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A1 - Analysis

Aufgaben
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1.
In einem Fachgeschäft wird eine Werbeaktion für ein spezielles Smartphone durchgeführt. Die täglichen Verkaufszahlen lassen sich näherungsweise durch die Funktion $g$ mit $g(t)=\ 30\cdot t \cdot \mathrm{e}^{-0,1 \cdot t}$ beschreiben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Tagen nach Beginn der Werbeaktion und $g(t)$ für die Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag.
Berechne den Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones (pro Tag) verkauft werden und bestimme die ungefähre Anzahl der verkauften Geräte an diesem Tag.
(8P)
#funktionswert#exponentielleswachstum
Im Folgenden werden die jährlichen Verkaufszahlen von Smartphones in einem Land mit 80 Millionen Einwohnern in den Jahren 2008 bis 2013 betrachtet. Hierzu wird das Jahr 2008 als Startzeitpunkt ($t=0$) angenommen. Der Wert $t$ beschreibt die Zeit in Jahren nach 2008. Für das Jahr 2012 gilt beispielsweise $t=4$.
2.
Die Entwicklung der Verkaufszahlen von Smartphones in den Jahren 2008 bis 2013 ist in Material 1 angegeben.
2.1
Die Daten aus Material 1 sollen als Säulendiagramm dargestellt werden. Zeichne die fehlenden Säulen in das Material 2.
(4P)
2.2
Zeige, dass die Entwicklung der Verkaufszahlen von Smartphones in diesem Zeitraum annähernd exponentiell verlief, und bestimme die Gleichung einer Exponentialfunktion $v$ der Form $v(t)=\ a \cdot b^t$, welche die Verkaufszahlen von Smartphones modelliert ($t$: Zeit in Jahren nach 2008, $v(t)$: Anzahl verkaufter Smartphones in Millionen Stück pro Jahr).
(5P)
#diagramm#wachstum
3.
Im Folgenden wird die Entwicklung der jährlichen Verkaufszahlen der Smartphones durch die Funktion $f$ mit $f(t)=\ 5 \cdot \mathrm{e}^{0,351 \cdot t}$ modelliert ($t$: Zeit in Jahren nach 2008, $f(t)$: Anzahl verkaufter Smartphones in Millionen Stück pro Jahr).
3.1
Skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von $f$ im Intervall $[-0,5;5,5]$ in das Säulendiagramm in Material 2.
(4P)
3.2
Berechne den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{5}\; f(t)\;\mathrm dt$ und deute dies im Sachzusammenhang.
(7P)
3.3
Bestimme unter Verwendung von Material 1 die Gesamtzahl der in den Jahren 2008 bis einschließlich 2013 tatsächlich verkauften Smartphones.
Vergleiche diesen Wert mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3.2 und erkläre die Abweichung.
Erläutere, wie durch Modifikation des Integrals aus Aufgabe 3.2 ein besseres Ergebnis erzielt werden kann und gib eine Modifikation an.
(7P)
3.4
Bestimme mithilfe der Modellierungsfunktion $f$ die zu erwartenden Verkaufszahlen von Smartphones im Jahr 2030 in diesem Land.
Beurteile diesen Wert sowie die Güte der Modellierung.
(5P)
#graph#exponentielleswachstum#integral

Material

Jahr200820092010201120122013
$t$ in Jahren
nach 2008
012345
Verkaufszahlen
in Millionen
Stück pro Jahr
5,007,1010,014,220,128,6
$t$ in Jahren
nach 2008
Verkaufszahlen
in Millionen
Stück pro Jahr
200805,00
200917,10
2010210,0
2011314,2
2012420,1
2013528,6
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der maximalen Verkaufszahl bestimmen
Im ersten Teil dieser Aufgabe wird der Tag nach Beginn der Werbeaktion gesucht, an dem die meisten Smartphones verkauft werden. Dabei wird die tägliche Entwicklung der Verkaufszahlen durch die Funktion
$g(t)=30 \cdot t\cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t}$
beschrieben, wobei $t$ für die Anzahl der Tage steht, die seit Beginn der Werbeaktion vergangen sind und $g(t)$ für die Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag.
Der Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones verkauft werden, entspricht der Maximalstelle der Funktion $g(t)$.
Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g'$ und $g''$.
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium indem du die Lösung aus 2. in $g''(t)$ setzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art des Extremums.
$\blacktriangleright$ Anzahl der verkauften Smartphones berechnen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du die ungefähre Anzahl der verkauften Geräte an dem Tag bestimmen, an dem die meisten Geräte verkauft werden. Aus dem ersten Teil weißt du bereits, um welchen Tag nach Start der Werbeaktion es sich handelt. Berechne den Funktionswert zu diesem Zeitpunkt.
2
2.1
$\blacktriangleright$ Die fehlenden Säulen in Material 2 einzeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Tabelle in Material 1 die fehlenden Säulen in das Säulendiagramm in Material 2 einzeichnen.
2.2
$\blacktriangleright$ Exponentiellen Verlauf der Verkaufszahlen zeigen
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du zeigen, dass die Verkaufszahlen der Smartphones im Zeitraum von 2008 bis 2013 exponentiell wachsen. Das Wachstum soll sich also durch eine Exponentialgleichung beschreiben lassen. Bei exponentiellem Wachstum erhöht sich der Funktionswert pro Zeitschritt immer um den gleichen Faktor. Bilde die Quotienten von jeweils zwei aufeinander folgenden Jahren, um diesen Faktor zu bestimmen und damit zu zeigen, dass er überall gleich ist.
$\blacktriangleright$ Exponentialgleichung bestimmen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du eine Gleichung aufstellen, die das Wachstum der Verkaufszahlen zwischen den Jahren 2008 und 2013 beschreibt. Da es sich um ein exponentielles Wachstum handelt, muss diese Gleichung eine Exponentialgleichung der Form
$v(t)=a\cdot b^{t}$
sein. Dabei steht $v(t)$ für den Bestand nach $t$ Zeitschritten, $a$ für den Anfangsbestand (also den Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$), $b$ für den Wachstumsfaktor und $t$ für den jeweils betrachteten Zeitschritt.
Aus der Tabelle in Material 1 liest du den Anfangsbestand ab. Dieser entspricht dem Bestand zum Zeitpunkt $t=0$.
Aus dem ersten Teil dieser Aufgabe weißt du bereits wie groß der Wachstumsfaktor $b$ ist.
3
3.1
$\blacktriangleright$ Verlauf des Funktionsgraphen $f$ zeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Verlauf des Funktionsgraphen von $f$ im Intervall $[-0,5;5,5]$ in das Säulendiagramm in Material 2 skizzieren.
Bestimme dazu einige Punkte der Funktion, indem du ausreichend viele Zeitpunkte $t$ in die Funktionsgleichung einsetzt und den Funktionswert $f(t)$ berechnest. Danach verbindest du diese Punkte miteinander und erhälst so den Verlauf des Funktionsgraphen von $f$.
3.2
$\blacktriangleright$ Das gegebene Integral berechnen
Zunächst sollst du die Funktion $f(t)$ in den Grenzen $0$ und $5$ integrieren.
Bilde die Stammfunktion von $f(t)$ und setze die Integrationsgrenzen ein.
$\blacktriangleright$ Wert des Integrals im Sachzusammenhang deuten
Jetzt sollst du noch erklären, was das Integral im vorliegenden Fall konkret zu bedeuten hat.
Das Integral beschreibt den Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen $t = 0$ (untere Integrationsgrenze) und $t = 5$ (obere Integrationsgrenze).
3.3
$\blacktriangleright$ Gesamtzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen
Im ersten Teil sollst du mit Hilfe der Tabelle in Material 1 die Anzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen. Dazu summierst du alle Verkaufszahlen in diesen Jahren auf.
$\blacktriangleright$ Diesen Wert mit dem Ergebnis aus 3.2 vergleichen und Abweichung erklären
In Aufgabe 3.2 hast du allerdings mittels des Integrals einen anderen Wert ausgerechnet. Deshalb sollst du im zweiten Teil erklären, warum es diesen Unterschied gibt.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals erklären
Um ein wahrheitsgetreueres Ergebnis zu erhalten, musst du also das Integral modifizieren. Entsprechend sollst du im letzten Teil der Aufgabe erklären, wie es durch eine Anpassung des Integrals zu einem besseren Ergebnis kommt und diese angeben.
Um den gesamten Zeitraum von Anfang 2008 bis Ende 2013 im Integral zu berücksichtigen, müssen die Grenzen des Integrals verändert werden. Das Jahr 2008 beginnt zum Zeitpunkt $t = -0,5$ und das Jahr 2013 endet zum Zeitpunkt $t = 5,5$. Deshalb müssen die Grenzen des Integrals dementsprechend angepasst werden.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals angeben
Das modifizierte Integral formulieren.
3.4
$\blacktriangleright$ Mithilfe von $\boldsymbol{f}$ die zu erwartenden Verkaufszahlen im Jahr 2030 berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du zunächst die im Jahr 2030 zu erwartenden Verkaufszahlen mit Hilfe der Funktion $f(t)$ berechnen. Dazu musst du bestimmen, welchem Zeitschritt $t$ das Jahr 2030 entspricht und danach das erhaltene $t$ in $f(t)$ einsetzen.
Beachte, dass das Ergebnis der Funktion $f$ in Mio. ist.
$\blacktriangleright$ Wert und die Güte der Modellierung beurteilen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du diesen Wert und die Güte der Modellierung beurteilen. Damit ist gemeint, dass du beurteilen sollst, wie realistisch das Ergebnis ist und wie gut die Funktion $f$ die tatsächliche Verkaufszahlenentwicklung beschreibt.
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1.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der maximalen Verkaufszahl bestimmen
Im ersten Teil dieser Aufgabe wird der Tag nach Beginn der Werbeaktion gesucht, an dem die meisten Smartphones verkauft werden. Dabei wird die tägliche Entwicklung der Verkaufszahlen durch die Funktion
$g(t)=30 \cdot t\cdot \mathrm e^{-0,1 \cdot t}$
beschrieben, wobei $t$ für die Anzahl der Tage steht, die seit Beginn der Werbeaktion vergangen sind und $g(t)$ für die Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag.
Der Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones verkauft werden, entspricht der Maximalstelle der Funktion $g(t)$.
Du hast die Funktion $g$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $t$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(t)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $g''(t)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $g''(t)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $g'$ und $g''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art des Extremums.
  4. Berechne den Funktionswert von $g$ an der Extremstelle.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& 30 \cdot t\cdot e^{-0,1 \cdot t} &\quad \scriptsize\; \\[10pt] g'(t)&=& 30 \cdot e^{-0,1 \cdot t} - 3 \cdot t \cdot e^{-0,1 \cdot t} &\quad \scriptsize \mid e^{-0,1 \cdot t} \, \mathrm{ausklammern}\; \\[5pt] &=& e^{-0,1 \cdot t}\cdot(30-3\cdot t)&\quad \scriptsize \\[10pt] g''(t)&=& 0,3 \cdot t \cdot e^{-0,1 \cdot t}-6 \cdot e^{-0,1 \cdot t} &\quad \scriptsize \mid e^{-0,1 \cdot t} \, \mathrm{ausklammern}\; \\[5pt] &=& e^{-0,1 \cdot t}\cdot (0,3\cdot t-6)& \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} g(t)&=& 30 \cdot t\cdot e^{-0,1 \cdot t} \\[10pt] g'(t)&=& e^{-0,1 \cdot t}\cdot(30-3\cdot t) \\[5pt] g''(t)&=& e^{-0,1 \cdot t}\cdot (0,3\cdot t-6)\\[5pt] \end{array} $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $g'(t)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] e^{-0,1 \cdot t}\cdot(30-3\cdot t) &=&0 &\quad \scriptsize \mid e^{-0,1 \cdot t}\, >\, 0 \, \text{für alle t} \in \mathbb{R}\; \\[5pt] (30-3 \cdot t)&=&0 &\quad \scriptsize \mid +3 \cdot t\; \\[5pt] 30&=&3 \cdot t &\quad \scriptsize \mid : t\; \\[5pt] t&=&10 \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} g'(t)&=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] e^{-0,1 \cdot t}\cdot(30-3\cdot t) &=&0\\[5pt] (30-3 \cdot t)&=&0 \\[5pt] 30&=&3 \cdot t\\[5pt] t&=&10 \end{array} $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Durch das Einsetzen von $t=10$ in die zweite Ableitung $g''(t)$ erhältst du einen Wert größer oder kleiner Null:
$\begin{array}[t]{rll} g''(t)&=& e^{-0,1 \cdot t}\cdot (0,3\cdot t-6) \\[5pt] g''(10)&=& e^{-0,1 \cdot 10}\cdot (0,3\cdot 10-6) \\[5pt] g''(10)&\approx& -1,1 < 0\\[5pt] \end{array}$
Es handelt sich um eine Maximalstelle.
Die meisten Smartphones werden am Tag 10 nach Beginn der Werbeaktion verkauft.
$\blacktriangleright$ Anzahl der verkauften Smartphones berechnen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du die ungefähre Anzahl der verkauften Geräte an dem Tag bestimmen, an dem die meisten Geräte verkauft werden. Aus dem ersten Teil weißt du bereits, dass es sich dabei um den 10. Verkaufstag nach Start der Werbeaktion handelt. Es ist also der Funktionswert von $g$ an der Stelle $t=10$ gesucht.
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& 30 \cdot t\cdot e^{-0,1 \cdot t}\\[10pt] g(10)&=& 30 \cdot 10 \cdot e^{-0,1 \cdot 10} \approx 110 \end{array}$
Am 10. Tag werden etwa 110 Smartphones verkauft.
#extrempunkt#exponentielleswachstum#ableitung
2
2.1
$\blacktriangleright$ Die fehlenden Säulen in Material 2 einzeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Tabelle in Material 1 die fehlenden Säulen in das Säulendiagramm in Material 2 einzeichnen.
Dazu liest du die Verkaufszahlen in den jeweiligen Jahren aus der Tabelle in Material 1 ab. Diese Werte stellen jeweils die Höhe der einzelnen Säulen dar. Beachte dabei, dass alle Säulen die gleiche Breite aufweisen müssen.
A1 - Analysis
Abb. 1: Säulendiagramm
A1 - Analysis
Abb. 1: Säulendiagramm
2.2
$\blacktriangleright$ Exponentiellen Verlauf der Verkaufszahlen zeigen
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du zeigen, dass die Verkaufszahlen der Smartphones im Zeitraum von 2008 bis 2013 exponentiell wachsen. Das Wachstum soll sich also durch eine Exponentialgleichung beschreiben lassen. Bei exponentiellem Wachstum erhöht sich der Funktionswert pro Zeitschritt immer um den gleichen Faktor. Bilde die Quotienten von jeweils zwei aufeinander folgenden Jahren, um diesen Faktor zu bestimmen und damit zu zeigen, dass er überall gleich ist.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{7,10}{5,00}&=1,42& &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{10,0}{7,10}&\approx 1,41& \scriptsize \\[5pt] \frac{14,2}{10,0}&= 1,42& \scriptsize \\[5pt] \frac{20,1}{14,2}&\approx 1,42& \scriptsize \\[5pt] \frac{28,6}{20,1}&\approx 1,42& \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Im Mittel ergibt sich ein Faktor von $1,42$.
$\blacktriangleright$ Exponentialgleichung bestimmen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du eine Gleichung aufstellen, die das Wachstum der Verkaufszahlen zwischen den Jahren 2008 und 2013 beschreibt. Da es sich um ein exponentielles Wachstum handelt, muss diese Gleichung eine Exponentialgleichung der Form
$v(t)=a\cdot b^{t}$
sein. Dabei steht $v(t)$ für den Bestand nach $t$ Zeitschritten, $a$ für den Anfangsbestand (also den Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$), $b$ für den Wachstumsfaktor und $t$ für den jeweils betrachteten Zeitschritt.
Aus der Tabelle in Material 1 liest du den Anfangsbestand ab: zum Zeitpunkt $t = 0$ wurden $5$ Mio. Smartphones verkauft, $a$ ist also gleich 5.
Aus dem ersten Teil dieser Aufgabe weißt du bereits, dass der Wachstumsfaktor gleich $1,42$ ist, d.h. $b=1,42$. Die geforderte Gleichung lautet also:
$v(t) = 5 \cdot 1,42^{t}$
#exponentielleswachstum#diagramm#division
3
3.1
$\blacktriangleright$ Verlauf des Funktionsgraphen $f$ zeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Verlauf des Funktionsgraphen von $f$ im Intervall $[-0,5;5,5]$ in das Säulendiagramm in Material 2 skizzieren.
Bestimme dazu einige Punkte der Funktion, indem du ausreichend viele Zeitpunkte $t$ in die Funktionsgleichung einsetzt und den Funktionswert $f(t)$ berechnest. Danach verbindest du diese Punkte miteinander und erhälst so den Verlauf des Funktionsgraphen von $f$.
Beispiel: $\begin{array}[t]{rll} t=4 &\longrightarrow&f(4)=5 \cdot e^{0,351}\cdot 4\\[5pt] f(4)&\approx& 20,36 \end{array}$
Damit ist $(4 \mid 20,36)$ ein Punkt der Funktion $f$.
A1 - Analysis
Abb. 2: Säulendiagramm mit Graph
A1 - Analysis
Abb. 2: Säulendiagramm mit Graph
3.2
$\blacktriangleright$ Das gegebene Integral berechnen
Zunächst sollst du die Funktion $f(t)$ in den Grenzen $0$ und $5$ integrieren.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}f(t)\;\mathrm dt&=&\displaystyle\int_{0}^{5}\; 5 \cdot e^{0,351 \cdot t}\;\mathrm dt&\quad \scriptsize \mid \text{konstanten Faktor vor Integral ziehen}\; \\[5pt] &=&5 \cdot \displaystyle\int_{0}^{5} e^{0,351\cdot t}\;\mathrm dt &\quad \scriptsize \mid 0,351=\frac{351}{1.000}\; \\[5pt] &=& 5 \cdot \displaystyle\int_{0}^{5} e^{\frac{351}{1.000} \cdot t}\;\mathrm dt &\quad \scriptsize \; \\[5pt] F(t)&=&5\cdot \left[\frac{1.000}{351} \cdot e^{\frac{351}{1.000} \cdot t}\right]_0^5&\quad \scriptsize \mid \text{konstanten Faktor vor Klammer ziehen}\; \\[5pt] &=&5 \cdot \frac{1.000}{351}\cdot \left[e^{\frac{351}{1.000}\cdot t}\right]_0^5 &\quad \scriptsize\; \\[5pt] &=&\frac{5.000}{351}\cdot \left[e^{\frac{351}{1.000}\cdot t}\right]_0^5&\quad \scriptsize\; \\[5pt] F(t)&=&\frac{5.000}{351}\cdot \left(e^{\frac{351}{1.000}\cdot 5} - e^{\frac{351}{1.000}\cdot 0}\right) \approx 68,14\; \mathrm{[Mio.]}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}f(t)\;\mathrm dt&=&5 \cdot \displaystyle\int_{0}^{5} e^{\frac{351}{1.000} \cdot t}\;\mathrm dt\\[5pt] F(t)&=&\frac{5.000}{351}\cdot \left[e^{\frac{351}{1.000}\cdot t}\right]_0^5\\[5pt] F(t)&\approx& 68,14\; \mathrm{[Mio.]} \end{array} $
$\blacktriangleright$ Wert des Integrals im Sachzusammenhang deuten
Jetzt sollst du noch erklären, was das Integral im vorliegenden Fall konkret zu bedeuten hat.
Das Integral beschreibt den Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen $t = 0$ (untere Integrationsgrenze) und $t = 5$ (obere Integrationsgrenze). Dieser Flächeninhalt ist also die Anzahl aller zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 verkauften Smartphones. Einfach ausgedrückt: Zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 wurden etwa 68,14 Mio. Smartphones verkauft.
3.3
$\blacktriangleright$ Gesamtzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen
Im ersten Teil sollst du mit Hilfe der Tabelle in Material 1 die Anzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen. Dazu summierst du alle Verkaufszahlen in diesen Jahren auf:
$\begin{array}[t]{rll} 5 + 7,1 + 10 + 14,2 + 20,1 + 28,6&=&85&\ \text{[Mio.]} \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 5 + 7,1 + 10 $ $ + 14,2 + 20,1 + 28,6 =85\ \text{[Mio.]} $
Zwischen 2008 und 2013 wurden 85 Mio. Smartphones verkauft.
$\blacktriangleright$ Diesen Wert mit dem Ergebnis aus 3.2 vergleichen und Abweichung erklären
In Aufgabe 3.2 hast du allerdings mittels des Integrals ausgerechnet, dass es etwa 68,14 Mio. Smartphones sein müssten. Deshalb sollst du im zweiten Teil erklären, warum es diesen Unterschied gibt.
Anhand des Säulendiagramms in Material 2 siehst du, dass der Zeitpunkt $\begin{array}&t = 0\end{array}$ nicht mit dem Anfang des Jahres 2008 übereinstimmt, sondern etwa in der Mitte liegt. Das bedeutet, dass dem Integral aus 3.2 das erste Halbjahr von 2008 fehlt. Analog verhält es sich mit 2013. Somit fehlt jeweils die Hälfte der Verkaufszahlen von 2008 und 2013. Deshalb ist der mit dem Integral berechnete Wert kleiner als der tatsächliche.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals erklären
Um ein wahrheitsgetreueres Ergebnis zu erhalten, musst du also das Integral modifizieren. Entsprechend sollst du im letzten Teil der Aufgabe erklären, wie es durch eine Anpassung des Integrals zu einem besseren Ergebnis kommt und diese angeben.
Um den gesamten Zeitraum von Anfang 2008 bis Ende 2013 im Integral zu berücksichtigen, müssen die Grenzen des Integrals verändert werden. Das Jahr 2008 beginnt zum Zeitpunkt $t = -0,5$ und das Jahr 2013 endet zum Zeitpunkt $t = 5,5$. Die untere Grenze des Integrals soll also nun $-0,5$ sein, die obere Grenze $5,5$.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals angeben
Das modifizierte Integral lautet also: $\displaystyle\int_{-0,5}^{5,5}\; 5 \cdot e^{0,351 \cdot t}\mathrm dt\approx 86,24$
(die Berechnung des Integrals wird nicht gefordert!)
3.4
$\blacktriangleright$ Mithilfe von $\boldsymbol{f}$ die zu erwartenden Verkaufszahlen im Jahr 2030 berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du zunächst die im Jahr 2030 zu erwartenden Verkaufszahlen mit Hilfe der Funktion $f(t)$ berechnen. Dazu musst du bestimmen, welchem Zeitschritt $t$ das Jahr 2030 entspricht und danach das erhaltene $t$ in $f(t)$ einsetzen.
1. Schritt: $t$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2010& \mathrel{\widehat{=}}&t = 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2030& \mathrel{\widehat{=}}&t = 22 \end{array}$
2. Schritt: $t = 22$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} f(22)&=& 5 \cdot e^{0,351 \cdot 22} \approx 11.287,4 \; \text{[Mio.]} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f(22)= 5 \cdot e^{0,351 \cdot 22}\\[5pt] \approx 11.287,4 \; \text{[Mio.]} \end{array} $
Beachte, dass das Ergebnis der Funktion $f$ in Mio. ist. Das bedeutet, dass im Jahr 2030 11.287,4 Mio. Smartphones verkauft werden müssten, was etwa 11 Milliarden Geräten entspricht.
$\blacktriangleright$ Wert und die Güte der Modellierung beurteilen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du diesen Wert und die Güte der Modellierung beurteilen. Damit ist gemeint, dass du beurteilen sollst, wie realistisch das Ergebnis ist und wie gut die Funktion $f$ die tatsächliche Verkaufszahlenentwicklung beschreibt.
Die errechnete Verkaufszahl für 2030 von etwa 11 Milliarden Smartphones ist nicht plausibel, da ein Land von 80 Mio. Einwohnern betrachtet wird. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass 80 Mio. Menschen im Jahr 2030 11 Milliarden Mobilgeräte kaufen.
Zudem erfährt der Markt eine zunehmende Sättigung, wodurch die Nachfrage nach einem Produkt sinkt, ein dauerhaft exponentielles Verkaufszahlenwachstum also nicht realistisch ist.
#diagramm#integral#graph#exponentielleswachstum
Bildnachweise [nach oben]
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