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A2 - Analysis

Aufgaben
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In Herr Maiers Garten steht ein Kirschbaum. Beim Einpflanzen hatte der Baum eine Höhe von $2$ Metern. $7$ Jahre nach dem Einpflanzen ist er $5$ Meter hoch.
Zur Modellierung seines Wachstums soll die Höhe des Kirschbaums durch eine Funktion in Abhängigkeit von der Zeit $t$ beschrieben werden. Dazu werden die Funktionen $h$ und $g$ vorgeschlagen mit
$h(t)= 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\,$ und $\, $ $g(t)= 2+ \frac{3}{7}t.$
Dabei werden $t$ in Jahren seit dem Einpflanzzeitpunkt und $h(t)$ bzw. $g(t)$ in Metern angegeben. Für die Modellierung gilt jeweils $t\geq 0.$ Für die Aufgaben 1.1 und 2 soll diese Einschränkung des Definitionsbereichs nicht gelten.
1.1
Im Koordinatensystem in Material 1 ist der Graph von $h$ abgebildet. Zeichne zusätzlich den Graphen von $g$ in dieses Koordinatensystem.
(2 BE)
1.2
Beschreibe anhand der Graphen von $g$ und $h$ jeweils den Verlauf der Steigung.
Begründe im Sachzusammenhang ohne weitere Rechnung, warum die Funktion $h$ für die Modellierung des Wachstums des Kirschbaums auf lange Sicht besser geeignet ist als die Funktion $g$.
(4 BE)
#steigung
2.1
Begründe anhand des Funktionsterms der Funktion $h$, dass sich die Höhe des Baums langfristig dem Wert von $6\,\text{m}$ immer mehr nähert, ohne ihn jedoch zu erreichen bzw. zu überschreiten.
(3 BE)
2.2
Berechne für die Modellierung mit der Funktion $h$ den Zeitpunkt $t$, zu dem die Höhe des Kirschbaums $90\,\%$ des Werts aus Aufgabe 2.1 erreicht.
(4 BE)
2.3
Bestimme die Gleichung der Ableitungsfunktion $h'$.
Gib den Wert von $h'(4)$ an und deute diesen im Sachzusammenhang.
(5 BE)
#ableitung
3.
In Material 2 wird der Graph der Funktion $f_1$ mit $f_1(t) = \mathrm e^{0,2\cdot t}$ schrittweise durch jeweils eine der geometrischen Abbildungen Streckung in $y$-Richtung, Verschiebung in $y$-Richtung, Spiegelung an der $x$-Achse und Spiegelung an der $y$-Achse in den Graphen der Funktion $h$ überführt.
Gib die Funktionsgleichungen von $f_2$, $f_3$ und $f_4$ zu den zugehörigen Graphen an.
(6 BE)
#verschiebung#spiegelung
4.1
Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen dem Graphen von $h$ und der $t$-Achse im Intervall $[0;7]$ liegt.
[Zur Kontrolle: $A\approx 26,93$ (Flächeneinheiten)]
(5 BE)
4.2
Zeichne die Fläche aus Aufgabe 4.1 in das Koordinatensystem (5) in Material 2 sowie die Fläche, die zwischen der Geraden $y=6$ und dem Graphen der Funktion $f_3$ im Intervall $[0;7]$ liegt, in das Koordinatensystem (3) in Material 2.
Beide Flächen haben denselben Flächeninhalt.
Bestimme den Integralwert
$\displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt$
mit Hilfe dieser Flächen unter Verwendung des Ergebnisses aus Aufgabe 4.1.
(6 BE)
#integral
4.3
Berechne den Wert
$I = \frac{1}{5} \displaystyle\int_{0}^{5}h'(t)\;\mathrm dt$
und deute diesen im Sachzusammenhang.
(5 BE)
Material 1
A2 - Analysis
Abb. 1: $h(t) = 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$
A2 - Analysis
Abb. 1: $h(t) = 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$
Material 2
A2 - Analysis
Abb. 2: (1) $\quad f_1(t) = \mathrm e^{0,2\cdot t}$
A2 - Analysis
Abb. 2: (1) $\quad f_1(t) = \mathrm e^{0,2\cdot t}$
A2 - Analysis
Abb. 3: (2) $\quad f_2(t)= …$
A2 - Analysis
Abb. 3: (2) $\quad f_2(t)= …$
A2 - Analysis
Abb. 4: (3) $\quad f_3(t)= …$
A2 - Analysis
Abb. 4: (3) $\quad f_3(t)= …$
A2 - Analysis
Abb. 5: (4) $\quad f_4(t) = … $
A2 - Analysis
Abb. 5: (4) $\quad f_4(t) = … $
A2 - Analysis
Abb. 6: (5) $\quad h(t)= 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$
A2 - Analysis
Abb. 6: (5) $\quad h(t)= 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Graphen von $\boldsymbol{g}$ zeichnen
Beim Graphen von $g$ handelt es sich um eine Gerade. Berechne also die Koordinaten zweier Punkte auf der Gerade und trage diese in das Koordinatensystem ein. Durch diese zwei Punkte kannst du dann eine Gerade legen.
1.2
$\blacktriangleright$  Verlauf der Steigung beschreiben und Eignung der Funktion begründen
Betrachte die beiden Graphen von $g$ und $h$ und beschreibe ihren Steigungsverlauf. Schätze anschließend beide Verläufe hinsichtlich der Modellierung des Baumwachstums ein.
2.1
$\blacktriangleright$  Grenzwert der Baumhöhe begründen
Du sollst anhand des Funktionsterms von $h$ begründen, dass sich die Höhe des Baums langfristig dem Wert $6\,\text{m}$ annähert, diesen aber nicht erreicht. Betrachte dazu den Funktionsterm und zerlege ihn in einzelne Summanden.
2.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen
Du sollst für die Modellierung mit der Funktion $h$ den Zeitpunkt $t$ berechnen, zu dem die Höhe des Baums $90\,\%$ des Werts aus Aufgabe 2.1 $(6\,\text{m})$ erreicht.
Setze also den Funktionsterm $h(t)$ mit $0,9 \cdot 6$ gleich.
2.3
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ableitungsfunktion angeben
Du sollst die Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $h$ bestimmen. Verwende dafür die Kettenregel.
$\blacktriangleright$  Wert angeben und im Sachzusammenhang deuten
Du sollst $h'(4)$ berechnen und im Sachzusammenhang deuten. Setze also $t=4$ in $h'(t)$ ein.
Da die Funktion $h$ die Höhe des Kirschbaums modelliert und die erste Ableitung einer Funktion immer die momentane Änderungsrate der ursprünglichen Funktion beschreibt, beschreibt $h'$ die Wachstumsgeschwindigkeit des Kirschbaums in Metern pro Jahr.
Übertrage dies auf den Sachzusammenhang.
3.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen angeben
Bestimme schrittweise die Funktionsgleichungen von $f_2$, $f_3$ und $f_4$, indem du die jeweiligen Graphen mit dem vorherigen Graphen vergleichst. Beachte, dass in jedem Schritt eine der vier Abbildungen angewendet wird. Wendest du diese auf den Graphen einer Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(t)$ an, ergibt sich der neue Funktionsterm $f^*(t)$ wie folgt:
  • Streckung in $y$-Richtung: $f^*(t) = k\cdot f(t)$ mit $k>1$
  • Verschiebung in $y$-Richtung: $f^*(t)= f(t) + c$ mit $c\in \mathbb{R}$
  • Spiegelung an der $x$-Achse: $ f^*(t)= -f(t)$
  • Spiegelung an der $y$-Achse: $f^*(t)= f(-t)$
4.1
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $t$-Achse im Intervall $[0; 7]$. Verwende zur Berechnung ein Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b =7$.
4.2
$\blacktriangleright$  Flächen in das Koordinatensystem einzeichnen
Beginne mit der Fläche aus Aufgabe 4.1. Diese ist durch den Graphen von $h$ und die $t$-Achse, sowie durch die $x$-Koordinaten $x_1 =0$ und $x_2 =7$ begrenzt.
Die zweite Fläche sollst du in Koordinatensystem (3) einzeichnen. Diese ist von dem Graphen von $f_3$ und der Gerade $y = 6$, sowie den $x$-Koordinaten $x_1=0$ und $x_2 = 7$ begrenzt. Ergänze also zunächst die Gerade in der Zeichnung.
$\blacktriangleright$  Integralwert bestimmen
Gesucht ist der Integralwert von
$\displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt.$
Du sollst diesen mit Hilfe der beiden Flächen, die du eben skizziert hast und dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1 bestimmen.
Skizziere die gesuchte Fläche, deren Flächeninhalt durch das Integral beschrieben wird, ebenfalls in das Koordinatensystem. Gesucht ist der Flächeninhalt der hier blaumarkierten Fläche:
A2 - Analysis
Abb. 1: Fläche mit gesuchtem Flächeninhalt (blau)
A2 - Analysis
Abb. 1: Fläche mit gesuchtem Flächeninhalt (blau)
Zusammen ergeben die rote und blaue Fläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a= 6$ und $b = 7$, dessen Flächeninhalt du entsprechend berechnen kannst. Der Flächeninhalt der blauen Fläche ergibt sich dann, indem du den der roten Fläche von dem des Rechtecks subtrahierst. Den Flächeninhalt der roten Fläche kennst du bereits, da dieser laut Aufgabenstellung genau so groß ist, wie der der grünen Fläche, welchen du in Aufgabe 4.1 berechnet hast.
4.3
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Berechne den gesuchten Wert. Beachte bei der Berechnung des Integrals, dass $h$ eine Stammfunktion von $h'$ ist.
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang interpretieren
Der Wert $I$ beschreibt den mittleren Funktionswert von $h'$ im Intervall $[0;5]$. Da $h'$ die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist und $h$ die Höhe des Baumes beschreibt, gibt $h'(t)$ die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ Jahre nach dem Einpflanzzeitpunkt an.
Beziehe dies auf den Sachzusammenhang.
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Graphen von $\boldsymbol{g}$ zeichnen
Beim Graphen von $g$ handelt es sich um eine Gerade. Berechne also die Koordinaten zweier Punkte auf der Gerade und trage diese in das Koordinatensystem ein. Durch diese zwei Punkte kannst du dann eine Gerade legen.
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 2+\frac{3}{7}\cdot 0 \\[5pt] &=&2 \\[10pt] g(7)&=& 2+\frac{3}{7}\dot 7 \\[5pt] &=& 5 \\[10pt] \end{array}$
Du erhältst dann folgende Abbildung:
A2 - Analysis
Abb. 1: $h$ und $g$
A2 - Analysis
Abb. 1: $h$ und $g$
1.2
$\blacktriangleright$  Verlauf der Steigung beschreiben und Eignung der Funktion begründen
Betrachte die beiden Graphen von $g$ und $h$ und beschreibe ihren Steigungsverlauf. Schätze anschließend beide Verläufe hinsichtlich der Modellierung des Baumwachstums ein.
Dir sollte auffallen, dass der Graph von $g$ konstant steigt, da es sich um eine Gerade handelt. Der Graph von $h$ dagegen steigt zwar auch kontinuierlich, aber mit abnehmender Intensität.
Die Steigung des Graphen von $h$ nimmt kontinuierlich ab, bleibt aber positiv.
Würde das Wachstum des Baumes mit der Funktion $g$ modelliert werden, würde der Baum immer weiter mit derselben Geschwindigkeit wachsen. In der Realität ist dies aber kaum möglich.
Bei der Funktion $h$ nimmt allerdings die Wachstumsgeschwindigkeit immer weiter ab. Der Baum wächst also im Laufe der Zeit immer langsamer. Dies ist realistischer als eine ständig konstante Wachstumsgeschwindigkeit. Daher ist die Funktion $h$ auf lange Sicht besser für die Modellierung des Baumwachstums geeignet.
2.1
$\blacktriangleright$  Grenzwert der Baumhöhe begründen
Du sollst anhand des Funktionsterms von $h$ begründen, dass sich die Höhe des Baums langfristig dem Wert $6\,\text{m}$ annähert, diesen aber nicht erreicht. Betrachte dazu den Funktionsterm und zerlege ihn in einzelne Summanden.
$h(t)= 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$
Von $6$ wird für jedes $t$ der Wert $4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$ abgezogen.
Der Term $\mathrm e^{-0,2\cdot t}$ wird für immer größer werdende $t$ immer kleiner und nähert sich weiter dem Wert null an, bleibt dabei aber positiv. Daher gilt gleiches auch für $4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$.
Insgesamt wird daher von $6$ immer ein positiver Wert subtrahiert, der aber immer kleiner wird. Daher nähert sich $h(t)$ für größer werdende $t$ immer weiter dem Wert $6$ an, erreicht oder überschreitet diesen aber nicht.
2.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen
Du sollst für die Modellierung mit der Funktion $h$ den Zeitpunkt $t$ berechnen, zu dem die Höhe des Baums $90\,\%$ des Werts aus Aufgabe 2.1 $(6\,\text{m})$ erreicht.
Setze also den Funktionsterm $h(t)$ mit $0,9 \cdot 6$ gleich.
$\begin{array}[t]{rll} h(t) &=& 0,9\cdot 6 \\[5pt] 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}&=& 5,4 &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] -4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}&=&-0,6 &\quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] \mathrm e^{-0,2\cdot t}&=&0,15 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] -0,2t&=& \ln(0,15)&\quad \scriptsize \mid\;(-0,2) \\[5pt] t&=&-\dfrac{ \ln(0,15)}{0,2} \\[5pt] t&\approx& 9,49 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(t) &=& 0,9\cdot 6 \\[5pt] &…& \\[5pt] t&\approx& 9,49 \\[5pt] \end{array}$
Nach $t \approx 9,5$ (Jahren) hat die Höhe des Baums $90\,\%$ des Werts aus Aufgabe 2.1 $(6\,\text{m})$, also $5,4\,\text{m}$ erreicht.
2.3
$\blacktriangleright$  Gleichung der Ableitungsfunktion angeben
Du sollst die Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $h$ bestimmen. Verwende dafür die Kettenregel.
$\begin{array}[t]{rll} h(t)&=& 6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t} \\[10pt] h'(t)&=& -4\cdot (-0,2)\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t} \\[5pt] &=& 0,8\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\\[5pt] \end{array}$
$ h'(t) = 0,8\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t} $
$\blacktriangleright$  Wert angeben und im Sachzusammenhang deuten
Du sollst $h'(4)$ berechnen und im Sachzusammenhang deuten. Setze also $t=4$ in $h'(t)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} h'(4)&=& 0,8\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 4} \\[5pt] &=& 0,8\cdot \mathrm e^{-0,8}\\[5pt] &\approx& 0,36 \end{array}$
Es ist $h'(4) \approx 0,36$.
Da die Funktion $h$ die Höhe des Kirschbaums modelliert und die erste Ableitung einer Funktion immer die momentane Änderungsrate der ursprünglichen Funktion beschreibt, beschreibt $h'$ die Wachstumsgeschwindigkeit des Kirschbaums in Metern pro Jahr.
$4$ Jahre nach dem Einpflanzzeitpunkt beträgt die momentane Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes also ca. $0,36$ Meter pro Jahr.
#kettenregel
3.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen angeben
Bestimme schrittweise die Funktionsgleichungen von $f_2$, $f_3$ und $f_4$, indem du die jeweiligen Graphen mit dem vorherigen Graphen vergleichst. Beachte, dass in jedem Schritt eine der vier Abbildungen angewendet wird. Wendest du diese auf den Graphen einer Funktion $f$ mit dem Funktionsterm $f(t)$ an, ergibt sich der neue Funktionsterm $f^*(t)$ wie folgt:
  • Streckung in $y$-Richtung: $f^*(t) = k\cdot f(t)$ mit $k>1$
  • Verschiebung in $y$-Richtung: $f^*(t)= f(t) + c$ mit $c\in \mathbb{R}$
  • Spiegelung an der $x$-Achse: $ f^*(t)= -f(t)$
  • Spiegelung an der $y$-Achse: $f^*(t)= f(-t)$
1. Schritt: Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_2}$ bestimmen
Vergleiche also (1) und (2) miteinander. Der Graph von $f_2$ ist im Vergleich zum Graphen von $f_1$ an der $y$-Achse gespiegelt. Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} f_2(t)&=& f_1(-t)\\[5pt] &=& \mathrm e^{0,2\cdot (-t)} \\[5pt] &=& \mathrm e^{-0,2\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_3}$ bestimmen
Im nächsten Schritt ist der Graph von $f_3$ im Vergleich zu dem von $f_2$ entlang der $y$-Achse gestreckt. Dies kannst du daran erkennen, dass der Graph schneller fällt.
Also gilt für ein $k> 1$ $f_3(t)= k\cdot f_2(t)$. Um den Wert von $k$ zu berechnen, lies die Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen von $f_3$ ab und setze sie in die Funktionsgleichung ein. Diese kannst du dann nach $k$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} f_3(t)&=& k\cdot f_2(t)\\[5pt] f_3(t)&=& k\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t} &\quad\scriptsize P(0\mid 4) \\[5pt] 4&=&k\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 0} \\[5pt] 4&=&k\cdot 1 \\[5pt] 4&=& k \end{array}$
$ k= 4 $
Also lautet die Funktionsgleichung:
$f_3(t)= 4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}$.
3. Schritt: Funktionsgleichung von $\boldsymbol{f_4}$ bestimmen
Im nächsten Schritt wird der Graph von $f_3$ an der $x$-Achse gespiegelt. Die Funktionsgleichung von $f_4$ ergibt sich also wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_4(t)&=& -f_3(t) \\[5pt] &=& - 4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t} \end{array}$
Insgesamt gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} f_2(t)&=&\mathrm e^{-0,2\cdot t} \\[5pt] f_3(t)&=& 4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\\[5pt] f_4(t)&=& - 4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t} \end{array}$
4.1
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $t$-Achse im Intervall $[0; 7]$. Verwende zur Berechnung ein Integral über $h$ in den Grenzen $a=0$ und $b =7$.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{7}h(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{7}\left(6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \left[6t - 4\cdot \frac{1}{-0,2} \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\right]_0^7 \\[5pt] &=& \left[6t + 20 \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\right]_0^7\\[5pt] &=& 6\cdot 7 + 20 \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 7}- \left(6\cdot 0 + 20 \cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 0} \right)\\[5pt] &=& 42 + 20\cdot \mathrm e^{- 1,4} - 20\cdot 1 \\[5pt] &=& 22 + 20\cdot \mathrm e^{- 1,4}\\[5pt] &\approx& 26,93 \\[5pt] \end{array}$
$ A \approx 26,93 $
Der Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $t$-Achse im Intervall $[0; 7]$ beträgt ca. $26,93$ Flächeneinheiten.
#integral
4.2
$\blacktriangleright$  Flächen in das Koordinatensystem einzeichnen
Beginne mit der Fläche aus Aufgabe 4.1. Diese ist durch den Graphen von $h$ und die $t$-Achse, sowie durch die $x$-Koordinaten $x_1 =0$ und $x_2 =7$ begrenzt. Du erhältst also folgende Abbildung:
A2 - Analysis
Abb. 2: Koordinatensystem (5) mit der Fläche aus Aufgabe 4.1
A2 - Analysis
Abb. 2: Koordinatensystem (5) mit der Fläche aus Aufgabe 4.1
Die zweite Fläche sollst du in Koordinatensystem (3) einzeichnen. Diese ist von dem Graphen von $f_3$ und der Gerade $y = 6$, sowie den $x$-Koordinaten $x_1=0$ und $x_2 = 7$ begrenzt. Ergänze also zunächst die Gerade in der Zeichnung. Insgesamt erhältst du folgende Abbildung:
A2 - Analysis
Abb. 3: Koordinatensystem (3) mit eingezeichneter Fläche
A2 - Analysis
Abb. 3: Koordinatensystem (3) mit eingezeichneter Fläche
$\blacktriangleright$  Integralwert bestimmen
Gesucht ist der Integralwert von
$\displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt.$
Du sollst diesen mit Hilfe der beiden Flächen, die du eben skizziert hast und dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1 bestimmen.
Skizziere die gesuchte Fläche, deren Flächeninhalt durch das Integral beschrieben wird, ebenfalls in das Koordinatensystem. Gesucht ist der Flächeninhalt der hier blaumarkierten Fläche:
A2 - Analysis
Abb. 4: Fläche mit gesuchtem Flächeninhalt (blau)
A2 - Analysis
Abb. 4: Fläche mit gesuchtem Flächeninhalt (blau)
Zusammen ergeben die rote und blaue Fläche ein Rechteck mit den Seitenlängen $a= 6$ und $b = 7$, dessen Flächeninhalt du entsprechend berechnen kannst. Der Flächeninhalt der blauen Fläche ergibt sich dann, indem du den der roten Fläche von dem des Rechtecks subtrahierst. Den Flächeninhalt der roten Fläche kennst du bereits, da dieser laut Aufgabenstellung genau so groß ist, wie der der grünen Fläche, welchen du in Aufgabe 4.1 berechnet hast.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt&=& A_{\text{blau}}\\[5pt] &=& A_{\text{Rechteck}} - A_{\text{rot}}\\[5pt] &=& A_{\text{Rechteck}} - A_{\text{grün}} \\[5pt] &=& A_{\text{Rechteck}} - A_{\text{4.1}} \\[5pt] &\approx& 6\cdot 7 - 26,93 \\[5pt] &=&15,07 \end{array}$
Der Wert des Integrals ist:
$\displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt \approx 15,07.$
$ \displaystyle\int_{0}^{7}f_3(t)\;\mathrm dt \approx 15,07$
4.3
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Berechne den gesuchten Wert. Beachte bei der Berechnung des Integrals, dass $h$ eine Stammfunktion von $h'$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} I&=& \frac{1}{5}\cdot \displaystyle\int_{0}^{5}h'(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \frac{1}{5}\cdot\left[ h(t)\right]_0^5 \\[5pt] &=& \frac{1}{5}\cdot\left[6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot t}\right]_0^5 \\[5pt] &=& \frac{1}{5} \cdot \left(6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 5} - \left(6-4\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot 0}\right) \right)\\[5pt] &=& \frac{1}{5} \cdot \left(6-4\cdot \mathrm e^{-1} - 6+4\cdot1 \right)\\[5pt] &=& \frac{1}{5} \cdot \left(-4\cdot \mathrm e^{-1}+4\right)\\[5pt] &\approx& 0,51\\[5pt] \end{array}$
$ I \approx 0,51 $
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang interpretieren
Der Wert $I$ beschreibt den mittleren Funktionswert von $h'$ im Intervall $[0;5]$. Da $h'$ die erste Ableitungsfunktion von $h$ ist und $h$ die Höhe des Baumes beschreibt, gibt $h'(t)$ die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ Jahre nach dem Einpflanzzeitpunkt an. $I$ beschreibt also die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit des Baumes in den ersten fünf Jahren nach dem Einpflanzen.
In den ersten fünf Jahren nach dem Einpflanzen wächst der Baum im Schnitt $0,51\,\text{m} = 51\,\text{cm}$ pro Jahr.
Bildnachweise [nach oben]
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