A2 - Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\ x^3-6x^2+9x$ . In den nachfolgenden beiden Abbildungen ist der Graph dieser Funktion dargestellt.

Abbildung 1

Abbildung 2

1.1

Berechne ohne Bezugnahme auf den Graphen die Koordinaten der Extrempunkte sowie des Wendepunktes $W$ des Graphen von $f$ und gib in Abbildung 1 die Skalierung der Achsen des Koordinatensystems an.

(7 BE)

1.2

Ermittle die Gleichung der Geraden $g$ , die durch den Hochpunkt $H$ und den Tiefpunkt $T$ des Graphen verläuft, und zeige, dass der Wendepunkt $W$ ebenfalls auf der Geraden $g$ liegt.

(4 BE)

Skizziere den Graphen einer möglichen Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ in das Koordinatensystem von Abbildung 1. Begründe den Verlauf des Graphen von $F$ mithilfe des Verlaufs des Graphen von $f$ durch Benutzen des Zusammenhangs zwischen Funktionen und ihren Ableitungen.

(9 BE)

Gegeben ist für $a \neq 0$ die Funktionenschar $h_a$ mit $h_a(x)=\ \dfrac{f(a)}{a}\cdot x$ , $x \in \mathbb{R}.$

3.1

Erläutere, dass $h_a$ eine Schar linearer Funktion ist, und zeichne den Graphen von $h_a$ für $a=2$ in das Koordinatensystem in Abbildung 2.

$[$ zur Kontrolle: $h_a(x)=\ (a^2-6a+9) \cdot x]$

(5 BE)

3.2

Berechne den Inhalt der endlichen Fläche, die von dem Graphen von $h_2$ und dem Graphen von $f$ eingeschlossen wird.

(7 BE)

Es sei $P(u\ |\ f(u))$ mit $0\leq u \leq 3$ ein Punkt des Graphen von $f$ und $O\ (0\ |\ 0)$ der Koordinatenursprung. Die Parallele zur $y$ -Achse durch $P$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $Q$ .

Zeige, dass der Term $B(u)=\ \dfrac{1}{2} \cdot u^4-3 \cdot u^3+\dfrac{9}{2} \cdot u^2$ den Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ beschreibt.

Bestimme $u$ so, dass $B(u)$ extremal wird. Ermittle in allen Extremfällen den Flächeninhalt des Dreiecks und beschreibe jeweils die zugehörige Form des Dreiecks.

(8 BE)

1.1

Koordinaten der Extrempunkte berechnen

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+9x &\quad \scriptsize \\[5pt] f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit der pq-Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2} &=& -\dfrac{-4}{2}\pm\sqrt{ \left(\dfrac{-4}{2} \right)^2-3} \\[5pt] x_{1,2} &=& 2\pm\sqrt{4-3} \\[5pt] x_1 &=& 3 \\[5pt] x_2 &=& 1 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

4. Schritt: $y$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=& 3^3-6\cdot 3^2+9 \cdot 3& \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& 1^3-6\cdot 1^2+9 \cdot 1& \\[5pt] &=& 4 \end{array}$

Die Koordinaten des Hochpunkts folgen somit mit $H(1\mid4)$ und die Koordinaten des Tiefpunkts mit $T(3\mid 0).$

Koordinaten des Wendepunkts $W$ berechnen

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(f$

An der Stelle $x=2$ besitzt der Graph der Funktion von $f$ somit eine Wendestelle.

3. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& 2^3-6 \cdot 2^2+9 \cdot 2& \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Somit besitzt $f$ die Extrem- und Wendepunkte $T(3\mid0)$ , $H(1\mid4)$ und $W(2\mid2).$

Skalierung der Achsen angeben

Funktion f Beschriftung Hessen Mathe Abi 2016

1.2

Es gilt:

$g(x)= m\cdot x + c$

Mit den Koordinaten der Punkte $T$ und $H$ folgt für die Steigung $m$ der Geraden:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\[5pt] &=& \dfrac{0-4}{3-1} \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{2} \\[5pt] &=& -2 \end{array}$

Einsetzen von $m$ und $T$ in die allgemeine Geradengleichung $g$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 3\cdot (-2) + c &\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 6 &=& c \end{array}$

Somit folgt die Geradengleichung von $g$ mit:

$g(x)=-2\cdot x + 6$

Einsetzen der Koordinaten des Wendepunkts in die Geradengleichung:

$\begin{array}[t]{rll} g(2)&=& 2 & \\[5pt] -2\cdot 2+6 &=& 2 \\[5pt] 2&=& 2 & \\[5pt] \end{array}$

Somit liegt auch der Wendepunkt $W(2\mid2)$ der Funktion $f$ auf der Geraden $g.$

Stammfunktion Hilfspunkte Hessen Mathe Abi 2016

An der Stelle $x=0$ hat der Graph von $f$ eine Nullstelle und wechselt das Vorzeichen von negativ zu positiv. Somit muss der Graph von $F$ hier einen Tiefpunkt besitzen.

Im Punkt $(1\mid 4)$ hat der Graph von $f$ einen Hochpunkt, also hat der Graph von $F$ hier einen Wendepunkt.

An der Stelle $x=3$ hat der Graph von $f$ eine Nullstelle, gleichzeitig liegt im Punkt $(3\mid 0)$ ein Tiefpunkt vor, es findet also kein Vorzeichenwechsel statt. Demnach hat der Graph von $F$ hier einen Sattelpunkt.

Der Graph von $F$ kann in $y$ -Richtung verschoben sein.

3.1

$\begin{array}[t]{rll} h_a(x)&=&\dfrac{f(a)}{a} \cdot x &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{a^3-6a^2+9a}{a} \cdot x &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& (a^2-6a+9) \cdot x &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

$h_a(x)$ ist eine Schar von Funktionen ersten Grades und somit auch eine Schar linearer Funktionen mit der Steigung $m_a=(a^2-6a+9).$

$\begin{array}[t]{rll} h_2(x)&=& (2^2-6 \cdot 2 + 9) \cdot x &\quad \scriptsize \\[5pt] h_2(x)&=& 1 \cdot x&\quad \scriptsize \\[5pt] h_2(x)&=& x \end{array}$

Funktionenschar h2 Hessen Mathe Abi 2016

3.2

Aus der Symmetrie des Graphen lässt sich ableiten, dass die eingezeichnete Gerade mit dem Graphen zwei gleichgroße Teilflächen einschließt:

Aus der Abbildung lassen sich die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen $h_2$ und $f$ ablesen:

$S_1(0\mid0)$ , $S_2(2\mid2)$ und $S_3(4\mid4)$

Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$A_1= 4 \; \,\text{[FE]}$

Die gesamte eingeschlossene Fläche ergibt sich nun durch $A= 2\cdot A_1 = 8 \; \,\text{[FE]}.$

Term nachweisen

Aus der Aufgabenstellung lassen sich die Koordinaten der drei Eckpunkte des Dreiecks $OQP$ in Abhängigkeit von $u$ herauslesen:

$O(0\mid0)$

$Q(u\mid0)$

$P(u\mid f(u))$

Das Dreieck kann also beispielsweise wie folgt angeordnet sein:

Hilfsskizze

Da $P$ senkrecht über $Q$ liegt, handelt es sich bei $OQP$ um ein rechtwinkliges Dreieck.

Für den Flächeninhalt $A(u)$ von $OQP$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A(u) &=& \dfrac{1}{2}\cdot u \cdot f(u) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot u \cdot (u^3-6u^2+9u) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot (u^4-6u^3+9u^2) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot u^4-3\cdot u^3+\dfrac{9}{2}\cdot u^2 \\[5pt] &=& B(u) \end{array}$

Extremfälle ermitteln

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} B(u) &=&\dfrac{1}{2}u^4-3u^3+\dfrac{9}{2}u^2 \\[5pt] B$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\begin{array}[t]{rll} B‘(u) &=&0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2u^3 - 9u^2+9u &=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] u \cdot \left(u^2 - \dfrac{9}{2}u+\dfrac{9}{2} \right)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$u_1= 0$ und $\left(u^2 - \dfrac{9}{2}u+\dfrac{9}{2} \right)=0$

Mit der pq-Formel ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} u_{2,3}&=& -\left(-\dfrac{9}{4}\right)\pm\sqrt{\left(-\dfrac{9}{4}\right)^2-\dfrac{9}{2}} \\[5pt] u_{2,3}&=& \dfrac{9}{4}\pm\sqrt{\dfrac{81}{16}-\dfrac{72}{16}} \\[5pt] u_{2,3}&=& \dfrac{9}{4}\pm\sqrt{\dfrac{9}{16}} \\[5pt] u_{2,3}&=& \dfrac{9}{4}\pm\dfrac{3}{4} \\[5pt] u_2&=& 3 \\[5pt] u_3&=& \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} B$

Somit besitzt der Graph von $B$ zwei Tiefpunkte an den Stellen $x=0$ und $x=3$ und einen Hochpunkt an der Stelle $x=1,5.$

4. Schritt: Funktionswerte bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} B(0)&=& \dfrac{1}{2} \cdot 0^4-3 \cdot 0 ^3+\dfrac{9}{2} \cdot 0^2 & \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} B(3)&=& \dfrac{1}{2} \cdot 3^4-3 \cdot 3 ^3+\dfrac{9}{2} \cdot 3^2 & \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$B(1,5)=2,53$

Rechenweg anzeigen

Für $u=0$ entspricht das Dreieck $OQP$ einem einzelnen Punkt im Ursprung. Für $u=3$ besitzen die Punkte $Q$ und $P$ dieselben Koordinaten und es ergibt sich die Strecke $\overline{OQ}=\overline{OP}.$

Somit ist der maximale Flächeninhalt des Dreiecks $OQP$ gegeben durch $B(1,5)=2,53\,\text{[FE]}.$