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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Anlässlich der documenta 6 wurde 1977 in Kassel ein Laserkunstwerk errichtet, das historisch markante Punkte der Stadt durch deutlich sichtbare geradlinig verlaufende Laserstrahlen verbindet.
In einer anderen Stadt soll ein ähnliches Kunstwerk installiert werden. Die drei geplanten Laserstrahlen verbinden wichtige Punkte der Stadt (Angaben in Metern):
Laserfarbe Ausgangspunkt Zielpunkt
Rot Museum $M(0\mid0\mid0)$ Bahnhof $B(200\mid500\mid30)$
Grün Funkturm $F(1.400\mid1.200\mid230)$ Schloss $S(800\mid400\mid130)$
Blau Funkturm $F(1.400\mid1.200\mid230)$ Bahnhof $B(200\mid500\mid30)$
Laserfarbe Rot
Anfangspunkt Museum
$M(0\mid0\mid0)$
Zielpunkt Bahnhof
$B(200\mid500\mid30)$
Laserfarbe Grün
Anfangspunkt Funkturm
$F(1.400\mid1.200\mid230)$
Zielpunkt Schloss
$S(800\mid400\mid130)$
Laserfarbe Blau
Anfangspunkt Funkturm
$F(1.400\mid1.200\mid230)$
Zielpunkt Bahnhof
$B(200\mid500\mid30)$
1. Ermitteln Sie, ob die Punkte $M$, $B$, $F$ und $S$ in einer Ebene liegen.
(6P)
2. Zur Finanzierung des Kunstwerks soll wie damals in Kassel die Länge des längsten Laserstrahles in einzelnen Meterabschnitten für jeweils 10 € an Kunstfreunde „verkauft“ werden.
2.1 Berechnen Sie die Einnahmen unter der Annahme, dass für alle vollen Meterabschnitte des längsten Strahles Käufer gefunden werden.
(4P)
2.2 Zeichnen Sie die Laserstrahlen in einen Grundriss der Stadt im Maßstab 1:20.000 ein.
Hierbei liegt die Grundfläche der Stadt in der $xy$-Ebene und die $z$-Achse zeigt senkrecht zur $xy$-Ebene in Richtung des Betrachters.
Begründen Sie, warum nicht allein anhand des Grundrisses der längste Strahl ermittelt werden kann.
(5P)
3. Die blaue Laserlichtquelle im Funkturm kann stufenlos so gedreht werden, dass sie nicht mehr zum Bahnhof, sondern zum Schloss leuchtet. Schwenkt man die Lichtquelle sehr schnell, nimmt der Beobachter diese Strahlen als Teil einer Ebene wahr.
3.1 Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene in Parameter- und Koordinatenform.
(7P)
3.2 Berechnen Sie den Winkel, um den die blauen Laserstrahlen im Funkturm schwenken.
(3P)
3.3 Im Punkt $(900\mid700\mid90)$ steht ein 50 Meter hoher Kirchturm. Ein künstlerischer Berater des Projekts befürchtet, dass der Kirchturm beim Schwenken die blauen Laserstrahlen unterbricht und die Wirkung des Kunstwerks stört.
Untersuchen Sie, ob der Kirchturm im Schwenkbereich der Laserstrahlen steht.
(5P)
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Tipps
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1. $\blacktriangleright$ Ermitteln, ob alle vier Punkte in einer Ebene liegen
Du sollst überprüfen, ob die vier Punkte M, B, F und S in einer gemeinsamen Ebene liegen. Die Koordinaten der vier Punkte kannst du aus der Tabelle der Aufgabenstellung ablesen:
  • $M(0\mid0\mid0)$
  • $B(200\mid500\mid30)$
  • $F(1.400\mid1.200\mid230)$
  • $S(800\mid400\mid130)$
Da eine Ebene von drei Punkten bereits eindeutig festgelegt ist (solang nicht alle drei Punkte auf einer Gerade liegen), kannst du hier auf folgende Weise vorgehen:
  • 1. Schritt Stelle eine Ebenengleichung der Ebene E auf, in der drei der vier Punkte liegen, zum Beispiel M, B und F.
  • 2. Schritt Führe eine Punktprobe mit dem Punkt S durch.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Hast du drei Punkte gegeben und sollst eine Gleichung der Ebene aufstellen, in welcher diese drei Punkte liegen, dann bietet sich für die Ebenengleichung die Parameterform an. Diese sieht folgendermaßen aus:
$E: \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OP}+s\cdot\overrightarrow{q}+t\cdot\overrightarrow{r}$
Dabei sind $\overrightarrow{q}$ und $\overrightarrow{r}$ Spannvektoren, die die Ebene $E$ aufspannen und $\overrightarrow{OP}$ ist der Stützvektor, der Ortsvektor eines Punktes $P$, der in der Ebene $E$ liegt.
2. Schritt: Punktprobe
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $S$ in die Ebenengleichung für $\overrightarrow{OX}$ ein und überprüfe, ob es Werte für $s$ und $t$ gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist, indem du das daraus entstehende lineare Gleichungssystem(LGS) löst. Das LGS besteht aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Du kannst also zuerst die Lösungen für $s$ und $t$ berechnen, die sich aus den ersten beiden Gleichungen ergeben, und anschließend überprüfen, ob diese auch die dritte Gleichung erfüllen.
Ist dies der Fall, so liegt der Punkt $S$ in derselben Ebene wie M, B und F, ansonsten nicht.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Einnahmen berechnen
Die Einnahmen $E$, sind abhängig von der Länge $l$ des längsten Laserstrahls, die auf ganze Meter nach unten abgerundet ist:
$E= l \cdot 10$
Du kannst also so vorgehen:
  • 1. Schritt: Berechne die Längen der drei Laserstrahlen über die Beträge der Verbindungsvektoren zwischen den jeweiligen Endpunkten
  • 2. Schritt: Berechne die Einnahmen
2.2 $\blacktriangleright$ Laserstrahlen in einen Grundriss einzeichnen
Beim Einzeichnen der Laserstrahlen in einen Grundriss der Stadt kannst du so vorgehen:
  • 1. Schritt: Lege ein geeignetes Koordinatensystem an
  • 2. Schritt: Trage die markanten Punkte ($B$, $M$, $F$, $S$) ein
  • 3. Schritt: Zeichne die Laserstrahlen
$\blacktriangleright$ Rechnung begründen
Aus dem vorigen Aufgabenteil weißt du, dass zur Berechnung der Länge eines Vektors auch die $z$-Koordinate eine Rolle spielt. Betrachtet man aber nur den Grundriss der Stadt, so ist die Höhendifferenz nicht erkennbar.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen
Die Ebene $E_1$ aus der Aufgabenstellung kannst du dir vorstellen, als die Ebene in der die Punkte $F$, $B$ und $S$ liegen.
Du sollst die Ebenengleichung in Parameter- und Koordinatenform angeben.
Oft ist es leichter eine Ebenengleichung in Parameterform in die Koordinatenform zu bringen als umgekehrt. Darum beginnen wir hier nun mit der Parameterform:
Parameterform
Aus dem ersten Aufgabenteil weißt du bereits, dass eine Ebenengleichung in Parameterform folgendermaßen aussieht:
$E: \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OP}+s\cdot\overrightarrow{q}+t\cdot\overrightarrow{r}$
Berechne nun also die Spannvektoren, also zwei Verbindungsvektoren zwischen zweien der Punkte, die in der Ebene liegen sollen und wähle einen Stützvektor.
Koordinatenform
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht folgendermaßen aus:
$E: n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z = d$
Dabei ist $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene E, also ein Vektor der senkrecht auf der Ebene steht.
Der Parameter $d$ ist eine Konstante.
Beim Umformen einer Ebenengleichung in Parameterform in die Koordinatenform ergibt sich der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{q}\times\overrightarrow{r}$
Die Konstante $d$ kannst du anschließend mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen.
3.2 $\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Der Winkel $\alpha$, den du hier berechnen sollst, ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{FS}$ und $\overrightarrow{FB}$.
Den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Vektoren $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$ berechnest du allgemein über folgende Formel:
$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\left|\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}\right|}{\left|\overrightarrow{x}\right|\cdot \left| \overrightarrow{y}\right|}\right)$
3.3
B1 - Analytische Geometrie
$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob der Kirchturm die Laserstrahlen stört
Betrachte zunächst einmal die nebenstehende Skizze zur Hilfe.
Betrachte zunächst einmal die Skizze zur Hilfe:
B1 - Analytische Geometrie
Betrachte zunächst einmal die nebenstehende Skizze zur Hilfe. Die roten Bereiche stellen den Kirchturm dar, wobei der Punkt $K$ den Anfangspunkt, also sozusagen den Fuß des Turms bezeichnet und $E$ den Endpunkt. Wie du sehen kannst, steht der Kirchturm nicht direkt auf der $xy$-Ebene. Dies kannst du ebenfalls daran erkennen, dass die $z$-Koordinate des Fußpunktes nicht $0$ ist.
Der Kirchturm steht also eventuell auf einem Berg oder einer ähnlichen Erhöhung.
Die gestrichelte blaue Linie zeigt schematisch die Ebene $E_1$.
Um nun zu überprüfen, ob der Kirchturm die Ebene $E_1$ schneidet, kannst du die Höhe h berechnen (durchgezogene blaue Linie).
1. Schritt: Höhe des Kirchturms berechnen
Die Höhe $k$ des Kirchturms ergibt sich durch den Abstand $a$ des Kirchturms von der $xy$-Ebene und der Höhe des Kirchturms 50 m.
2. Schritt: Höhe der Ebene berechnen
Die Höhe $h$ der Ebene $E_1$ über dem Kirchturm ergibt sich durch den Abstand der Punkte $X$ und $Y$, die du auf der Skizze sehen kannst. Die Punkte $X$, $Y$ und $K$ besitzen dieselben $x$- und $y$-Koordinaten.
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1. $\blacktriangleright$ Ermitteln, ob alle vier Punkte in einer Ebene liegen
Du sollst überprüfen, ob die vier Punkte M, B, F und S in einer gemeinsamen Ebene liegen. Die Koordinaten der vier Punkte kannst du aus der Tabelle der Aufgabenstellung ablesen:
  • $M(0\mid0\mid0)$
  • $B(200\mid500\mid30)$
  • $F(1.400\mid1.200\mid230)$
  • $S(800\mid400\mid130)$
Da eine Ebene von drei Punkten bereits eindeutig festgelegt ist (solang nicht alle drei Punkte auf einer Gerade liegen), kannst du hier auf folgende Weise vorgehen:
  • 1. Schritt: Stelle eine Ebenengleichung der Ebene E auf, in der drei der vier Punkte liegen, zum Beispiel M, B und F.
  • 2. Schritt: Führe eine Punktprobe mit dem Punkt S durch.
1. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Hast du drei Punkte gegeben und sollst eine Gleichung der Ebene aufstellen, in welcher diese drei Punkte liegen, dann bietet sich für die Ebenengleichung die Parameterform an. Diese sieht folgendermaßen aus:
$E: \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OP}+s\cdot\overrightarrow{q}+t\cdot\overrightarrow{r}$
Dabei sind $\overrightarrow{q}$ und $\overrightarrow{r}$ Spannvektoren, die die Ebene $E$ aufspannen und $\overrightarrow{OP}$ ist der Stützvektor, der Ortsvektor eines Punktes $P$, der in der Ebene $E$ liegt.
Um eine Gleichung der Ebene durch die Punkte M, B und F aufzustellen benötigst du nun also einen Stützvektor und zwei Spannvektoren.
Für den Stützvektor kannst du den Ortsvektor eines der Punkte nutzen.
Wähle beispielsweise $\overrightarrow{OP}= \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.
Die beiden Spannvektoren erhältst du, indem du zwei Verbindungsvektoren zwischen jeweils zwei Punkten in der Ebene wählst. Wähle hierzu beispielsweise:
$\overrightarrow{q}= \overrightarrow{MB}$ und $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{MF}$
Die beiden Spannvektoren ergeben sich dann mit:
$\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{MB} &=& \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OM} \\ &=& \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} \end{array}$
$\overrightarrow{MF} = \overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{MF} &=& \overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OM} \\ &=& \begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix} \end{array}$
Dies kannst du nun in die obige Gleichung einsetzen und erhältst:
$\begin{array}{rcl} E: \overrightarrow{OX}&=&\overrightarrow{OM}+ s\cdot\overrightarrow{MB}+t\cdot\overrightarrow{MF}\\ &=&\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix}\\ &=&s\cdot\begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix} \end{array}$
Dies kannst du nun in die obige Gleichung einsetzen und erhältst für $E$:
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OX}&=&\overrightarrow{OM}+ s\cdot\overrightarrow{MB}+t\cdot\overrightarrow{MF}\\ &=&\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} \\ &&+ t\cdot\begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix}\\ &=&s\cdot\begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix} \end{array}$
2. Schritt: Punktprobe
Setze nun den Ortsvektor des Punktes $S$ in die Ebenengleichung für $\overrightarrow{OX}$ ein und überprüfe, ob es Werte für $s$ und $t$ gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist, indem du das daraus entstehende lineare Gleichungssystem(LGS) löst. Das LGS besteht aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Du kannst also zuerst die Lösungen für $s$ und $t$ berechnen, die sich aus den ersten beiden Gleichungen ergeben, und anschließend überprüfen, ob diese auch die dritte Gleichung erfüllen.
Ist dies der Fall, so liegt der Punkt $S$ in derselben Ebene wie M, B und F, ansonsten nicht.
Du erhältst die folgende Gleichung:
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OS}&=&s\cdot\begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}800\\400\\130\end{pmatrix}&=&s\cdot\begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} +t\cdot\begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix}\\ \end{array}$
Aus dieser Gleichung erhältst du nun ein LGS, indem du jede „Zeile“ einzeln abliest:
$\begin{array}{crcll} \text{I}&800 &=& s\cdot 200 + t\cdot1.400 \\ \text{II}&400 &=& s\cdot 500 + t\cdot1.200 \\ \text{III}&130 &=& s\cdot 30 + t\cdot230 \end{array}$
Um das LGS zu lösen, stelle zuerst $\text{I}$ nach einer Variablen, beispielsweise $s$ um:
$\begin{array}{rcll} 800&=&s\cdot 200 + t\cdot 1.400 &\mid\scriptsize{\; - t\cdot1.400}\\ 800-t\cdot1.400&=&s\cdot 200 &\mid\scriptsize{\; :200} \\ 4-t\cdot7&=&s& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 800&=&s\cdot 200 \\ && + t\cdot 1.400 \\ 800-t\cdot1.400&=&s\cdot 200 \\ 4-t\cdot7&=&s\\ \end{array}$
Dies kannst du nun in $\text{II}$ einsetzen und so $t$ berechnen:
$\begin{array}{rcll} 400&=&s\cdot 500 + t\cdot1.200&\mid\scriptsize{\; s = 4-t\cdot7} \\ 400&=&(4-t\cdot7)\cdot500 +t\cdot1.200 \\ 400&=&2.000-3.500\cdot t +1.200\cdot t \\ 400&=&2.000-2.300\cdot t&\scriptsize{\mid\; -2.000}\\ -1.600&=&-2.300\cdot t&\scriptsize{\mid\; :(-2.300)}\\ \frac{16}{23}&=&t \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} 400&=&s\cdot 500 + t\cdot1.200&\\ 400&=&(4-t\cdot7)\cdot500 \\ && + t\cdot1.200 \\ 400&=&2.000-3.500\cdot t \\ && +1.200\cdot t \\ 400&=&2.000-2.300\cdot t\\ -1.600&=&-2.300\cdot t\\ \frac{16}{23}&=&t \\ \end{array}$
Dies kannst du nun nutzen, um $s$ zu berechnen:
$\begin{array}{rcl} s&=&4-t\cdot7\\ s&=&4-\frac{16}{23}\cdot7\\ s&=&-\frac{20}{23}\\ \end{array}$
Nun kannst du $s=-\frac{20}{23}$ und $t = \frac{16}{23} $ in $\text{III}$ einsetzen und so überprüfen, ob $S$ in der Ebene $E$ liegt:
$\begin{array}{crcll} \text{III}&130&=&s\cdot 30 + t\cdot230\\ &130&=&-\frac{20}{23}\cdot30 + \frac{16}{23}\cdot 230\\ &130&=&\frac{3080}{23}&\scriptsize{\text{Widerspruch}} \\ \end{array}$
$\begin{array}{crcl} \text{III}&130&=&s\cdot 30 + t\cdot230\\ &130&=&-\frac{20}{23}\cdot30 + \frac{16}{23}\cdot 230\\ &130&=&\frac{3080}{23} \\ &&&\scriptsize{\text{Widerspruch}} \\ \end{array}$
S liegt nicht in der gleichen Ebene wie M, B und F.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Einnahmen berechnen
Die Einnahmen $E$, sind abhängig von der Länge $l$ des längsten Laserstrahls, die auf ganze Meter nach unten abgerundet ist:
$E= l \cdot 10$
Du kannst also so vorgehen:
  • 1. Schritt: Berechne die Längen der drei Laserstrahlen über die Beträge der Verbindungsvektoren zwischen den jeweiligen Endpunkten
  • 2. Schritt: Berechne die Einnahmen
1. Schritt: Längen der Laserstrahlen berechnen
Du kannst die Längen der Laserstrahlen über die Beträge der Verbindungsvektoren zwischen den beiden Endpunkten des jeweiligen Laserstrahls berechnen.
Den Betrag eines Vektors $\overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ berechnest du über folgende Formel:
$\left|\overrightarrow{x}\right| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$
Berechne also zunächst die jeweiligen Verbindungsvektoren:
Der rote Laserstrahl:
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{r} &=& \overrightarrow{MB} \\ &=& \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} \\ &=& \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} \end{array}$
Der grüne Laserstrahl:
$\overrightarrow{g} = \overrightarrow{FS} = \overrightarrow{OS}- \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix}800\\400\\130\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1400\\1200\\230\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{g} &=& \overrightarrow{FS} \\ &=& \overrightarrow{OS}- \overrightarrow{OF} \\ &=& \begin{pmatrix}800\\400\\130\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1400\\1200\\230\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix} \end{array}$
Der blaue Laserstrahl:
$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1400\\1200\\230\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1200\\-700\\-200\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{b} &=& \overrightarrow{FB} \\ &=& \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OF} \\ &=& \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1400\\1200\\230\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}-1200\\-700\\-200\end{pmatrix} \end{array}$
Dann ergeben sich die Längen der Laserstrahlen mit:
$\left| \overrightarrow{r}\right| = \left| \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}\right| = \sqrt{200^2 + 500^2 + 30^2} \approx 539,35$
$\begin{array}{rcl} \left| \overrightarrow{r}\right| &=& \left| \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}\right| \\ &=& \sqrt{200^2 + 500^2 + 30^2} \\ &\approx& 539,35 \end{array}$
$\left| \overrightarrow{g}\right| = \left|\begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-600)^2+(-800)^2+(-100)^2} \approx 1.004,99$
$\begin{array}{rcl} \left| \overrightarrow{g}\right| &=& \left|\begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix}\right| \\ &=& \sqrt{(-600)^2+(-800)^2}\dots \\ &&\dots \overline{+(-100)^2} \\ &\approx& 1.004,99 \end{array}$
$\left| \overrightarrow{b}\right| = \left| \begin{pmatrix}-1200\\-700\\-200\end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-1200)^2+(-700)^2+(-200)^2} \approx 1.403,57 $
$\begin{array}{rcl} \left| \overrightarrow{b}\right| &=& \left| \begin{pmatrix}-1200\\-700\\-200\end{pmatrix}\right| \\ &=& \sqrt{(-1200)^2+(-700)^2}\dots \\ &&\dots\overline{+(-200)^2} \\ &\approx& 1.403,57 \end{array}$
2. Schritt: Einnahmen berechnen
Der längste Laserstrahl ist der blaue mit $1.403$ vollen Metern. Damit ergibt sich also:
$E = 1.403\cdot 10 = 14.030$
Die Einnahmen betragen 14.030 €.
2.2 $\blacktriangleright$ Laserstrahlen in einen Grundriss einzeichnen
Beim Einzeichnen der Laserstrahlen in einen Grundriss der Stadt kannst du so vorgehen:
  • 1. Schritt: Lege ein geeignetes Koordinatensystem an
  • 2. Schritt: Trage die markanten Punkte ($B$, $M$, $F$, $S$) ein
  • 3. Schritt: Zeichne die Laserstrahlen
1. Schritt: Koordinatensystem anlegen
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Grundfläche der Stadt in der $xy$-Ebene liegen soll. Gleichzeitig soll die $z$-Achse senkrecht zur $xy$-Ebene direkt in die Richtung des Betrachters zeigen.
Du kannst dir das so vorstellen, als würdest du von oben senkrecht hinunter auf die Grundfläche der Stadt sehen. Die $z$-Koordinate kann dabei außer Acht gelassen werden, da der Betrachter von oben gesehen nicht sehen kann, wie weit der Laserstrahl nach oben bzw. unten verschoben wird.
Im Grunde benötigst du also nur ein zweidimensionales Koordinatensystem anstatt eines dreidimensionalen.
Nun kommt es noch auf den Maßstab an. Dir ist der Maßstab 1:20.000 vorgegeben.
Dies bedeutet: 1 cm im Schaubild $\mathrel{\widehat{=}}$ 200 m in der Realität.
So sollte sich ein ähnliches Koordinatensystem wie das folgende ergeben:
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
2. Schritt: Punkte in das Koordinatensystem eintragen
Hierbei kannst du die Koordinaten aus der Aufgabenstellung verwenden. Dann sollte sich ein ähnliches Schaubild wie hier ergeben:
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
3. Schritt: Laserstrahlen einzeichnen
Verbinde nun die entsprechenden Punkte miteinander. Wenn du Farben verwendest, kannst du die einzelnen Laserstrahlen leichter voneinander unterscheiden. Dann sollte sich ein Schaubild ergeben, das dem folgenden ähnlich sieht:
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
$\blacktriangleright$ Rechnung begründen
Aus dem vorigen Aufgabenteil weißt du, dass zur Berechnung der Länge eines Vektors auch die $z$-Koordinate eine Rolle spielt. Betrachtet man aber nur den Grundriss der Stadt, so ist die Höhendifferenz nicht erkennbar. Würde man nur die Länge der Strahlen auf dem Grundriss der Stadt messen, so würde man diese Koordinate außer Acht lassen, man ließe also die Höhendifferenz völlig außen vor. So hätte zum Beispiel ein Strahl, der senkrecht vom Boden nach oben zeigt, eine Länge von 0 m, obwohl er in der Realität viel länger ist.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung aufstellen
Die Ebene $E_1$ aus der Aufgabenstellung kannst du dir vorstellen, als die Ebene in der die Punkte $F$, $B$ und $S$ liegen.
Du sollst die Ebenengleichung in Parameter- und Koordinatenform angeben.
Oft ist es leichter eine Ebenengleichung in Parameterform in die Koordinatenform zu bringen als umgekehrt. Darum beginnen wir hier nun mit der Parameterform:
Parameterform
Aus dem ersten Aufgabenteil weißt du bereits, dass eine Ebenengleichung in Parameterform folgendermaßen aussieht:
$E: \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OP}+s\cdot\overrightarrow{q}+t\cdot\overrightarrow{r}$
Berechne nun also die Spannvektoren, also zwei Verbindungsvektoren zwischen zweien der Punkte, die in der Ebene liegen sollen und wähle einen Stützvektor.
Du kannst den Stützvektor beispielsweise wie folgt wählen:
$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix}$
Du kannst aber auch jeden anderen Punkt wählen, der in der Ebene liegt.
Die Spannvektoren kannst du beispielsweise wie folgt wählen:
$\overrightarrow{q} = \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{B}-\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix}-1.200\\-700\\-200\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{FS} = \overrightarrow{S}-\overrightarrow{F} = \begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix}$
Setze dies nun in die Ebenengleichung ein:
$$\mbox{$E_1: \overrightarrow{OX} = \begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix}-1.200\\-700\\-200\end{pmatrix} +t \cdot\begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix}$}$$
Setze dies nun in die Ebenengleichung für $E_1$ ein:
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OX} &=& \begin{pmatrix}1.400\\1.200\\230\end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix}-1.200\\-700\\-200\end{pmatrix} \\ && +t \cdot\begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix} \end{array}$
Koordinatenform
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht folgendermaßen aus:
$E: n_1\cdot x+n_2\cdot y+n_3\cdot z = d$
Dabei ist $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ ein Normalenvektor der Ebene E, also ein Vektor der senkrecht auf der Ebene steht.
Der Parameter $d$ ist eine Konstante.
Beim Umformen einer Ebenengleichung in Parameterform in die Koordinatenform ergibt sich der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:
$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{q}\times\overrightarrow{r}$
Die Konstante $d$ kannst du anschließend mit Hilfe einer Punktprobe bestimmen.
1. Schritt: Normalenvektor berechnen
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren wird auf folgende Weise gebildet:
mit $\overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{y} = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{x}\times\overrightarrow{y} = \begin{pmatrix}x_2\cdot y_3-x_3\cdot y_2\\x_3\cdot y_1-x_1\cdot y_3\\x_1\cdot y_2-x_2\cdot y_1 \end{pmatrix}$
Für die Ebene $E_1$ ergibt sich dadurch:
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{q}\times\overrightarrow{r} \\ &=&\begin{pmatrix}-1.200\\-700\\-200\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}(-700)\cdot(-100)-(-200)\cdot(-800)\\(-200)\cdot(-600)-(-1.200)\cdot(-100)\\(-1.200)\cdot(-800)-(-700)\cdot(-600)\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}-90.000\\0\\540.000\end{pmatrix} \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{q}\times\overrightarrow{r} \\ &=&\begin{pmatrix}-1.200\\-700\\-200\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}(-700)\cdot(-100)\\(-200)\cdot(-600)\\(-1.200)\cdot(-800)\end{pmatrix} \\ &&- \begin{pmatrix}(-200)\cdot(-800)\\(-1.200)\cdot(-100)\\(-700)\cdot(-600)\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}-90.000\\0\\540.000\end{pmatrix} \\ \end{array}$
Setzt du den Normalenvektor in die Ebenengleichung ein, erhältst du folgende Gleichung:
$E_1: -90.000\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 540.000\cdot x_3 = d$
Setzt du den Normalenvektor in die Ebenengleichung ein, erhältst du für $E_1$ folgende Gleichung:
$\begin{array}{r} -90.000\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 540.000\cdot x_3 \\ = d \end{array}$
2. Schritt: Punktprobe
Setze nun einen der drei Punkte, die in der Ebene $E_1$ liegen, für $\overrightarrow{x}$ in die Ebenengleichung ein und berechne so den Parameter $d$. Wähle dazu beispielsweise den Punkt $B$ mit dem Ortsvektor $\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}$:
$\begin{array}{rcll} d&=&(-90.000)\cdot x + 0\cdot y + 540.000\cdot z&\scriptsize{ \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}200\\500\\30\end{pmatrix}}\\ &=&(-90.000)\cdot200+0\cdot500+540.000\cdot30 \\ &=&-1.800.000& \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} d&=&(-90.000)\cdot x + 0\cdot y \\ &&+ 540.000\cdot z\\ &=&(-90.000)\cdot200+0\cdot500 \\ &&+540.000\cdot30 \\ &=&-1.800.000 \\ \end{array}$
Damit lautet die Ebenengleichung in Koordinatenform nun:
$$\mbox{$E_1: -90.000\cdot x + 0\cdot y + 540.000\cdot z = -1.800.000$}$$
Damit lautet die Ebenengleichung von $E_1$in Koordinatenform nun:
$\begin{array}{r} -90.000\cdot x + 0\cdot y + 540.000\cdot z \\ = -1.800.000 \end{array}$
3.2 $\blacktriangleright$ Winkel berechnen
Der Winkel $\alpha$, den du hier berechnen sollst, ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{FS}$ und $\overrightarrow{FB}$.
Den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Vektoren $\overrightarrow{x}$ und $\overrightarrow{y}$ berechnest du allgemein über folgende Formel:
$\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\left|\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}\right|}{\left|\overrightarrow{x}\right|\cdot \left| \overrightarrow{y}\right|}\right)$
Dort kannst du nun die beiden Verbindungsvektoren einsetzen. Diese kennst du bereits aus dem vorigen Aufgabenteil.
$\begin{array}{rcl} \alpha&=& \cos^{-1}\left(\frac{\left|\overrightarrow{FS}\cdot\overrightarrow{FB}\right|}{\left|\overrightarrow{FS}\right|\cdot \left| \overrightarrow{FB}\right|}\right) \\ &=& \cos^{-1}\left(\frac{\left|\begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1.200\\-700\\-200\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}-600\\-800\\-100\end{pmatrix}\right|\cdot \left| \begin{pmatrix}-1.200\\-700\\-200\end{pmatrix}\right|}\right) \\ &\approx& 22,84^{\circ} \\ \end{array}$
Die blauen Lichtstrahlen im Funkturm schwenken um einen Winkel von ca. $\alpha = 22,84^\circ$.
3.3
B1 - Analytische Geometrie
$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob der Kirchturm die Laserstrahlen stört
Betrachte zunächst einmal die nebenstehende Skizze zur Hilfe.
Betrachte zunächst einmal die Skizze zur Hilfe:
B1 - Analytische Geometrie
Die roten Bereiche stellen den Kirchturm dar, wobei der Punkt $K$ den Anfangspunkt, also sozusagen den Fuß des Turms bezeichnet und $E$ den Endpunkt. Wie du sehen kannst, steht der Kirchturm nicht direkt auf der $xy$-Ebene. Dies kannst du ebenfalls daran erkennen, dass die $z$-Koordinate des Fußpunktes nicht $0$ ist.
Der Kirchturm steht also eventuell auf einem Berg oder einer ähnlichen Erhöhung.
Die gestrichelte blaue Linie zeigt schematisch die Ebene $E_1$.
Um nun zu überprüfen, ob der Kirchturm die Ebene $E_1$ schneidet, kannst du die Höhe h berechnen (durchgezogene blaue Linie).
1. Schritt: Höhe des Kirchturms berechnen
Die Höhe $k$ des Kirchturms ergibt sich durch den Abstand $a$ des Kirchturms von der $xy$-Ebene und der Höhe des Kirchturms 50 m:
$k= a+ 50$ ,
wobei $a$ genau der $z$-Koordinate des Fußpunktes $K(900\mid700\mid90)$ entspricht. $\Rightarrow a = 90$.
Die Spitze des Kirchturms befindet sich damit also 140 m über der $xy$-Ebene.
2. Schritt: Höhe der Ebene berechnen
Die Höhe $h$ der Ebene $E_1$ über dem Kirchturm ergibt sich durch den Abstand der Punkte $X$ und $Y$, die du auf der Skizze sehen kannst. Die Punkte $X$, $Y$ und $K$ besitzen dieselben $x$- und $y$-Koordinaten. Die Höhe der Ebene $E_1$ über dem Punkt $X(900\mid700\mid0)$ ergibt sich deshalb durch die $z$-Koordinate des Punktes $Y(900\mid700\mid z)$.
$z$ kannst du mit Hilfe der Koordinatenform der Ebenengleichung zu $E_1$ berechnen, indem du $x= 900$ und $y=700$ einsetzt und nach $z$ auflöst:
$\begin{array}{rcll} -1.800.000&=&-90.000\cdot x + 0\cdot y + 540.000\cdot z \\ -1.800.000&=&-90.000\cdot 900 + 0\cdot 700 + 540.000\cdot z&\scriptsize{ \mid\; +81.000.000} \\ 79.200.000&=&540.000\cdot z&\scriptsize{ \mid\; :540.000} \\ 146,7&\approx& z \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} -1.800.000&=&-90.000\cdot x \\ &&+ 0\cdot y \\ &&+ 540.000\cdot z \\ -1.800.000&=&-90.000\cdot 900 \\ &&+ 0\cdot 700 \\ &&+ 540.000\cdot z\\ 79.200.000&=&540.000\cdot z\\ 146,7&\approx& z \\ \end{array}$
Die Ebene verläuft 6,7 m über der Spitze des Kirchturms, der Kirchturm unterbricht die Laserebene also nicht.
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