} \cdot 0,05^2 \cdot (1-0,05)^{50 - 2}\;=\;3,0625 \cdot 0,95^{48} = 0,2611 $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 aus 50 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund, keinen Schulabschluss besitzen, ist 0,2611 bzw. 26,11 %.
$\blacktriangleright$Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $E_2$
Nun sollst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E_2$, mit
$E_2$: „Im Jahr 2014 erreichen von 100 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund mindestens 90 einen Schulabschluss.“,
berechnen. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Y$. Zufallsvariable $Y$ beschreibt hier die Anzahl der Personen, die einen allgemeinen Schulabschluss erreicht und einen Migrationshintergrund haben. Mit gleicher Begründung wie oben ist $Y$ binomialverteilt, jedoch mit anderen Parametern. Da nun die Personen betrachtet werden, die einen allgemeinen Schulabschluss erreicht haben, ist die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit $p = 0,95$. Weiterhin werden nun nicht mehr nur 50 sondern 100 Personen befragt.
Zufallsvariable $Y$ ist also mit $p = 0,95$ und $n = 100$ binomialverteilt.
Nun suchst du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 90 Personen, von den 100 befragten Personen mit Migrationshintergrund, einen allgemeinen Schulabschluss besitzen. Es wird also die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass die Zufallsvariable $Y$ einen Wert größer gleich 90 annimmt:
$P(Y \geq 90)$
Diese Wahrscheinlichkeit kannst du hier über den Ansatz der summierten Binomialverteilung berechnen:
$P(Y \leq k) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k} \dbinom{n}{i} p^i \cdot \left(1 - p\right)^{n-i}$
Da es mit diesem Ansatz jedoch nur möglich ist, Wahrscheinlichkeiten der Form $P(Y \leq k)$ zu berechnen, musst du hier mit dem Gegenereignis arbeiten. Wenn du eine Tabelle zur summierten Binomialverteilung zur Hand hast, kannst du diese hier anwenden. Mit dem gegebenen Ansatz lässt sich die Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rcl} P(Y \geq 90)&=&1 - P(Y < 90)\;=\; 1 - P(Y \leq 89)\\ &=&1 - \left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{89} \dbinom{100}{i} 0,05^i \cdot \left(1 - 0,05\right)^{100-i} \right) \\ &=& 1 - \left(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{89} \dbinom{100}{i} 0,05^i \cdot 0,95^{100-i} \right)\\ &=&1 - 0,01147 \approx 0,9885\\ \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 90 von 100 zufällig ausgewählten Personen mit Migrationshintergrund einen allgemeinen Schulabschluss besitzen, liegt bei 0,9885 bzw. 98,85 %.
3.
3.1 $\blacktriangleright$Entwickeln eines Hypothesentests und Angeben einer Entscheidungsregel
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass laut statistischem Bundesamt die Quote der Schulabgänger aus allgemeinbildenden Schulen mit allgemeiner Hochschulreife von derzeit 31 % auf rund 35 % bis ins Jahr 2015 gesteigert werden soll. Im Wahlkampf verspricht dazu die Partei A, die Quote für das Jahr 2015 auf über 40 % zu steigern.
Deine Aufgabe ist es dabei, einen geeigneten Hypothesentest zu entwickeln und dazu eine Entscheidungsregel auf der Basis des Signifikanzniveaus $\alpha \leq 5 \%$ anzugeben, mit der die Partei A überprüfen kann, ob sie ihr Wahlversprechen gehalten hat. Dazu werden hier im Jahr 2015 100 zufällig ausgewählte Schulabgänger zu ihrem Schulabschluss befragt.
Da mit dem Hypothesentest untersucht werden soll, ob der Anteil der Schulabgänger mit allgemeiner Hochschulreife größer gleich 40 % im Jahr 2015 ist, muss die Nullhypothese hier wie folgt lauten:
$H_0: \quad p_0 \leq 0,4$
Da man diese Hypothese hier verwerfen möchte, handelt es sich hier um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Die Gegenhypothese $H_1$ muss hier demnach wie folgt lauten:
$H_1: \quad p_1 > 0,4$
Diese Hypothese möchte Partei A annehmen. Um entscheiden zu können, ab welcher Anzahl von Schulabgängern mit allgemeiner Hochschulreife die Partei annehmen kann, dass der Anteil der Schulabgänger mit Hochschulreife auf über 40 % gestiegen ist, musst du hier Ablehnungs- und Annahmebereich bestimmen. Für diese muss hier gelten:
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left(0,1,2,…,k-1\right)$;
  • Annahmebereich: $A = \left(k,k+1,…,100\right)$.
Betrachte dazu die Zufallsvariable $Z$, die die Anzahl der Schulabgänger mit allgemeiner Hochschulreife unter den 100 Befragten beschreibt. Mit gleicher Begründung wie in den Aufgabenteilen zuvor ist $Z$ binomialverteilt. Um mit $Z$ Annahme- und Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss diese mit $p = 0,4$ und $n = 100$ binomialverteilt sein.
Ab wann die Nullhypothese verworfen bestimmst du nun wie folgt über das Signifikanzniveau:
$P(Z \geq k) \leq \alpha$
Das heißt, die Nullhypothese wird verworfen, wenn die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kleiner als 5 % ist. Ab welchem $k$ dies der Fall ist, berechnest du so:
$\begin{array}{lrll} P(Z \geq k)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z < k)&\leq&0,05\\ 1 - P(Z \leq k - 1)&\leq&0,05&\scriptsize{\mid \; - 1}\\ - P(Z \leq k - 1)&\leq&- 0,95&\scriptsize{\mid \;:( - 1)}\\ P(Z \leq k - 1)&\geq& 0,95\\ \end{array}$
Um nun das hier gesuchte $k$ zu bestimmen, musst du deine Tabelle für die summierte Binomialverteilung betrachten und das erste $k$ notieren, für welches die oben aufgestellte Ungleichung erfüllt ist.
Du findest: $F(100;0,4;\boldsymbol{48}) = 0,9577 > 0,95$
Da hier $k - 1 = 48$ gilt, gilt für $k$: $k = 49$.
Für Ablehnungs- und Annahmebereich folgt demnach:
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A} = \left(0,1,2,…,48\right)$;
  • Annahmebereich: $A = \left(49,50,…,100\right)$.
Das heißt, besitzen mindestens 49 der 100 befragten Schüler die allgemeine Hochschulreife, so kann die Partei davon ausgehen, dass sie ihr Wahlversprechen eingehalten hat.
3.2 $\blacktriangleright$Darstellen, welche Fehler auftreten können und Interpretieren
Hier sollst du nun darstellen, welche Fehler beim oben durchgeführten Hypothesentest auftreten können. Weiterhin sollst du angeben, welche Bedeutung diese im hier behandelten Zusammenhang besitzen.
Allgemein können bei einem Hypothesentest folgende zwei Fehler auftreten:
  • Fehler 1. Art: Die Nullhypothese $H_0$ wird fälschlicherweise abgelehnt.
  • Fehler 2. Art: Die Nullhypothese $H_0$ wird fälschlicherweise beibehalten.
Tritt hier der Fehler 1. Art auf, so bedeutet das, dass die Nullhypothese mit $H_0: p_0 \leq 0,4$ fälschlicherweise abgelehnt wird. Das heißt, die Partei geht davon aus, dass der Anteil der Schulabgänger mindestens 40 % beträgt, obwohl der Anteil tatsächlich unter 40 % liegt.
Tritt hier der Fehler 2. Art auf, so bedeutet das, dass die Nullhypothese mit $H_0: p_0 \leq 0,4$ fälschlicherweise beibehalten wird. Das heißt, die Partei geht davon aus, dass der Anteil der Schulabgänger unter 40 % liegt, ob wohl der Anteil tatsächlich über 40 % liegt.
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