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A2 - Analysis

Aufgaben
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Eine Gärtnerei vertreibt ein tunnelförmiges Foliengewächshaus, dessen Bodenfläche $12\,\text{m}$ lang und $7\,\text{m}$ breit ist und dessen Höhe $3\,\text{m}$ beträgt (Material 1).
1.   Ermittle die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion $p$, deren Graph die parabelförmige Berandung der vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschreibt.
$\left[ \text{Zur Kontrolle:}\; p(x)=-\dfrac{12}{49}\cdot x^2 + 3, \;\;\; x\in[-3,5; 3,5] \;\;\;\; (x \;\text{in Metern)}\right]$
(7P)
2.1 Berechne das gesamte Volumen des Gewächshauses unter der Annahme, dass die vordere und hintere Abschlussfläche senkrecht auf der Bodenfläche stehen.
(8P)
2.2 Um eine geeignete Arbeitshöhe für die Gärtner zu bekommen, wird in einer Hälfte des Gewächshauses in 1 Meter Höhe über die gesamte Länge des Gewächshauses ein Zwischenboden eingefügt (Material 2).
Ermittle den Flächeninhalt des Zwischenbodens.
Berechne, um wie viel Prozent der Zwischenboden kleiner ist als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.
(7P)
3.   Mehrere Kunden reklamieren, dass das Gewächshaus im oberen Bereich zu eng gebaut sei. Die Firma möchte mit einer Halbkreis-Form Abhilfe schaffen (Material 3). Die Höhe und die Länge des Gewächshauses sollen beibehalten werden.
3.1 Bestimme den Verbrauch an Folien für die neue Bedachung (ohne Vorder- und Rückseite).
(4P)
3.2 Leite ausgehend von den Informationen in Material 3 die Funktionsgleichung einer Funktion $k$ her, mit deren Graph der Rand der halbkreisförmigen vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschrieben werden kann.
$\left[ \text{Zur Kontrolle:}\; k(x)=\sqrt{9-x^2}\; \text{für}\; -3\leq x\leq 3\right]$
(5P)
3.3 Um im unteren Bereich mehr Breite zu gewinnen, wird der Kreisbogen ab den Punkten $P_1(-2,5\mid k(-2,5))$ und $P_2(2,5\mid k(2,5))$ durch Tangenten ersetzt.
Berechne die neue Breite der Bodenfläche des Gewächshauses.
Hinweis: Du kannst einfache geometrische Beziehungen zwischen Kreisradius und Kreistangente nutzen.
(9P)

Material 1

A2 - Analysis
A2 - Analysis

Material 2

A2 - Analysis
A2 - Analysis

Material 3

Information: Die Gleichung $x^2 +y^2=r^2$ beschreibt einen Kreis mit dem Radius $r$, dessen Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt.
A2 - Analysis
A2 - Analysis
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Tipps
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1. $\blacktriangleright$ Gesuchte parabelförmige Funktionsgleichung ermitteln
Um die gesuchte quadratische Funktionsgleichung zu ermittlen, kannst du zuächst eine beliebige quadratische Funktion $p$ mit der Funktionsgleichung $p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c$ betrachten.
Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Daten kannst du dann die benötigten Parameter bestimmen. Dazu kannst du das Koordinatensystem zwar beliebig legen, es bietet sich aber an, die $x$-Achse als den Boden zu betrachten und anzunehmen, dass die $y$-Achse in der Mitte des Foliengewächshauses als Symmetrieachse der Parabel liegt. Nutze dabei folgenden Maßstab: $1$ Einheit $\mathrel{\widehat{=}}$ $1$ m.
Der höchste Punkt ist dann der Scheitelpunkt und liegt auf der $y$-Achse. Damit wird die Höhe des Gebäudes gerade durch den Funktionswert an der Stelle $x=0$ beschrieben. Die beiden äußeren Punkte der Abschlussfläche berühren den Boden, sind also die Nullstellen der Funktionsgleichung $p$.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Volumen des Foliengewächshauses berechnen
Da die Abschlussflächen senkrecht auf der Bodenfläche stehen, berechnest du das gesamte Volumen des Gewächshauses durch Multiplikation des Flächeninhalts der Vorderfläche mit der Länge des Gewächshauses. Die Länge von $12 \text{ m}$ ist in der Aufgabenstellung gegeben, also kannst du direkt den Inhalt der Vorderfläche berechnen. Dieser entspricht der Fläche, die der Graph von $p$ mit der $x$-Achse einschließt.
Berechne also das Integral der ermittelten Parabelfunktion $p$ im Intervall $[-3,5  3,5]$. Nutze dazu den Hauptsatz der Integralrechnung.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung ermitteln
Berechne zunächst den geforderten Flächeninhalt des Zwischenbodens. Anschließend berechnest du den Flächeninhalt der gesamten Bodenfläche und kannst anhand dieser beiden Werte die prozentuale Abweichung ermitteln. Nutze dabei zur besseren Vorstellung die Skizze in Material 2.
Dabei ergibt sich die Breite des Zwischenbodens, wie in Material 2 zu erkennen ist, als Betrag der Schnittstelle der Gerade $y=1$ mit der Parabel.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Folienverbrauch berechnen
Um den Folienverbrauch für die neue Bedachung zu berechnen, berechnest du den Flächeninhalt des neuen, halbkreisförmigen Daches. Dazu benötigst du den Umfang des Halbkreises und die Länge des Gewächshauses.
Die Länge ist gleichgeblieben, also $12 \text{ m}$. Den Umfang des Halbkreises erhälst du über die entsprechende Kreisformel, in die du den Radius einsetzt. Den Radius $r=3$ kannst du aus der Skizze in Material 3 ablesen oder aus der Tatsache, dass die Höhe gleichgeblieben ist, folgern.
3.2 $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung $k(x)$ herleiten
Hier ist eine Darstellung der Form $y= k(x)$ in Abhängigkeit von $x$ gesucht.
Die Information in Material 3 liefert dir:
$x^2 + y^2 = r^2$ beschreibt einen Kreis mit Radius $r$ mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt.
Fasse die halbkreisförmige Abschlussfläche als die obere Kreishälfte des angegebenen Kreises in Material 3 auf.
Setze also den Radius ein und forme nach $y$ um.
3.3 $\blacktriangleright$ Neue Breite der Bodenfläche ermitteln
Zum besseren Verständnis kannst du dir eine Skizze anfertigen:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Nutze die Achsensymmetrie bezüglich der $y$-Achse des Kreisbogens aus. D.h. die halbe Breite ist der Betrag der Nullstelle der eingezeichneten Tangente $f$, was du auch anhand der Skizze erkennst. Also musst du die Funktionsgleichung $f(x)= m_x \cdot x + c$ der Tangenten $f$ ermitteln.
Dazu benötigst du die Steigung $m_x$ und einen Punkt auf der Tangenten.
Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Berechne zunächst den Funktionswert von $k$ an der Stelle $x=2,5$, um damit die Steigung des Kreisradius in $P\left(2,5 \mid k(2,5) \right)$ zu ermitteln.
  2. Anhand der Skizze und mit Hilfe des Hinweises erkennst du, dass der Radius senkrecht zur Tangenten $f$ an der Stelle $x=2,5$ ist, also erhältst du die Steigung $m_x$ der gesuchten Tangente $f$ als den negativen Kehrwert der Steigung des Kreisradius.
  3. Den $y$-Achsenabschnitt $c$ der Tangente $f$ erhältst du durch Einsetzen des Punktes $P$ in die Funktionsgleichung von $f$.
Nun setzt du die Funktionsgleichung der Tangente $f$ gleich Null, um die Schnittstelle mit der $x$-Achse zu erhalten.
Da der Betrag der gefundenen Nullstelle die halbe Breite angibt, musst du diesen noch mit $2$ multiplizieren, um die ganze Breite zu erhalten.
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1. $\blacktriangleright$ Gesuchte parabelförmige Funktionsgleichung ermitteln
Um die gesuchte quadratische Funktionsgleichung zu ermittlen, kannst du zuächst eine beliebige quadratische Funktion $p$ mit der Funktionsgleichung $p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c$ betrachten.
Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Daten kannst du dann die benötigten Parameter bestimmen. Dazu kannst du das Koordinatensystem zwar beliebig legen, es bietet sich aber an, die $x$-Achse als den Boden zu betrachten und anzunehmen, dass die $y$-Achse in der Mitte des Foliengewächshauses als Symmetrieachse der Parabel liegt. Nutze dabei folgenden Maßstab: $1$ Einheit $\mathrel{\widehat{=}}$ $1$ m.
Der höchste Punkt ist dann der Scheitelpunkt und liegt auf der $y$-Achse. Damit wird die Höhe des Gebäudes gerade durch den Funktionswert an der Stelle $x=0$ beschrieben. Die beiden äußeren Punkte der Abschlussfläche berühren den Boden, sind also die Nullstellen der Funktionsgleichung $p$.
Es ergeben sich folgende drei Gleichungen für die gesuchte Funktionsgleichung von $p$:
$\begin{array}{rll} p(-3,5)=&0 \\[5pt] p(-3,5)=&0 \\[5pt] p(0)=&3 \end{array}$
Berechne die gesuchten Parameter nun mit einem linearen Gleichungssystem.
1. Schritt: Gesuchte Paramter der Funktionsgleichung bestimmen
Die aufgestellten Gleichungen liefern dir:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&p(-3,5)=& \left(-\dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot a- \dfrac{7}{2} \cdot b + c &\stackrel{!}=0 \\[5pt] Ⅱ& p(-3,5)=& \left(\dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot a + \dfrac{7}{2} \cdot b + c &\stackrel{!}=0 \\[5pt] Ⅲ& p(0)=&0^2 \cdot a + 0 \cdot b + c &\stackrel{!}=3 \end{array}$
Ⅲ liefert dir direkt $c=3$. Addierst du nun Ⅰ und Ⅱ erhältst du:
$\begin{array}{lrll} Ⅰ + Ⅱ & \left(-\dfrac{7}{2}\right)^2 \cdot a - \dfrac{7}{2} \cdot b + c + \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 \cdot a + \dfrac{7}{2} \cdot b + c &\stackrel{!}=0+0 \\[5pt] &2 \cdot \left(-\dfrac{7}{2}\right)^2 \cdot a + 2 \cdot c &=0 &\scriptsize \mid \ - 2 \cdot c \\[5pt] &2 \cdot \left(-\dfrac{7}{2}\right)^2 \cdot a &=- 2 \cdot c &\scriptsize \mid \ : 2; \cdot \left(-\dfrac{2}{7}\right)^2 \\[5pt] &a &=-\dfrac{4}{49} \cdot c &\scriptsize \mid \ c=3 \text{ einsetzen} \\[5pt] &a &=-\dfrac{12}{49} \\[5pt] &&\approx -0,245 \end{array}$
Der Parameter $b$ ergibt sich durch Einsetzen von $a=-\dfrac{12}{49}$ und $c=3$, z.B. in die Gleichung Ⅰ.
$\begin{array}{lrll} Ⅰ& \left(-\dfrac{7}{2}\right)^2 \cdot a- \dfrac{7}{2} \cdot b + c &\stackrel{!}=0 &\scriptsize \mid \ \, a \text{ und } c\text{ einsetzen} \\[5pt] & \left(-\dfrac{7}{2}\right)^2 \cdot \left(-\dfrac{12}{49}\right)- \dfrac{7}{2} \cdot b + 3 &=0 &\scriptsize \\[5pt] &-3 - \dfrac{7}{2}\cdot b +3 &=0 \\[5pt] &- \dfrac{7}{2} \cdot b &=0 &\scriptsize \mid \ \cdot (- \dfrac{2}{7}) \\[5pt] &b &=0 \end{array}$
2. Schritt: Funktionsgleichung von $p$ aufstellen
Nun hast du alle gesuchten Parameter berechnet und kannst die Funktionsgleichung von $p$ aufstellen:
$p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c=-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3$.
Also lautet die Funktionsgleichung $p(x)=-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3$, wobei $x$ nach unseren Annahmen in $[-3,5  3,5]$ liegt und in Metern angegeben ist.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Volumen des Foliengewächshauses berechnen
Da die Abschlussflächen senkrecht auf der Bodenfläche stehen, berechnest du das gesamte Volumen des Gewächshauses durch Multiplikation des Flächeninhalts der Vorderfläche mit der Länge des Gewächshauses. Die Länge von $12 \text{ m}$ ist in der Aufgabenstellung gegeben, also kannst du direkt den Inhalt der Vorderfläche berechnen. Dieser entspricht der Fläche, die der Graph von $p$ mit der $x$-Achse einschließt.
Berechne also das Integral der ermittelten Parabelfunktion $p$ im Intervall $[-3,5  3,5]$. Nutze dazu den Hauptsatz der Integralrechnung.
1. Schritt: Parabelfläche berechnen
Für das gesuchte Integral ergibt sich:
$\begin{array}{rll} \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} p(x)\; \mathrm dx=& \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} \left(-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3 \right) \mathrm dx \\[5pt] =& \left[-\dfrac{4}{49} \cdot x^3 +3 \cdot x \right]_{-3,5}^{3,5} \\[5pt] =& -\dfrac{4}{49} \cdot (3,5)^3 +3 \cdot (3,5) - \left( -\dfrac{4}{49} \cdot (-3,5)^3 +3 \cdot (-3,5) \right) \\[5pt] =& -\dfrac{8}{49} \cdot (3,5)^3 +6 \cdot (3,5) \\[5pt] =& 14 \end{array}$
Damit beträgt die parabelförmige Abschlussfläche $14 \text{ m}^2$.
2. Schritt: Gesamtes Volumen berechnen
Das gesamte Volumen ergibt sich nun als Produkt aus der Parabelfläche und der Länge des Foliengewächshauses. Beachte hierbei, dass du die Parabelfläche in $\text{ m}^2$ berechnet hast.
$\begin{array}{rll} V_{\text{gesamt}}=& 12 \text{ m} \cdot \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} p(x)\, \mathrm dx \text{ m}^2 \\[5pt] =& 12 \text{ m} \cdot 14 \text{ m}^2 \\[5pt] =& 168 \text{ m}^3 \end{array}$
Das gesamte Volumen beträgt $168 \text{ m}^3$.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung ermitteln
Berechne zunächst den geforderten Flächeninhalt des Zwischenbodens. Anschließend berechnest du den Flächeninhalt der gesamten Bodenfläche und kannst anhand dieser beiden Werte die prozentuale Abweichung ermitteln. Nutze dabei zur besseren Vorstellung die Skizze in Material 2.
Dabei ergibt sich die Breite des Zwischenbodens, wie in Material 2 zu erkennen ist, als Betrag der Schnittstelle der Gerade $y=1$ mit der Parabel.
1. Schritt: Flächeninhalt des Zwischenbodens berechnen
Die Fläche des Zwischenbodens hat die Form eines Rechtecks. Also benötigst du die Breite und die Länge.
Die Breite erhälst du wie oben beschrieben, indem du den Betrag der Schnittstelle der Gerade $y=1$ mit der Parabel ermittelst:
$\begin{array}{rll} p(x) \stackrel{!}=& 1 \\[5pt] -\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3 &= 1 &\scriptsize \mid \ -1 \\[5pt] -\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +2 &= 0 &\scriptsize \mid \ \cdot \left( -\dfrac{49}{12}\right) \\[5pt] x^2 -\dfrac{49}{6} &= 0 &\scriptsize \mid \ \text{pq-Formel} \\[5pt] x_{1,2} &= \pm \sqrt{\dfrac{49}{6}} \\[5pt] x_{1,2} &= \pm \dfrac{7}{\sqrt{6}} \end{array}$
Da der Zwischenboden in der Skizze in der rechten Hälfte liegt, ist $x_1 = \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ unsere gesuchte $x$-Koordinate. Die Breite erhältst du nun durch
$\dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} - 0 \text{ m} = \dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} \approx 2,86 \text{ m}$.
Da die Länge des Foliengewächshauses und damit auch des Zwischenbodens in der Aufgabenstellung mit $12 \text{ m}$ angegeben ist, folgt für den Flächeninhalt des Zwischenbodens:
$A_{\text{Zwischenboden}} = \dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} \cdot 12 \text{ m} = \dfrac{7 \cdot 2 \cdot 6}{\sqrt{6}} \text{ m}^2 = 14 \cdot \sqrt{6} \text{ m}^2 \approx 34,3 \text{ m}^2$
2. Schritt: Flächeninhalt der Bodenfläche der Gewächshaushälfte berechnen
Du hast sowohl die Länge $12 \text{ m}$ als auch die Breite $3,5 \text{ m}$ der Bodenfläche gegeben.
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt:
$A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}=12 \text{ m} \cdot 3,5 \text{ m} = 42 \text{ m}^2$
3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen
Setze zunächst $A_{\text{Zwischenboden}}$ in Verhältnis zu $A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}$:
$\dfrac{A_{\text{Zwischenboden}}}{A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}} = \dfrac{34,3 \text{ m}^2}{42 \text{ m}^2} \approx 0,82$
Somit weißt du nun, dass der Zwischenbodenflächeninhalt nur ca. $82 \text{ %}$ der Hälfte der Bodenfläche misst. Also ist der Zwischenboden etwa $100\text{ %} - 82\text{ %} = 18 \text{ %}$ kleiner als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Folienverbrauch berechnen
Um den Folienverbrauch für die neue Bedachung zu berechnen, berechnest du den Flächeninhalt des neuen, halbkreisförmigen Daches. Dazu benötigst du den Umfang des Halbkreises und die Länge des Gewächshauses.
Die Länge ist gleichgeblieben, also $12 \text{ m}$. Den Umfang des Halbkreises erhälst du über die entsprechende Kreisformel, in die du den Radius einsetzt. Den Radius $r=3$ kannst du aus der Skizze in Material 3 ablesen oder aus der Tatsache, dass die Höhe gleichgeblieben ist, folgern.
$\begin{array}{rll} u_{\text{Halbkreis}}=& \frac{1}{2} u_{\text{Kreis}} &\scriptsize \mid \ u_{\text{Kreis}} = 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] =& \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r &\scriptsize \mid \ r=3 \text{ einsetzen} \\[5pt] =& 3 \cdot \pi \\[5pt] \approx & 9,42 \end{array}$
Damit beträgt der Halbkreisumfang ca. $9,42 \text{ m}$.
Der Verbrauch an Folie für die neue Bedachung beträgt also $12 \text{ m} \cdot 3 \pi \text{ m} \approx 113 \text{ m}^2$.
3.2 $\blacktriangleright$ Funktionsgleichung $k(x)$ herleiten
Hier ist eine Darstellung der Form $y= k(x)$ in Abhängigkeit von $x$ gesucht.
Die Information in Material 3 liefert dir:
$x^2 + y^2 = r^2$ beschreibt einen Kreis mit Radius $r$ mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt.
Fasse die halbkreisförmige Abschlussfläche als die obere Kreishälfte des angegebenen Kreises in Material 3 auf.
Setze also den Radius ein und forme nach $y$ um:
$\begin{array}{rll} x^2 + y^2 =& r^2 &\scriptsize \mid \ -x^2 \\[5pt] y^2 =& r^2 -x^2 &\scriptsize \mid \ \sqrt{\,} \\[5pt] \left|y\right| = &\sqrt{r^2 -x^2} &\scriptsize \mid \ r=3 \text{ einsetzen} \\[5pt] \left|y\right| =& \sqrt{3^2 -x^2} &\scriptsize \mid \text{ Setze } k(x) := y \\[5pt] y = &\sqrt{9 -x^2} =: k(x) \end{array}$
Damit hast du die gesuchte Funktionsgleichung von $k$ hergeleitet, also $k(x) = \sqrt{9 -x^2}$.
3.3 $\blacktriangleright$ Neue Breite der Bodenfläche ermitteln
Zum besseren Verständnis kannst du dir eine Skizze anfertigen:
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Nutze die Achsensymmetrie bezüglich der $y$-Achse des Kreisbogens aus. D.h. die halbe Breite ist der Betrag der Nullstelle der eingezeichneten Tangente $f$, was du auch anhand der Skizze erkennst. Also musst du die Funktionsgleichung $f(x)= m_x \cdot x + c$ der Tangenten $f$ ermitteln.
Dazu benötigst du die Steigung $m_x$ und einen Punkt auf der Tangenten.
Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Berechne zunächst den Funktionswert von $k$ an der Stelle $x=2,5$, um damit die Steigung des Kreisradius in $P\left(2,5 \mid k(2,5) \right)$ zu ermitteln.
  2. Anhand der Skizze und mit Hilfe des Hinweises erkennst du, dass der Radius senkrecht zur Tangenten $f$ an der Stelle $x=2,5$ ist, also erhältst du die Steigung $m_x$ der gesuchten Tangente $f$ als den negativen Kehrwert der Steigung des Kreisradius.
  3. Den $y$-Achsenabschnitt $c$ der Tangente $f$ erhältst du durch Einsetzen des Punktes $P$ in die Funktionsgleichung von $f$.
Nun setzt du die Funktionsgleichung der Tangente $f$ gleich Null, um die Schnittstelle mit der $x$-Achse zu erhalten.
Da der Betrag der gefundenen Nullstelle die halbe Breite angibt, musst du diesen noch mit $2$ multiplizieren, um die ganze Breite zu erhalten.
$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung der Tangente $f$ ermitteln
1. Schritt: Steigung des Kreisradius in $P\left(2,5 \mid k(2,5) \right)$ bestimmen
Berechne zunächst den Funktionswert von $k(x)$ an der Stelle $x=2,5$:
$\begin{array}{rll} k(2,5)=& \sqrt{9 -(2,5)^2} \\[5pt] =& \sqrt{9 -\left(\dfrac{5}{2}\right)^2} \\[5pt] =& \sqrt{\dfrac{36}{4} - \dfrac{25}{4}} \\[5pt] =& \sqrt{\dfrac{11}{4}} \\[5pt] =& \dfrac{\sqrt{11}}{2} \\[5pt] \approx & 1,66 \end{array}$
Damit kennst die Steigung des Kreisradius in $P\left(2,5 \mid \dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$:
$\dfrac{\left(\frac{\sqrt{11}}{2}\right)}{2,5}=\dfrac{\sqrt{11}}{5}$
2. Schritt: Steigung $m_x$ der Tangente $f$ bestimmen
Wie oben beschrieben, erhältst du die Steigung der Tangenten $f$ als negativen Kehrwert der Steigung des Kreisradius: $m_x=-\dfrac{5}{\sqrt{11}} \approx -1,51$
3. Schritt: $y$-Achsenabschnitt $c$ der Tangente $f$ bestimmen
Setze $P\left(2,5 \mid \dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$ in die Funktionsgleichung von $f$ ein und forme nach $c$ um:
$\begin{array}{rll} f(2,5) \stackrel{!}= &\dfrac{\sqrt{11}}{2} &\scriptsize \mid \text{Funktionsgleichung von $f$ einsetzen} \\[5pt] m_x \cdot 2,5 + c =& \dfrac{\sqrt{11}}{2} &\scriptsize \mid \ m_x = -\dfrac{5}{\sqrt{11}} \text{ einsetzen} \\[5pt] -\dfrac{5}{\sqrt{11}} \cdot \dfrac{5}{2} + c =& \dfrac{\sqrt{11}}{2} &\scriptsize \mid \ +\dfrac{25}{2 \cdot \sqrt{11}} \\[5pt] c =& \dfrac{\sqrt{11}}{2} +\dfrac{25}{2 \cdot \sqrt{11}} &\scriptsize \mid \ \text{ Hauptnenner $(2 \cdot \sqrt{11})$ und kürzen} \\[5pt] c =& \dfrac{18}{\sqrt{11}} \\[5pt] c \approx & 5,43 \end{array}$
Nun hast du die Funktionsgleichung der Tangente $f(x) = -\dfrac{5}{\sqrt{11}} \cdot x + \dfrac{18}{\sqrt{11}}$ ermittelt.
$\blacktriangleright$ Äußeren Punkt des Foliengewächshauses bestimmen
Setze die Funktionsgleichung der Tangente $f$ gleich Null, um die Schnittstelle mit der $x$-Achse zu erhalten:
$\begin{array}{rll} f(x) \stackrel{!}= & 0 \\[5pt] -\dfrac{5}{\sqrt{11}} \cdot x + \dfrac{18}{\sqrt{11}} =& 0 &\scriptsize \mid \ - \dfrac{18}{\sqrt{11}} \\[5pt] -\dfrac{5}{\sqrt{11}} \cdot x =& - \dfrac{18}{\sqrt{11}} &\scriptsize \mid \ \cdot \left( -\dfrac{\sqrt{11}}{5} \right) \\[5pt] x =& \left(- \dfrac{18}{\sqrt{11}}\right) \cdot \left( -\dfrac{\sqrt{11}}{5} \right) &\scriptsize \mid \ \text{ kürzen} \\[5pt] x =& \dfrac{18}{5} \\[5pt] x =& 3,6 \end{array}$
Da die Tangente $f$ die $x$-Achse bei $x=3,6$ schneidet, ist der äußere Punkt des Gewächshauses $3,6 \text{ m}$ von der Mitte entfernt.
$\blacktriangleright$ Neue Breite der Bodenfläche berechnen
Für die neue Breite $b$ folgt:
$\begin{array}{rll} b=& 2 \cdot (3,6 \text{ m} - 0 \text{ m}) \\[5pt] =& 7,2 \text{ m} \end{array}$
Damit beträgt die neue Breite der Bodenfläche $7,2 \text{ m}$.
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