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B2 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Auf dem Rasen eines Fußballstadions soll eine Bühne für eine Kundgebung aufgebaut werden. Der verantwortliche Architekt legt für die Planung ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem an. Die Rasenfläche liegt in der $x_{1}x_{2}$-Ebene. Die $x_3$-Achse zeigt senkrecht zur $x_{1}x_{2}$-Ebene in Richtung des Betrachters. Im grau unterlegten Bereich wird ein Bühnenboden errichtet, der sich 1 m über dem Rasen befindet (Material 1).
Alle in der Skizze eingetragenen Zahlenwerte sind in der Einheit Meter angegeben.
1. Um leichter auf den Bühnenboden zu gelangen, soll eine 3 m breite Rampe mit rechteckigem Grundriss gebaut und in $R_{2}(35\mid-5\mid0)$ und $R_{3}(25\mid-5\mid1)$ verankert werden.
1.1 Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte $R_1$ und $R_4$ an und berechnen Sie die Länge der Rampe.
(5P)
1.2 Nach DIN 18024-1 darf der Steigungswinkel einer barrierefreien Rampe maximal 3,4° betragen.
Berechnen Sie den Steigungswinkel der Rampe und entscheiden Sie, ob diese die DIN erfüllt.
(4P)
Mit Seilen soll über dem Fußballplatz eine dreieckige Fläche aus Segeltuch gespannt werden. Zwei der drei Eckpunkte dieses Dreiecks liegen in $A(5\mid26\mid25)$ und $B(2\mid30\mid18)$.
2. Der dritte Eckpunkt $C$ ist ein variabler Punkt auf dem Seil, welches von $A$ zur Spitze des Flutlichtmastes $P(35\mid66\mid35)$ gespannt wird.
2.1 Zeigen Sie, dass im Dreieck $ABP$ bei $A$ ein rechter Winkel vorliegt.
Erläutern Sie, dass das Dreieck $ABC$ immer rechtwinklig ist $-$ egal, wo sich der Punkt $C$ auf dem Seil zwischen $A$ und $P$ befindet.
(5P)
2.2 Das Segeltuch, mit dem das Dreieck $ABC$ bespannt werden soll, darf aus Gewichtsgründen höchstens $100\,\text{m}^2$ groß sein. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $C$ auf dem Seil, für den die Dreiecksfläche die zugelassene Maximalgröße hat.
(6P)
3. Das Segeltuch wird bei $C(17\mid42\mid29)$ fixiert und straff gespannt. Zu einer gewissen Uhrzeit
fallen Sonnenstrahlen in Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix}$ ein, so dass das Segeltuch einen dreieckigen
Schatten auf den geplanten Bühnenboden wirft.
Die Schattenpunkte der Punkte $B$ und $C$ liegen bei $B_{s}\left(-3\frac{2}{3}\mid1\frac{2}{3}\mid1\right)$ und $C_{s}\left(7\frac{2}{3}\mid-4\frac{2}{3}\mid1\right)$.
3.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes $A_S$ des Punktes $A$ auf dem Bühnenboden.
(5P)
3.2 Im Punkt $M(0\mid0\mid1)$ soll ein Mikrofon aufgestellt werden.
Zeichnen Sie unter Angabe einer geeigneten Skalierung der Achsen den Schatten des Segeltuchs in das Koordinatensystem in Material 2 ein.
Prüfen Sie zeichnerisch, ob der Fußpunkt $M$ des Mikrofonstativs im Schatten liegt.
Sollten Sie Aufgabe 3.1 nicht gelöst haben, verwenden Sie den Ersatzpunkt
$A_{S}'(-2\mid-15\mid1)$.
(5P)
Material 1
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Material 2
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$Koordinaten der Rampeneckpunkte angeben
Material 1 zeigt dir den Aufbau der Bühne, die errichtet werden soll. Dabei siehst du von oben auf das Konstrukt drauf.
An der einen Seite der Bühne wird zusätzlich eine Rampe erbaut.
Den Sachverhalt kannst du hier wie folgt skizzieren:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten der Eckpunkte $R_1$ und $R_4$ angeben.
Zum Lösen dieser Aufgabe kannst du folgende Angaben der Aufgabenstellung entnehmen:
  • Die Koordinaten der Eckpunkte $R_2(35\mid-5\mid0)$ und $R_3(25\mid-5\mid1)$.
  • Die Rampe ist 3 m breit.
Wenn du die beiden Punkte $R_2(35\mid-5\mid0)$ und $R_3(25\mid-5\mid1)$ vergleichst, kannst du erkennen, dass sich ihre $x_1$- und $x_3$-Koordinaten unterscheiden.
Versuche dir die Bedeutung der einzelnen Koordinaten zu erschließen und was sie hier im Sachzusammenhang darstellen.
Im 1. Schritt werden anhand der gegebenen Punkte die Koordinaten von $R_1$ und $R_4$ berechnet. Anschließend wird im 2. Schritt die Länge der Rampe berechnet. Die Länge stellt dabei den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{R_3R_2}$, bzw. $\overrightarrow{R_4R_1}$ dar.
Die Länge $|\vec{v}|$ eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$, auch Betrag genannt, kannst du mit folgender Formel berechnen:
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
1.2 $\blacktriangleright$Steigungswinkel der Rampe berechnen
Für diese Aufgabe sollst du prüfen, ob der Steigungswinkel der Rampe die erlaubten $3,4^{\circ}$ übersteigt.
Das folgende Schaubild zeigt die Rampe aus der Seitenansicht.
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Zum Lösen der Aufgabe ist im 1.Schritt die Berechnung der Koordinaten eines fünften Punktes $R_5$ notwendig, damit du im 2.Schritt eine zweite Seitenlänge $|\overrightarrow{R_5R_3}|$ oder $|\overrightarrow{R_5R_2}|$ im hier dargestellten rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst.
Im 3.Schritt kann dann mittels trigonometrischer Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck der Steigungswinkel $\alpha$ berechnet werden.
2.
2.1 $\blacktriangleright$Beweis des rechten Winkels
Bei dieser Aufgabe hast du drei Punkte $A, B$ und $P$ gegeben.
  • $A(5\mid26\mid25)$
  • $B(2\mid30\mid18)$
  • $P(35\mid66\mid35)$
Diese bilden ein dreieckiges Segeltuch, das auf einen rechten Winkel bei $A$ untersucht werden soll.
$P$ stellt dabei die Spitze eines Flutlichtmastes dar, an dem ein Seil befestigt wird. An diesem Seil kann entlang der Strecke $\overline{AP}$ ein weiterer Punkt $C$ als Eckpunkt des dreieckigen Segeltuchs eingestellt werden.
Ein Einzeichnen in die Skizze von oben ergibt:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Ein rechter Winkel liegt dann vor, wenn die Vektoren orthogonal zueinander stehen, d.h. das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$ Null ergibt.
Berechne im 1. Schritt die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$, damit du anschließend im 2. Schritt das Skalarprodukt berechnen kannst.
Erläutern, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ immer rechtwinklig ist
Hier sollst du nun noch beweisen, dass das Dreieck $ABC$ immer rechtwinklig ist, ganz gleich, wo sich der Punkt $C$ auf dem Seil zwischen $A$ und $P$ befindet.
Die unterschiedliche Position von $C$ auf $\overrightarrow{AP}$ verkürzt den Vektor, ändert aber nicht seine Richtung.
Damit bleibt der rechte Winkel bei $A$ erhalten.
Mathematisch lässt sich das durch das Einführen eines Parameters $\boldsymbol{r}$ beweisen, der die Länge des Vektors variieren lässt.
$\overrightarrow{AC}=r\cdot\overrightarrow{AP}=r\cdot\begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30r\\40r\\10r\end{pmatrix}$
2.2 $\blacktriangleright$Koordinaten eines Punktes $\boldsymbol{C}$ berechnen
Bei dieser Aufgabe sollen die Koordinaten eines Punktes $C$ berechnet werden, damit das Dreieck die zugelassene Maximalgröße von $100\,\mathrm m^2$ hat.
Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Fläche sich mit folgender Formel berechnen lässt:
$A_{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}|$
$\begin{array}{rcl} A_{Dreieck}&=&\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}| \\ &=&\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}| \end{array}$
Wie du oben sehen kannst, beschreibt $r \cdot |\overrightarrow{AP}|$ die Länge der Seite $\overline{AC}$. Die Erläuterung dazu ist im vorherigen Aufgabenteil zu finden.
Berechne im 1. Schritt die Beträge der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}$, um anschließend im 2. Schritt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts nutzen zu können. Setze dort die zugelassene Maximalfläche ein und löse nach dem Parameter $r$.
Damit können im 3. Schritt die Koordinaten von $C$ berechnet werden.
3.
3.1 $\blacktriangleright$Koordinaten des Schattenpunktes $\boldsymbol{A_s}$ auf dem Bühnenboden berechnen
Der Punkt $C$ wird nun bei $C(17\mid42\mid29)$ auf $\overrightarrow{AP}$ fixiert. Das neue Dreieck wirft einen Schatten auf die Bühne. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ der Sonnenstrahlen lautet dabei:
$\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix}$
Der Schattenpunkt $A_s$ auf der Bühnenebene ist der Schnittpunkt der Geraden durch $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ und der Bühne.
Da die Bühne in einer Höhe von 1 m aufgebaut wurde, liegt auch der Schattenpunkt $A_s$ in 1 m Höhe und hat also die gleiche $x_3$-Koordinate wie die Bühne, d.h. $x_3=1$. Die Bühne liegt also in der Ebenen mit der Koordinatengleichung $x_3 = 1$.
Das kannst du auch an den gegebenen Schattenpunkten $B_s=\left(-3\frac{2}{3}\mid1\frac{2}{3}\mid1\right)$ und $C_s=\left(7\frac{2}{3}\mid-4\frac{2}{3}\mid1\right)$ ablesen.
Stelle im 1. Schritt die Geradengleichung durch $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ auf:
$g:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\vec{v}$
Anschließend kannst du im 2. Schritt mit der bereits bekannten $x_3$-Koordinate in einer Punktprobe mit $A_s$ den Parameter $s$ bestimmen, um damit im 3. Schritt die $x_1$-und $x_3$-Koordinaten von $A_s$ berechnen zu können.
So ist die Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Bühnenebene nicht notwendig.
3.2 $\blacktriangleright$Schatten zeichnen und prüfen, ob $\boldsymbol M$ darin liegt
Für diese Aufgabe hast du die Koordinaten der Schattenpunkte gegeben, bzw. $A_s$ wurde in 3.1 berechnet:
  • $A_s=(-3\mid-14\mid1)$
  • $B_s=\left(-3\frac{2}{3}\mid1\frac{2}{3}\mid1\right)$
  • $C_s=\left(7\frac{2}{3}\mid-4\frac{2}{3}\mid1\right)$
Du sollst die dreieckige Schattenfläche, welche sich aus den Schattenpunkten bildet in das Koordinatensystem aus Material 2 einzeichnen und anschließend prüfen, ob der Fußpunkt $M(0\mid0\mid1)$ darin liegt.
Im Vergleich zu einem gewöhnlichen zweidimensionalen Koordinatensystem stellt die $x_2$-Achse hier die $x$-Achse dar und die $x_1$-Achse die $y$-Achse.
Beachte, dass die $x_1$-Achse nach unten zeigt und unterhalb der $x_2$-Achse positive Werte annimmt.
Die $x_3$-Achse weist aus der Zeichenebene heraus auf dich zu.
Zeichne nun die gegebenen Punkte in das Schaubild ein.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$Koordinaten der Rampeneckpunkte angeben
Material 1 zeigt dir den Aufbau der Bühne, die errichtet werden soll. Dabei siehst du von oben auf das Konstrukt drauf.
An der einen Seite der Bühne wird zusätzlich eine Rampe erbaut.
Den Sachverhalt kannst du hier wie folgt skizzieren:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten der Eckpunkte $R_1$ und $R_4$ angeben.
Zum Lösen dieser Aufgabe kannst du folgende Angaben der Aufgabenstellung entnehmen:
  • Die Koordinaten der Eckpunkte $R_2(35\mid-5\mid0)$ und $R_3(25\mid-5\mid1)$.
  • Die Rampe ist 3 m breit.
Wenn du die beiden Punkte $R_2(35\mid-5\mid0)$ und $R_3(25\mid-5\mid1)$ vergleichst, kannst du erkennen, dass sich ihre $x_1$- und $x_3$-Koordinaten unterscheiden.
Versuche dir die Bedeutung der einzelnen Koordinaten zu erschließen und was sie hier im Sachzusammenhang darstellen.
Im 1. Schritt werden anhand der gegebenen Punkte die Koordinaten von $R_1$ und $R_4$ berechnet. Anschließend wird im 2. Schritt die Länge der Rampe berechnet. Die Länge stellt dabei den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{R_3R_2}$, bzw. $\overrightarrow{R_4R_1}$ dar.
Die Länge $|\vec{v}|$ eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$, auch Betrag genannt, kannst du mit folgender Formel berechnen:
$|\vec{v}|=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}$
1. Schritt: $\boldsymbol{R_1}$ und $\boldsymbol{R_2}$ berechnen
Anhand des Schaubildes kannst du erkennen, dass $R_3$ und $R_4$ die gleiche $x_1$-Koordinate besitzen.
Weiterhin stellen beide die Eckpunkte der Verbindungsstelle zwischen Rampe und Bühne dar, sodass auch die $x_3$-Koordinaten gleich sein müssen.
Sie unterscheiden sich lediglich in ihrer $x_2$-Koordinate.
Da die Bühne 3 m breit ist ist folglich die $x_2$-Koordinate um 3 Einheiten geringer als bei $R_3$, da der Punkt weiter im negativen Bereich liegt.
Somit folgt: $\quad R_4(25\mid-8\mid1)$
Nach gleichem Vorgehen ergibt sich für $R_1$ aus $R_2$: $\quad R_1(35\mid-8\mid0)$
2. Schritt: Länge der Rampe berechnen
Die Länge der Rampe berechnet sich über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{R_3R_2}$. Alternativ kannst du auch $\overrightarrow{R_4R_1}$ nutzen.
Die Ortsvektoren $\overrightarrow{OR_3}$ und $\overrightarrow{OR_2}$ kannst du dem Aufgabentext entnehmen:
$\overrightarrow{OR_3}=\begin{pmatrix}25\\-5\\1\end{pmatrix}\;$ sowie $\;\overrightarrow{OR_2}=\begin{pmatrix}35\\-5\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{R_3R_2}=\overrightarrow{OR_2}-\overrightarrow{OR_3}=\begin{pmatrix}35\\-5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}25\\-5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\0\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{R_3R_2}&=&\overrightarrow{OR_2}-\overrightarrow{OR_3} \\ &=&\begin{pmatrix}35\\-5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}25\\-5\\1\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}10\\0\\-1\end{pmatrix} \end{array}$
Für die Länge des Vektors ergibt sich so:
$|\overrightarrow{R_3R_2}|=\left|\begin{pmatrix}10\\0\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{10^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{101}\approx 10,05\,\mathrm m$
$\begin{array}{rcl} |\overrightarrow{R_3R_2}|&=&\left|\begin{pmatrix}10\\0\\-1\end{pmatrix}\right| \\ &=&\sqrt{10^2+0^2+(-1)^2} \\ &=&\sqrt{101} \\ &\approx& 10,05\,\mathrm m \end{array}$
Die Rampe ist etwa 10,05 m lang.
1.2 $\blacktriangleright$Steigungswinkel der Rampe berechnen
Für diese Aufgabe sollst du prüfen, ob der Steigungswinkel der Rampe die erlaubten $3,4^{\circ}$ übersteigt.
Das folgende Schaubild zeigt die Rampe aus der Seitenansicht.
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Zum Lösen der Aufgabe ist im 1.Schritt die Berechnung der Koordinaten eines fünften Punktes $R_5$ notwendig, damit du im 2.Schritt eine zweite Seitenlänge $|\overrightarrow{R_5R_3}|$ oder $|\overrightarrow{R_5R_2}|$ im hier dargestellten rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst.
Im 3.Schritt kann dann mittels trigonometrischer Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck der Steigungswinkel $\alpha$ berechnet werden.
1. Schritt: $\boldsymbol{R_5}$ berechnen
Anhand des Schaubildes kannst du erkennen, dass $R_3$ 1 m über $R_5$ liegt, sodass sie sich lediglich in der $x_3$-Koordinate unterscheiden.
Es folgt: $\quad \overrightarrow{OR_5}=\begin{pmatrix}25\\-5\\0\end{pmatrix}$
2. Schritt: Berechnung weiterer Seitenlängen
Zum Lösen der Aufgabe ist nur eine weitere Seitenlänge notwendig, da die Hypotenuse $|\overrightarrow{R_3R_2}|=10,05\,\mathrm m$ bereits im ersten Aufgabenteil berechnet wurde.
Gegenkathete $\left|\overrightarrow{R_5R_3}\right|$:
$\overrightarrow{R_5R_3}=\overrightarrow{OR_3}-\overrightarrow{OR_5}=\begin{pmatrix}25\\-5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}25\\-5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{R_5R_3}&=&\overrightarrow{OR_3}-\overrightarrow{OR_5} \\ &=&\begin{pmatrix}25\\-5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}25\\-5\\0\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{array}$
$|\overrightarrow{R_5R_3}|=\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=\sqrt{1}= 1\,\mathrm m$
$\begin{array}{rcl} |\overrightarrow{R_5R_3}|&=&\left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right| \\ &=&\sqrt{0^2+0^2+1^2} \\ &=&\sqrt{1} \\ &=& 1\,\mathrm m \end{array}$
3. Schritt: Steigungswinkel $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen
Hier hast du drei Möglichkeiten, um $\alpha$ zu bestimmen. Hier berechnen wir diesen mit dem Sinus:
$\begin{array}{rcll} \sin\alpha&=&\dfrac{|\overrightarrow{R_5R_3}|}{|\overrightarrow{R_3R_2}|} \\ &=&\dfrac{1\,\mathrm m}{10,05\,\mathrm m} \\ \sin\alpha&\approx&0,0995&\scriptsize{ \mid\; \sin^{-1}}\\ \alpha&\approx&5,71^{\circ} \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} \sin\alpha&=&\dfrac{|\overrightarrow{R_5R_3}|}{|\overrightarrow{R_3R_2}|} \\ &=&\dfrac{1\,\mathrm m}{10,05\,\mathrm m} \\ \sin\alpha&\approx&0,0995\\ \alpha&\approx&5,71^{\circ} \\ \end{array}$
Der Steigungswinkel beträgt ca. $5,71^{\circ}$ und übersteigt somit die maximal zulässigen $3,4^{\circ}$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$Beweis des rechten Winkels
Bei dieser Aufgabe hast du drei Punkte $A, B$ und $P$ gegeben.
  • $A(5\mid26\mid25)$
  • $B(2\mid30\mid18)$
  • $P(35\mid66\mid35)$
Diese bilden ein dreieckiges Segeltuch, das auf einen rechten Winkel bei $A$ untersucht werden soll.
$P$ stellt dabei die Spitze eines Flutlichtmastes dar, an dem ein Seil befestigt wird. An diesem Seil kann entlang der Strecke $\overline{AP}$ ein weiterer Punkt $C$ als Eckpunkt des dreieckigen Segeltuchs eingestellt werden.
Ein Einzeichnen in die Skizze von oben ergibt:
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Ein rechter Winkel liegt dann vor, wenn die Vektoren orthogonal zueinander stehen, d.h. das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$ Null ergibt.
Berechne im 1. Schritt die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$, damit du anschließend im 2. Schritt das Skalarprodukt berechnen kannst.
1. Schritt: Verbindungsvektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{AP}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ berechnen
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}35\\66\\35\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AP}&=&\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA} \\ &=&\begin{pmatrix}35\\66\\35\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix} \end{array}$
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\30\\18\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-7\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}&=&\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\ &=&\begin{pmatrix}2\\30\\18\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix} \\ &=&\begin{pmatrix}-3\\4\\-7\end{pmatrix} \end{array}$
2. Schritt: Skalarprodukt von $\boldsymbol{\overrightarrow{AP}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{AB}}$ berechnen
$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{AP}\circ\overrightarrow{AB}&\stackrel{!}{=}&0 \\ \begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\4\\-7\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&0 \\ (30\cdot(-3)+40\cdot4+10\cdot(-7))&\stackrel{!}{=}&0 \\ 0&=&0\qquad\checkmark \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \overrightarrow{AP}\circ\overrightarrow{AB}&\stackrel{!}{=}&0 \\ \begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\4\\-7\end{pmatrix}&\stackrel{!}{=}&0 \\ (30\cdot(-3)+40\cdot4 && \\ +10\cdot(-7))&\stackrel{!}{=}&0 \\ 0&=&0 \\ &&\checkmark \\ \end{array}$
Das Skalarprodukt der beiden Verbindungsvektoren beträgt somit 0, sodass die Vektoren orthogonal zueinander liegen.
Daraus folgt:
Zwischen den Vektoren $\overrightarrow{AP}$ und $\overrightarrow{AB}$ liegt ein rechter Winkel.
Erläutern, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ immer rechtwinklig ist
Hier sollst du nun noch beweisen, dass das Dreieck $ABC$ immer rechtwinklig ist, ganz gleich, wo sich der Punkt $C$ auf dem Seil zwischen $A$ und $P$ befindet.
Die unterschiedliche Position von $C$ auf $\overrightarrow{AP}$ verkürzt den Vektor, ändert aber nicht seine Richtung.
Damit bleibt der rechte Winkel bei $A$ erhalten.
Mathematisch lässt sich das durch das Einführen eines Parameters $\boldsymbol{r}$ beweisen, der die Länge des Vektors variieren lässt.
$\overrightarrow{AC}=r\cdot\overrightarrow{AP}=r\cdot\begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30r\\40r\\10r\end{pmatrix}$
Nun wird das Skalarprodukt eines $\overrightarrow{AC}$ mit $\overrightarrow{AB}$ berechnet.
$\overrightarrow{AC}\circ\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}30r\\40r\\10r\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\4\\-7\end{pmatrix}=-90r+160r-70r=0\qquad\checkmark$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AC}\circ\overrightarrow{AB}&=&\begin{pmatrix}30r\\40r\\10r\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\4\\-7\end{pmatrix} \\ &=&-90r+160r-70r \\ &=&0\qquad\checkmark \end{array}$
Somit ist das Skalarprodukt eines beliebig langen Vektors $\overrightarrow{AC}$ mit $\overrightarrow{AB}$ Null, sodass der rechte Winkel bei $A$ unabhängig von der Position von $C$ auf $\overrightarrow{AP}$ existiert.
2.2 $\blacktriangleright$Koordinaten eines Punktes $\boldsymbol{C}$ berechnen
Bei dieser Aufgabe sollen die Koordinaten eines Punktes $C$ berechnet werden, damit das Dreieck die zugelassene Maximalgröße von $100\,\mathrm m^2$ hat.
Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Fläche sich mit folgender Formel berechnen lässt:
$A_{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|=\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}|$
$\begin{array}{rcl} A_{Dreieck}&=&\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}| \\ &=&\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}| \end{array}$
Wie du oben sehen kannst, beschreibt $r \cdot |\overrightarrow{AP}|$ die Länge der Seite $\overline{AC}$. Die Erläuterung dazu ist im vorherigen Aufgabenteil zu finden.
Berechne im 1. Schritt die Beträge der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AP}$, um anschließend im 2. Schritt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts nutzen zu können. Setze dort die zugelassene Maximalfläche ein und löse nach dem Parameter $r$.
Damit können im 3. Schritt die Koordinaten von $C$ berechnet werden.
1. Schritt: Beträge/Längen der Vektoren berechnen
$|\overrightarrow{AB}|=\left|\begin{pmatrix}-3\\4\\-7\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+4^2+(-7)^2}\approx 8,6\,\mathrm m$
$\begin{array}{rcl} |\overrightarrow{AB}|&=&\left|\begin{pmatrix}-3\\4\\-7\end{pmatrix}\right| \\ &=&\sqrt{(-3)^2+4^2+(-7)^2} \\ &\approx& 8,6\,\mathrm m \end{array}$
$|\overrightarrow{AP}|=\left|\begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix}\right|=\sqrt{30^2+40^2+10^2}\approx 50,99\,\mathrm m$
$\begin{array}{rcl} |\overrightarrow{AP}|&=&\left|\begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix}\right| \\ &=&\sqrt{30^2+40^2+10^2} \\ &\approx& 50,99\,\mathrm m \end{array}$
2. Schritt: $\boldsymbol r$ berechnen
$\begin{array}{rcll} A_{Dreieck,max}&=&\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}| \\ 100\,\mathrm m^2&=&\dfrac{1}{2}\cdot8,6\,\mathrm m\cdot r\cdot50,99\,\mathrm m \\ 100\,\mathrm m^2&=&r\cdot 219,257\,\mathrm m^2&\scriptsize{ \mid\;:219,257\,\mathrm m^2} \\ r&\approx&0,46 \\ \end{array}$
$\begin{array}{rcl} A_{\Delta,max}&=&\dfrac{1}{2}\cdot|\overrightarrow{AB}|\cdot r\cdot|\overrightarrow{AP}| \\ 100\,\mathrm m^2&=&\dfrac{1}{2}\cdot8,6\,\mathrm m\cdot r\cdot50,99\,\mathrm m \\ 100\,\mathrm m^2&=&r\cdot 219,257\,\mathrm m^2 \\ r&\approx&0,46 \\ \end{array}$
3. Schritt: Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{C}$ berechnen
Der Parameter $r$ gibt an, um wie viel der Vektor $\overrightarrow{AP}$ verkürzt wird, damit die zugelassene Maximalfläche des Dreiecks $ABC$ nicht überschritten wird.
Mit dem berechneten $r$ kannst du nun also $\overrightarrow{OC}$ berechnen:
Da der Vektor $\overrightarrow{AP}$ durch $\overrightarrow{OA}$ und $\overrightarrow{OP}$ verläuft gilt:
$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}+0,46\cdot \begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}18,8\\44,4\\29,6\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{OC}&=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AP} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}+0,46\cdot \begin{pmatrix}30\\40\\10\end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}18,8\\44,4\\29,6\end{pmatrix} \end{array}$
Somit sind die Koordinaten des Punktes $C(18,8\mid44,4\mid29,6)$.
3.
3.1 $\blacktriangleright$Koordinaten des Schattenpunktes $\boldsymbol{A_s}$ auf dem Bühnenboden berechnen
Der Punkt $C$ wird nun bei $C(17\mid42\mid29)$ auf $\overrightarrow{AP}$ fixiert. Das neue Dreieck wirft einen Schatten auf die Bühne. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ der Sonnenstrahlen lautet dabei:
$\vec{v}=\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix}$
Der Schattenpunkt $A_s$ auf der Bühnenebene ist der Schnittpunkt der Geraden durch $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ und der Bühne.
Da die Bühne in einer Höhe von 1 m aufgebaut wurde, liegt auch der Schattenpunkt $A_s$ in 1 m Höhe und hat also die gleiche $x_3$-Koordinate wie die Bühne, d.h. $x_3=1$. Die Bühne liegt also in der Ebenen mit der Koordinatengleichung $x_3 = 1$.
Das kannst du auch an den gegebenen Schattenpunkten $B_s=\left(-3\frac{2}{3}\mid1\frac{2}{3}\mid1\right)$ und $C_s=\left(7\frac{2}{3}\mid-4\frac{2}{3}\mid1\right)$ ablesen.
Stelle im 1. Schritt die Geradengleichung durch $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ auf:
$g:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\vec{v}$
Anschließend kannst du im 2. Schritt mit der bereits bekannten $x_3$-Koordinate in einer Punktprobe mit $A_s$ den Parameter $s$ bestimmen, um damit im 3. Schritt die $x_1$-und $x_3$-Koordinaten von $A_s$ berechnen zu können.
So ist die Berechnung des Schnittpunktes der Geraden mit der Bühnenebene nicht notwendig.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Die Gerade verläuft durch $A$ mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$, daher folgt:
$g:\quad\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\vec{v}=\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix}$
$\begin{array}{rcl} g:\quad\vec{x}&=&\overrightarrow{OA}+s\cdot\vec{v} \\ &=&\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix} \end{array}$
2. Schritt: Parameter $\boldsymbol s$ bestimmen
Von dem Schattenpunkt $A_s$ ist bereits die $x_3$-Koordinate bekannt.
Der Parameter $s$ ist für alle Koordinaten identisch, daher kann damit nun der Parameter $s$ bestimmt werden:
$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{x}_g&=&\overrightarrow{OA}_s \\ \begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\end{pmatrix}\\ \end{array}$
$\quad \Rightarrow 25-3s=1\quad \Leftrightarrow\quad s=8$
3. Schritt: $\boldsymbol{A_s}$ berechnen
Mit dem berechneten Parameter $s$ können nun die $x_1$-und $x_2$-Koordinaten von $A_s$ berechnet werden.
$\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}+8\cdot\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\end{pmatrix} \quad \begin{matrix} \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\\ \\ \end{matrix} \quad \begin{matrix} 5-8=x_1\\ 26-40=x_2\\ \\ \end{matrix} \quad \begin{matrix} \Rightarrow\\ \Rightarrow\\ \\ \end{matrix} \quad \begin{matrix} x_1=-3\\ x_2=-14\\ \\ \end{matrix}$
$\begin{array}{rcl} &\begin{pmatrix}5\\26\\25\end{pmatrix}+8\cdot\begin{pmatrix}-1\\-5\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\1\end{pmatrix} \\[5pt] \Leftrightarrow& \begin{matrix} 5-8=x_1\\ 26-40=x_2\\ \end{matrix} \\[5pt] \Rightarrow& \begin{matrix} x_1=-3\\ x_2=-14\\ \end{matrix} \end{array}$
Insgesamt folgt somit für den Schattenpunkt: $\quad A_s=(-3\mid-14\mid1)$
3.2 $\blacktriangleright$Schatten zeichnen und prüfen, ob $\boldsymbol M$ darin liegt
Für diese Aufgabe hast du die Koordinaten der Schattenpunkte gegeben, bzw. $A_s$ wurde in 3.1 berechnet:
  • $A_s=(-3\mid-14\mid1)$
  • $B_s=\left(-3\frac{2}{3}\mid1\frac{2}{3}\mid1\right)$
  • $C_s=\left(7\frac{2}{3}\mid-4\frac{2}{3}\mid1\right)$
Du sollst die dreieckige Schattenfläche, welche sich aus den Schattenpunkten bildet in das Koordinatensystem aus Material 2 einzeichnen und anschließend prüfen, ob der Fußpunkt $M(0\mid0\mid1)$ darin liegt.
Im Vergleich zu einem gewöhnlichen zweidimensionalen Koordinatensystem stellt die $x_2$-Achse hier die $x$-Achse dar und die $x_1$-Achse die $y$-Achse.
Beachte, dass die $x_1$-Achse nach unten zeigt und unterhalb der $x_2$-Achse positive Werte annimmt.
Die $x_3$-Achse weist aus der Zeichenebene heraus auf dich zu.
Zeichne nun die gegebenen Punkte in das Schaubild ein.
B2 - Analytische Geometrie
B2 - Analytische Geometrie
Anhand des Schaubildes kannst du erkennen, dass der Fußpunkt $\boldsymbol{M}$ außerhalb der Schattenfläche liegt.
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