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B1 - Analysis

Aufgaben
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Das in Material 1 im Schrägbild dargestellte Werkstück hat eine rechteckige Grundfläche und dazu senkrecht verlaufende Seitenflächen. Es besteht aus zwei unterschiedlich gefärbten Kunststoffen. Der obere Teil ist heller, der untere dunkler gefärbt.
In Material 2 ist eine Querschnittsfläche des Werkstücks abgebildet.
1.
Die obere Randkurve der Querschnittsfläche kann für $-2\leq x \leq 10$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit
$f(x)= 0,016x^3-0,18x^2 +0,2x+5$
$f(x)= 0,016x^3-0,18x^2 +0,2x+5$
beschrieben werden (alle Angaben in $\text{cm}$).
1.1
Berechne, auch unter Berücksichtigung der Randwerte des Intervalls, an welcher Stelle das Werkstück am höchsten ist, und gib seine maximale Höhe an.
(8 BE)
1.2
Berechne den Inhalt $A$ der gesamten Querschnittsfläche des Werkstücks.
(4 BE)
2.
Die obere Randkurve des unteren, dunkler gefärbten Teils der Querschnittsfläche kann für $-2\leq x \leq 10$ durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)= \left(1,5\cdot x +4,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,3 x}$ beschrieben werden (alle Angaben in $\text{cm}$).
2.1
Mithilfe des Formansatzes $G(x)=(a\cdot x +b)\cdot \mathrm e^{-0,3x} $ soll eine Stammfunktion $G$ der Funktion $g$ ermittelt werden.
Berechne die Ableitungsfunktion $G'$ der Funktion $G.$
Ermittle durch Vergleich der Funktionsterme von $G'$ und $g$ eine Stammfunktion $G$ von $g.$
[Zur Kontrolle: $G(x)= \left(-5x-\frac{95}{3} \right)\cdot \mathrm e^{-0,3x}$]
(6 BE)
#stammfunktion#ableitung
2.2
Bestimme das Volumen des oberen, heller gefärbten Teils des Werkstücks.
(5 BE)
2.3
Auf der rechten Seite wird ein Teil des Werkstücks durch einen ebenen Schnitt abgetrennt. Die Schnittebene $E$ verläuft dabei senkrecht zur Querschnittsfläche und durch die Punkte $(9\mid 0)$ und $(10\mid 5).$
Erläutere eine Vorgehensweise, mit der man ermitteln kann, um wie viel Kubikzentimeter das in Aufgabe 2.2 bestimmte Volumen des oberen, heller gefärbten Werkstückteils dadurch kleiner wird.
(5 BE)
2.4
Für $x< -2$ hat der Graph von $G$ einen relativen Extrempunkt. Berechne diesen nur anhand der notwendigen Bedingung und begründe unter Verwendung der Abbildung in Material 2, dass es sich um einen relativen Tiefpunkt handeln muss.
(5 BE)
#extrempunkt
3.
Die Funktion $f$ gehört zu der Funktionenschar $f_k$ mit
$f_k(x)=k\cdot x^3-0,18x^2 +0,2x+5$
$f_k(x)=k\cdot x^3-0,18x^2 +0,2x+5$
für $k> 0.$
#funktionenschar
3.1
Berechne die Wendestelle $x_W$ des Graphen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k.$
Hinweis: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
[Zur Kontrolle: $x_W(k) = \frac{3}{50k}$]
(5 BE)
#wendepunkt
3.2
Untersuche, wie sich die Lage von $x_W(k)$ für $k\to \infty$ ändert.
(2 BE)
Material 1
Material 2
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe berechnen B1 - Analysis
Bestimme zunächst die Koordinaten der relativen Hochpunkte des Graphen von $f$ im angegebenen Intervall und vergleiche anschließend die $y$-Koordinaten mit den Funktionswerten an den Intervallrändern.
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0,016x^3 - 0,18x^2 + 0,2x + 5 \\[10pt] f'(x) &=& 0,048x^2 - 0,36x +0,2 \\[10pt] f''(x) &=& 0,096x - 0,36 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=… \\[10pt] f'(x) &=…\\[10pt] f''(x) &=… \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] 0,048x^2 - 0,36x +0,2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :0,048 \\[5pt] x^2-7,5x +\frac{25}{6} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-7,5}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-7,5}{2} \right)^2 -\frac{25}{6}} \\[5pt] &=& 3,75 \pm \sqrt{(-3,75)^2 -\frac{25}{6}} \\[5pt] x_1 &\approx& 0,604 \\[5pt] x_2 &\approx& 6,896 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[10pt] x_1 &\approx& 0,604 \\[5pt] x_2 &\approx& 6,896 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(0,604)&=& 0,096\cdot 0,604 - 0,36 \\[5pt] &\approx& -0,302 < 0 \\[5pt] f''(6,896)&=& 0,096\cdot 6,896 - 0,36 \\[5pt] &\approx& 0,302 > 0\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(0,604)&\approx -0,302 < 0 \\[5pt] f''(6,896)&\approx 0,302 > 0\\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x_1 \approx 0,604$ besitzt $f$ also ein lokales Maximum.
4. Schritt: Globales Maximum bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(-2) &=& 0,016\cdot (-2)^3 - 0,18\cdot (-2)^2 + 0,2\cdot (-2) + 5 \\[5pt] &=& 3,752 \\[10pt] f(0,604) &=& 0,016\cdot 0,604^3 - 0,18\cdot 0,604^2 + 0,2\cdot 0,604 + 5 \\[5pt] &\approx& 5,059 \\[10pt] f(10) &=& 0,016\cdot 10^3 - 0,18\cdot 10^2 + 0,2\cdot 10 + 5 \\[5pt] &=& 5 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(-2) &= 3,752 \\[10pt] f(0,604) &\approx 5,059 \\[10pt] f(10) &= 5 \\[5pt] \end{array}$
Die maximale Höhe liegt also an der Stelle $x\approx 0,604$ und beträgt ca. $5,059\,\text{cm}.$
#extrempunkt
1.2
$\blacktriangleright$  Inhalt der Querschnittsfläche berechnen
Gesucht ist der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von $f$ im Bereich $-2\leq x\leq 10.$ Diesen kannst du mit einem Integral berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{-2}^{10}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-2}^{10}\left(0,016x^3-0,18x^2 +0,2x+5\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[0,004x^4-0,06x^3 +0,1x^2+5x \right]_{-2}^{10} \\[5pt] &=& 0,004\cdot 10^4-0,06\cdot 10^3 +0,1\cdot 10^2+5\cdot 10 \\[5pt] && -\left(0,004\cdot (-2)^4-0,06\cdot (-2)^3 +0,1\cdot (-2)^2+5\cdot (-2) \right) \\[5pt] &=& 49,056 \\[5pt] \end{array}$
$ A= 49,056$
Der Flächeninhalt der gesamten Querschnittsfläche beträgt $49,056\,\text{cm}^2.$
#integral
2.1
$\blacktriangleright$  Ableitungsfunktion berechnen
Zur Bestimmung der ersten Ableitung von $G$ kannst du die Produktregel verwenden:
$\begin{array}[t]{rll} G(x) &=& (a\cdot x +b)\cdot \mathrm e^{-0,3x} \\[5pt] G'(x) &=& a\cdot \mathrm e^{-0,3x} + (a\cdot x +b)\cdot (-0,3) \mathrm e^{-0,3x} \\[5pt] &=& (a-0,3a\cdot x -0,3b)\cdot \mathrm e^{-0,3x} \\[5pt] &=& (-0,3a\cdot x +a -0,3b)\cdot \mathrm e^{-0,3x} \\[5pt] \end{array}$
$ G'(x)= … $
$\blacktriangleright$  Stammfunktion ermitteln
Verleiche nun die beiden Funktionsterme:
$\begin{array}[t]{rll} G'(x) &=& (-0,3a\cdot x +a -0,3b)\cdot \mathrm e^{-0,3x} \\[5pt] g(x) &=& (1,5\cdot x +4,5)\cdot \mathrm e^{-0,3x} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G'(x) &=… \\[5pt] g(x) &=… \end{array}$
Es ergeben sich also folgende Gleichungen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1,5 &=& - 0,3a \\ \text{II}\quad&4,5&=& a - 0,3b \\ \end{array}$
Aus der ersten Gleichung kannst du direkt einen Wert für $a$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} 1,5 &=& -0,3a &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,3)\\[5pt] -5 &=& a \end{array}$
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 4,5 &=& a-0,3b &\quad \scriptsize \mid\;a=-5 \\[5pt] 4,5 &=& -5-0,3b &\quad \scriptsize \mid\;+5 \\[5pt] 9,5 &=& -0,3b &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,3) \\[5pt] - \frac{95}{3} &=& b \\[5pt] \end{array}$
$ b=- \frac{95}{3} $
Eine Stammfunktion von $g$ ist also $G$ mit $G(x)= \left(-5\cdot x -\frac{95}{3} \right)\cdot \mathrm e^{-0,3x}.$
#produktregel
2.2
$\blacktriangleright$  Volumen des oberen Teils bestimmen
Das gesuchte Volumen ergibt sich aus dem Flächeninhalt der Grundfläche $G$ und der Tiefe $t = 4\,\text{cm}$ des Werkstücks:
$V= G\cdot t$
Die Grundfläche entspricht der Fläche, die die Graphen von $f$ und $g$ im Bereich $-2\leq x \leq 10$ einschließen. Den Flächeninhalt der gesamten Querschnittsfläche hast du bereits mit $A$ berechnet. Der Flächeninhalt der hier betrachteten Grundfläche kannst du als Differenz aus $A$ und dem Inhalt der Fläche unter dem Graphen von $g$ im Bereich $-2\leq x \leq 10$ berechnen. Berechne mithilfe von $G$ den Flächeninhalt $A_1$ der Fläche unter dem Graphen von $g:$
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{-2}^{10}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[G(x) \right]_{-2}^{10} \\[5pt] &=& G(10) -G(-2) \\[5pt] &=& \left(-5\cdot 10 -\frac{95}{3} \right)\cdot \mathrm e^{-0,3\cdot 10}-\left(-5\cdot (-2) -\frac{95}{3} \right)\cdot \mathrm e^{-0,3\cdot (-2)}\\[5pt] &=& -\frac{245}{3}\cdot \mathrm e^{-3} + \frac{65}{3}\cdot \mathrm e^{0,6} \\[5pt] &\approx& 35,413 \end{array}$
$ A_1 \approx 35,413 $
Die Fläche zwischen den Graphen von $f$ und $g$ für $-2\leq x \leq 10$ hat also folgenden Inhalt:
$\begin{array}[t]{rll} G &=& A -A_1 \\[5pt] &\approx& 49,056 - 35,413 \\[5pt] &=& 13,643 \end{array}$
Die Grundfläche des oberen Körpers hat also den Flächeninhalt $G \approx 13,643\,\text{cm}^2.$ Das Volumen des oberen Teilkörpers ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& G\cdot t \\[5pt] &\approx& 13,643\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] &=& 54,572\,\text{cm}^3 \end{array}$
Der obere, heller gefärbte Teil des Werkstücks besitzt ein Volumen von ca. $54,572\,\text{cm}^3.$
#integral
2.3
$\blacktriangleright$  Vorgehensweise erläutern
Durch den Schnitt wird der obere hellere Teil des Werkstücks in zwei Teilkörper geteilt. Die Querschnittsfläche mit dem Inhalt $A$ wird dabei entlang einer Geraden $h$ in zwei Teile mit den Flächeninhalten $A_1$ und $A_2$ geteilt.
Da die Schnittebene senkrecht zur Querschnittsfläche verläuft, können die Volumina der beiden Teilkörper wie in Aufgabe 2.2 berechnet werden:
$V_1 = A_1 \cdot t = A_1 \cdot 4\,\text{cm}\quad $ und $\quad V_2 = A_2 \cdot t = A_2 \cdot 4\,\text{cm} $
Du kannst mit $V_1$ beispielsweise das Volumen des verbliebenen Körpers bezeichnen und mit $V_2$ das Volumen des Stücks bezeichnen, das abgeschnitten wird. Um $V_2$ berechnen zu können benötigst du den Flächeninhalt $A_2.$
Diese Fläche wird durch die Gerade $h$ und durch den Graphen von $g$ begrenzt.
B1 - Analysis
Abb. 1: Skizze
B1 - Analysis
Abb. 1: Skizze
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Die Gerade $h$ verläuft durch die beiden Punkte $(9\mid 0)$ und $(10\mid 5).$ Stelle mit dieser Information eine Geradengleichung auf.
  2. Bestimme die Schnittstelle $x_S$ von $h$ und $g.$
  3. Der Flächeninhalt $A_2$ ergibt sich dann mithilfe eines Integrals:
    $A_2 = \displaystyle\int_{x_S}^{10}(h(x)-g(x))\;\mathrm dx$
  4. Anschließend kannst du das Volumen des abgeschnittenen Teils über die Formel $V_2 = A_2 \cdot 4\,\text{cm}$ berechnen.
2.4
$\blacktriangleright$  Relativen Extrempunkt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} G'(x) &=& 0 \\[5pt] g(x) &=& 0 \\[5pt] (1,5\cdot x +4,5)\cdot \mathrm e^{-0,3x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-0,3x} \neq 0 \\[5pt] 1,5\cdot x +4,5 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -4,5 \\[5pt] 1,5 x &=& -4,5 &\quad \scriptsize \mid\; :1,5 \\[5pt] x &=& -3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} G'(x) &=& 0 \\[5pt] g(x) &=& 0 \\[5pt] … \\[5pt] x &=& -3 \end{array}$
Der relative Extrempunkt des Graphen von $G$ für $x< -2$ besitzt also die $x$-Koordinate $x=-3.$
Die zugehörige $y$-Koordinate ist:
$\begin{array}[t]{rll} G(-3) &=& \left(-5\cdot (-3) -\frac{95}{3}\right)\cdot \mathrm e^{-0,3\cdot (-3)} \\[5pt] &=& -\frac{50}{3}\cdot \mathrm e^{0,9} \\[5pt] \end{array}$
$ G(-3)=-\frac{50}{3}\cdot \mathrm e^{0,9} $
Der relative Extrempunkt des Graphen von $G$ für $x< -2$ besitzt also die Koordinaten $E\left(-3\mid -\frac{50}{3}\cdot \mathrm e^{0,9}\right).$ In Material 2 findest du den Graphen von $g.$ Da $g$ die erste Ableitungsfunktion von $G$ ist, beschreibt der Graph von $g$ die Steigung des Graphen von $G.$
Material 2 kannst du entnehmen, dass $g$ an der Stelle $x=-3$ eine Nullstelle besitzt. An dieser Nullstelle wechselt $g$ das Vorzeichen von negativ zu positiv. Der Graph von $G$ besitzt daher zunächst eine negative Steigung, fällt also und geht dann in der Stelle $x=-3$ in eine positive Steigung über, steigt dann also an. Daher muss es sich bei dem lokalen Extrempunkt des Graphen von $G$ an dieser Stelle um einen Tiefpunkt handeln.
Der Graph von $G$ besitzt also den Tiefpunkt $E\left(-3\mid -\frac{50}{3}\cdot \mathrm e^{0,9}\right).$
3.1
$\blacktriangleright$  Wendestelle berechnen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x) &=& k\cdot x^3 -0,18x^2+0,2x+5 \\[10pt] f_k'(x) &=& 3k\cdot x^2 -0,36x+0,2 \\[10pt] f_k''(x) &=& 6k\cdot x -0,36 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x) &=… \\[10pt] f_k'(x) &=… \\[10pt] f_k''(x) &=… \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(x) &=& 0 \\[5pt] 6k\cdot x -0,36 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +0,36\\[5pt] 6k\cdot x &=& 0,36 &\quad \scriptsize \mid\; :(6k)\\[5pt] x &=& \frac{3}{50k} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(x) &=& 0 \\[5pt] …\\[5pt] x &=& \frac{3}{50k} \end{array}$
Der Graph von $f_k$ besitzt die Wendestelle $x_W(k) = \frac{3}{50k}.$
3.2
$\blacktriangleright$  Änderung der Lage untersuchen
Es ist $x_W(k) = \frac{3}{50k}.$
Für $k\to \infty$ gilt $ 50k \to \infty.$ Da $50k$ im Nenner des Bruchs steht, gilt damit $\frac{3}{50k}\to 0$ für $k\to \infty.$
Für $k\to \infty$ gilt also $x_W(k) \to 0.$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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