B1 - Analytische Geometrie
In einem dreidimensionalen Koordinatensystem beschreibt die 
-Ebene eine flache Landschaft. Eine Einheit entspricht dabei einem Kilometer.
Ein Sportflugzeug befindet sich im Punkt 
und fliegt in Richtung des Punktes 
auf eine Nebelwand zu. Für die Strecke 
benötigt es genau sechs Minuten.
Die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene 
der Nebelwand enthält die Punkte 
, 
und 
.
-Ebene eine flache Landschaft. Eine Einheit entspricht dabei einem Kilometer.
Ein Sportflugzeug befindet sich im Punkt und fliegt in Richtung des Punktes auf eine Nebelwand zu. Für die Strecke benötigt es genau sechs Minuten.
Die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand enthält die Punkte , und .
1
Begründe, dass
eine Parametergleichung der Geraden 
ist, in der die Flugroute liegt.
Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Flugzeugs auf dem Weg von 
nach 
in 
eine Parametergleichung der Geraden ist, in der die Flugroute liegt.
Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Flugzeugs auf dem Weg von nach in
(6 BE)
2
Bestimme für die Ebene eine Gleichung in Koordinatenform.
Zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung von ist ![\(x+2y+2z = 9. \big]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b41b9fa9c82d59179fc29897349fb806ccb33298a683319dbb0eccd9d2f8f1b7_light.svg)
eine Gleichung in Koordinatenform.
Zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung von ist
(5 BE)
3
Berechne die Koordinaten des Punktes 
in dem das Flugzeug bei gleichbleibender Flugrichtung die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand durchstoßen würde.
Zur Kontrolle: ![\(S(3\mid 1\mid 2) \big]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9cb09c9f94e68de8e9425e0b755497d159012826271920293f487e2cd049d602_light.svg)
in dem das Flugzeug bei gleichbleibender Flugrichtung die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand durchstoßen würde.
Zur Kontrolle:
(4 BE)
4
![\(\begin{array}[t]{rll}
d&=&\sqrt{(-9+t-3)^2 + (25-2t -1)^2 + (2-2)^2 } \\[5pt]
&=&\sqrt{5t^2 -120 t +720}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/24e4830954fd835e05fa9f0507111962ec766b3d8e0e5563f8da9ebdee37750a_light.svg)
also ist 
, also ist 
die gesuchte Lösung
5
Aufgrund des Nebels ändert der Pilot rechtzeitig seine Flugroute und fliegt in gleichbleibender Höhe parallel zur Ebene weiter.
Erläutere, warum 
ein möglicher Richtungsvektor der Geraden ist, die die neue Flugroute enthält.
Berechne den Winkel, um den die neue Flugroute in Richtung des Vektors 
gegenüber der alten Flugroute abweicht.
weiter.
Erläutere, warum ein möglicher Richtungsvektor der Geraden ist, die die neue Flugroute enthält.
Berechne den Winkel, um den die neue Flugroute in Richtung des Vektors gegenüber der alten Flugroute abweicht.
(8 BE)
1
Geradengleichung begründen
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{PQ}&=& \pmatrix{-1\\9\\2} -\pmatrix{-9\\25\\2} \\[5pt]
&=& \pmatrix{8\\-16\\0} \\[5pt]
&=&8\cdot \pmatrix{1\\-2\\0}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d66edaafe7290d5fbcedda870b3e514cc49d4a12171632811cc5ddc903ca0479_light.svg)
Der Richtungsvektor der Geraden ist also ein Vielfaches von 
Mit 
als Stützpunkt folgt die gegebene Geradengleichung, in der die Flugroute liegt.
Mittlere Geschwindigkeit berechnen
Die Länge von 
ergibt sich mit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{PQ} \right|&=&\left| \pmatrix{8\\-16\\0}\right|\\[5pt]
&=& \sqrt{8^2 + (-16)^2 + 0^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{320}\\[5pt]
&\approx& 17,89 \,[\text{km}]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/460656d62d4fa8d90f45ceeb645082128475713b77fe5b5da26bac1b6e098db8_light.svg)
Die mittlere Geschwindigkeit 
lässt sich nun wie folgt berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
v&=&\dfrac{s}{t} \\[5pt]
&=&\dfrac{17,89 \,\text{km}}{6\,\text{min}} \\[5pt]
&=& 10\cdot\dfrac{ 17,89\,\text{km}}{1\text{h}}\\[5pt]
&\approx& 179 \;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7b054ba73e164e8b7245793e71e1c825c70598f432ee0a42b4688984fc76fd9e_light.svg)
Den Weg von nach legt das Flugzeug folglich mit einer mittleren Geschwindigkeit von ca. 
zurück.
Der Richtungsvektor der Geraden ist also ein Vielfaches von
Mit als Stützpunkt folgt die gegebene Geradengleichung, in der die Flugroute liegt.
Mittlere Geschwindigkeit berechnen
Die Länge von ergibt sich mit:
Die mittlere Geschwindigkeit lässt sich nun wie folgt berechnen:
Den Weg von nach legt das Flugzeug folglich mit einer mittleren Geschwindigkeit von ca. zurück.
2
Mit dem Kreuzprodukt aus zwei Verbindungsvektoren zwischen Punkten aus der Ebene ergibt sich ein Normalenvektor von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} \\[5pt]
&=& \pmatrix{4\\ -1\\-1}\times \pmatrix{2\\-3\\2} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-1\cdot 2 - (-1)\cdot (-3)\\ -1\cdot 2 -4\cdot 2\\ 4\cdot(-3) -(-1)\cdot 2 }\\[5pt]
&=& \pmatrix{-5\\-10\\-10} \\[5pt]
&=& -5\cdot \pmatrix{1\\2\\2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/318ade8a92887a7025accb8a36c76610b329f97f60a16141f13036785990e220_light.svg)
Einsetzen des gekürzten Normalenvektors 
sowie der Koordinaten eines Punktes, der in der Ebene liegt, folgt:
Eine Koordinatengleichung der Ebene ist somit gegeben durch 
ergibt sich ein Normalenvektor von
Einsetzen des gekürzten Normalenvektors sowie der Koordinaten eines Punktes, der in der Ebene liegt, folgt:
Eine Koordinatengleichung der Ebene 
![\(\begin{array}[t]{rll}
E: 1\cdot x+2\cdot y+2\cdot z&=& d &\quad \scriptsize \mid\; A(1\mid 3\mid 1)\\[5pt]
1\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 1 &=& d &\\[5pt]
9&=& d
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/eff6c14ee2f08f6d6ca1571fbe5a64f5784694207dc5ee66d3b2806fcb47b073_light.svg)
ist somit gegeben durch
3
Die Koordinaten der Punkte 
auf der Geraden sind gegeben durch 
Einsetzen in die Koordinatengleichung von liefert:
Einsetzen von 
in die Geradengleichung liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OS} &=& \pmatrix{-9\\ 25\\ 2} +12\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} &\\[5pt]
&=& \pmatrix{3\\ 1\\ 2}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ee6a709d12d77e55ef5092ac9d74ff54929eb0d46b9efb1af8ebbbe50d3126d5_light.svg)
Bei gleichbleibender Flugrichtung würde das Flugzeug die Nebelwand im Punkt 
durchstoßen.
auf der Geraden sind gegeben durch
Einsetzen in die Koordinatengleichung von liefert:
Einsetzen von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
x +2y +2z&=& 9 \\[5pt]
(-9 +t) +2\cdot \left( 25-2t\right) +2\cdot 2&=& 9 \\[5pt]
-9 +t +50 -4t +4 &=& 9 \\[5pt]
45 -3t&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;-45 \\[5pt]
-3t&=& -36 &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt]
t&=& 12
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dcd183355d95202b2b082cf0ab878b61a3811ec24a9024e71f24f1a32051db88_light.svg)
in die Geradengleichung liefert:
Bei gleichbleibender Flugrichtung würde das Flugzeug die Nebelwand im Punkt durchstoßen.
4
ist der Punkt aus Aufgabe 3, an dem das Flugzeug die ihm zugewandte Seite der Nebelwand bei gleichbleibender Flugrichtung durchstoßen würde und 
ein allgemeiner Punkt auf der Geraden 
also auf der Flugroute des Flugzeuges.
In diesem Schritt wird der Betrag des Verbindungsvektors zwischen und berechnet. Dieser entspricht dem Abstand 
vom Durchstoßpunkt zu einem allgemeinen Punkt auf der Flugroute des Flugzeugs.
Der Term aus Zeile wird mit 
gleichgesetzt und die Gleichung nach aufgelöst. Für 
und 
ist also die Position des Flugzeugs genau von dem Durchstoßpunkt der Nebelwand entfernt.
Von den beiden Punkten 
und 
, die sich aus den Werten 
und 
aus Zeile ergeben, liegt einer aus Sicht des Flugzeuges vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand und einer dahinter. An dem Punkt kommt das Flugzeug zuerst an, somit ist das der gesuchte Punkt vor Durchbrechen der Nebelwand.
Einsetzen von 
in liefert den Punkt, an dem das Flugzeug noch vom Eintritt in die Nebelwand entfernt ist.
5
Wahl des Richtungsvektors erläutern
Da das Flugzeug in gleichbleibender Höhe weiterfliegt, ändert sich die 
-Koordinate der Punkte auf der Flugroute nicht. Der dritte Eintrag des Richtungsvektors muss also Null sein. Diese Bedingung wir von erfüllt.
Zudem fliegt das Flugzeug parallel zur Ebene 
das heißt der Normalenvektor von muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein.
Für gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} &=& \pmatrix{1\\2\\2} \circ \pmatrix{2\\-1\\0} \\[5pt]
&=& 1\cdot 2 +2\cdot (-1) + 2\cdot 0 \\[5pt]
&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/833e39e64715247c85e80b7d5866f2466849052b1465dceff9837fc399933c43_light.svg)
Da die zweite Bedingung ebenfalls erfüllt ist, ist ein möglicher Richtungsvektor der Geraden, welche die neue Flugroute enthält.
Winkel berechnen
Die neue Flugroute weicht somit um ca. 
von der alten ab.
-Koordinate der Punkte auf der Flugroute nicht. Der dritte Eintrag des Richtungsvektors muss also Null sein. Diese Bedingung wir von erfüllt.
Zudem fliegt das Flugzeug parallel zur Ebene das heißt der Normalenvektor von muss orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden sein.
Für gilt:
Da die zweite Bedingung ebenfalls erfüllt ist, ist ein möglicher Richtungsvektor der Geraden, welche die neue Flugroute enthält.
Winkel berechnen
Die neue Flugroute weicht somit um ca. 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{PQ}\circ \overrightarrow{u} \right| }{\left|\overrightarrow{PQ} \right| \cdot \left|\overrightarrow{u}\right|} \\[5pt]
\cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\pmatrix{8\\-16\\0}\circ \pmatrix{2\\-1\\0} \right| }{\left|\pmatrix{8\\-16\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{2\\-1\\0} \right|}\\[5pt]
\cos(\alpha)&=& \dfrac{8\cdot 2+(-16)\cdot (-1)+0\cdot 0}{\sqrt{8^2+ (-16)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{2^2+(-1)^2+0^2} } \\[5pt]
\cos(\alpha)&=& \dfrac{32}{\sqrt{320} \cdot \sqrt{5} } \\[5pt]
\cos(\alpha)&=& 0,8 & \quad \scriptsize \mid \cos^{-1} \\[5pt]
\alpha &\approx& 36,87^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/10487b3e2a3915637764e675da9619d6e249b85f39daf13eb86a28396892a8d1_light.svg)
von der alten ab.