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Aufgaben
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1.
$20\,\%$ aller Pkw eines bestimmten Herstellers sind Dieselfahrzeuge. Die Anzahl der Dieselfahrzeuge in einer Stichprobe soll modellhaft als binomialverteilt angenommen werden.
$25$ Pkw des Herstellers werden zufällig ausgewählt, davon sind drei rot.
Die Merkmale „rot“ und „Dieselfahrzeug“ treten unabhängig voneinander auf.
#binomialverteilung
1.1
Bestimme unter Angabe einer geeigneten Zufallsgröße für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
  • $A:$ „Unter den ausgewählten Pkw sind genau acht Dieselfahrzeuge.“
  • $B:$ „Unter den ausgewählten Pkw sind mindestens fünf Dieselfahrzeuge.“
(3 BE)
1.2
Von den $25$ ausgewählten Pkw sind genau fünf Dieselfahrzeuge. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei roten Pkw Dieselfahrzeuge sind.
(3 BE)
1.3
Berechne, wie groß die Anzahl zufällig ausgewählter Pkw des Herstellers mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen mindestens ein Dieselfahrzeug ist, mindestens $95\,\%$ beträgt.
(5 BE)
2.
$80\,\%$ der Dieselfahrzeuge und $90\,\%$ der übrigen Pkw des Herstellers aus Aufgabe 1 haben eine Leistung von mehr als $60\, \text{kW}.$
2.1
Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
(3 BE)
#baumdiagramm
2.2
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Leistung eines zufällig ausgewählten Pkw des Herstellers größer als $60\,\text{kW}$ ist.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem zufällig ausgewählten Pkw des Herstellers mit einer Leistung von mehr als $60\,\text{kW}$ um ein Dieselfahrzeug handelt.
(4 BE)
3.
In einem Werk des Pkw-Herstellers aus Aufgabe 1 produziert eine Maschine Ersatzteile. Durch einen Fehler in der Einstellung produzierte die Maschine einen Ausschussanteil (Anteil an unbrauchbaren Teilen) von mindestens $7\,\%$. Die Maschine wurde daraufhin gewartet und neu eingestellt. Es soll mit Hilfe eines geeigneten Hypothesentests überprüft werden, ob sich der Ausschussanteil der Maschine verringert hat. Dazu werden der Produktion zufällig $100$ Ersatzteile entnommen. Die Anzahl der unbrauchbaren Teile in einer Stichporbe soll modellhaft als binomialverteilt angenommen werden.
Begründe, dass es sich um einen linksseitigen Hypothesentest handelt.
Entwickle einen entsprechenden Test auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ und formuliere eine Entscheidungsregel im Sachzusammenhang.
(6 BE)
#signifikanzniveau#hypothesentest
4.
Betrachtet werden binomialverteilte Zufallsgrößen, die für eine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mit $0\leq p \leq 1$ die Anzahl der Treffer bei $n$ Versuchen angeben. Die Standardabweichung der Zufallsgrößen ist $3$.
#standardabweichung
4.1
Bestimme für eine Zufallsgröße mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $25\,\%$ die zugehörige Anzahl der Versuche.
(3 BE)
4.2
Zeige, dass es keinen Wert für $p$ geben kann, für den die Anzahl der Versuche $9$ ist.
(3 BE)
Binomialsummenfunktion $\boldsymbol{F_{n;p}}(k)= \displaystyle\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i}\cdot p^{i} \cdot (1-p)^{n-i} $ für $\boldsymbol{n =100}$
Binomialsummenfunktion $\boldsymbol{F_{n;p}}(k)=$
$ \displaystyle\sum\limits_{i=0}^k \binom{n}{i}\cdot p^{i} \cdot (1-p)^{n-i} $
für $\boldsymbol{n =100}$
$p=$$0,05$$0,06$$0,07$$0,08$
$k =$
$0$$0,0059$$0,0021$$0,0007$$0,0002$
$1$$0,0371$$0,0152$$0,0060$$0,0023$
$2$$0,2283$$0,0566$$0,0258$$0,0113$
$3$$0,2578$$0,1430$$ 0,0744$$0,0367$
$4$$0,4360$$ 0,2768$$ 0,1632$$ 0,0903$
$5$$0,6160$$ 0,4407$$ 0,2914$$ 0,1799$
$6$$0,7660$$ 0,6064$$ 0,4443$$ 0,3032$
$7$$0,8720$$ 0,7483$$ 0,5988$$ 0,4471$
$8$$0,9369$$ 0,8537$$ 0,7340$$ 0,5926$
$9$$0,9718$$ 0,9225$$ 0,8380$$ 0,7220$
$10$$0,9885$$ 0,9624$$ 0,9092$$ 0,8243$
$11$$0,9957$$ 0,9832$$ 0,9531$$ 0,8972$
$12$$0,9985$$ 0,9931$$ 0,9776$$ 0,9441$
$13$$0,9995$$ 0,9974$$ 0,9901$$ 0,9718$
$14$$0,9999$$ 0,9991$$ 0,9959$$ 0,9867$
$15$$1,0000$$ 0,9997$$ 0,9984$$ 0,9942$
$16$$1,0000$$ 0,9999$$ 0,9994$$ 0,9976$
$17$$1,0000$$ 1,0000 $$0,9998$$ 0,9991$
$18$$1,0000$$ 1,0000$$ 0,9999$$ 0,9997$
$19$$1,0000$$ 1,0000$$ 1,0000$$ 0,9999$
$20$$1,0000$$ 1,0000$$ 1,0000$$ 1,0000$
Die Werte $1,0000$ und $0,0000$ bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet $1,0000$ bzw. $0,0000$.
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit der Ereignisse berechnen
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen, die jeweils die Anzahl der Dieselfahrzeuge unter $25$ zufällig ausgewählten Fahrzeugen des Herstellers betreffen.
Führe also zunächst eine geeignete Zufallsgröße ein. Dem Einführungstext der Aufgabe kannst du entnehmen, dass diese Anzahl als binomialverteilt angenommen werden kann. Für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt folgende Formel:
$P(X =k ) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X =k ) = $
$\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P$ dafür, dass die drei roten Pkw Dieselfahrzeuge sind. Angegeben ist, dass genau fünf der $25$ ausgewählten Fahrzeuge Dieselfahrzeuge sind. Du ziehst aus den $25$ Fahrzeugen also drei heraus, von denen du weißt, dass sie rot sind.
Es handelt sich hierbei um ein Ziehen ohne Zurücklegen.
1.3
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl berechnen
Gesucht ist die Anzahl der Pkw, die zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein Dieselfahrzeug darunter ist.
Stelle hierfür eine Gleichung auf, indem du das Gegenereignis und die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße verwendest.
Verwende die Zufallsgröße $X_n$, die die Anzahl der Dieselfahrzeuge unter $n$ zufällig ausgewählten Fahrzeugen beschreibt. Diese ist dann binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,2$.
2.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
Du sollst den Sachverhalt in einem Baumdiagramm darstellen. Dieses muss aus zwei Ebenen bestehen. Die erste unterscheidet zwischen Dieselfahrzeugen und Fahrzeugen, die keine Dieselfahrzeuge sind:
$D:$ „Ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug ist ein Dieselfahrzeug.“
In der zweiten Ebene wird dann unterschieden, ob das Fahrzeug mehr als $60\,\text{kW}$ Leistung hat:
$G:$ „Ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug hat mehr als $60\,\text{kW}$ Leistung. “
Ergänze die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. >
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine höhere Leistung berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Pkw eine Leistung von mehr als $60\,\text{kW}$ hat. Hierfür kannst du das Baumdiagramm aus dem vorherigen Aufgabenteil verwenden. Verwende dafür die Pfadmultiplikations- und die Pfadadditionsregel.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für ein Dieselfahrzeug berechnen
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug des Herstellers mit einer Leistung von mehr als $60\,\text{kW}$ ein Dieselfahrzeug ist, also $P_G(D)$.
Hierfür kannst du den Satz von Bayes verwenden:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
3.
$\blacktriangleright$  Art des Hypothesentests begründen
Mit dem Hypothesentest soll überprüft werden, ob sich der Ausschussanteil der Maschine verringert hat. Es soll also die Vermutung $p< 0,07$ bestätigt werden. Eine Bestätigung kann nur dann eintreten, wenn die Nullhypothese widerlegt wird. Also muss dies die Gegenhypothese sein.
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln
Du sollst einen linksseitigen Hypothesentest entwickeln, um die Verbesserung der Ausschussrate der Maschine zu überprüfen. Gesucht ist also die Anzahl der Ausschussteile, die höchstens gefunden werden darf, damit die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird. Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Führe eine geeignete Zufallsgröße $Y$ ein, die die Anzahl der Ersatzteile in der Stichprobe beschreibt, die Ausschuss sind. Diese kannst du laut Aufgabenstellung als binomialverteilt annehmen.
  2. Stelle eine Gleichung in Abhängigkeit der Anzahl $k$ der Ausschussteile mit Hilfe des Signifikanzniveaus auf. Beachte dabei, dass das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Löse die Gleichung.
  3. Formuliere eine Entscheidungsregel.
4.1
$\blacktriangleright$  Anzahl der Versuche bestimmen
Betrachtet werden binomialverteilte Zufallsgrößen mit $0 \leq p \leq 1$. Außerdem ist dir gegeben, dass die Standardabweichung $\sigma =3$ ist.
Nun sollst du für eine solche Zufallsgröße mit $p = 0,25$ die Anzahl $n$ der Versuche bestimmen. Verwende dafür die Formel für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße:
$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$
4.2
$\blacktriangleright$  Behauptung zeigen
Nun ist dir die Anzahl der Versuche vorgegeben und du sollst zeigen, dass es für diese keinen Wert von $p$ geben kann, sodass die Standardabweichung der binomialverteilten Zufallsgröße $3$ ist.
Setze also die Informationen wie oben in die Formel für die Standardabweichung ein und zeige, dass diese Gleichung nicht lösbar ist.
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit der Ereignisse berechnen
Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen, die jeweils die Anzahl der Dieselfahrzeuge unter $25$ zufällig ausgewählten Fahrzeugen des Herstellers betreffen.
Führe also zunächst eine geeignete Zufallsgröße ein. Dem Einführungstext der Aufgabe kannst du entnehmen, dass diese Anzahl als binomialverteilt angenommen werden kann. Für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n$ und $p$ gilt folgende Formel:
$P(X =k ) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X =k ) = $
$\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
1. Schritt: Zufallsgröße definieren
Definiere die Zufallsgröße $X$, die die zufällige Anzahl der Dieselfahrzeuge unter $25$ ausgewählten Fahrzeugen beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n = 25$ und $p = 0,2$.
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau $8$ Dieselfahrzeuge, also $P(X =8)$. Setze also alle Informationen in die obige Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=8)&=& \binom{25}{8}\cdot 0,2^8 \cdot (1-0,2)^{25-8} \\[5pt] &=& \binom{25}{8}\cdot 0,2^8 \cdot 0,8^{17} \\[5pt] &\approx & 0,0623 \\[5pt] &=& 6,23\,\% \end{array}$
$ P(X=8) \approx 6,23\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $6,23\,\%$ befinden sich unter den ausgewählten Fahrzeugen genau acht Dieselfahrzeuge.
3. Schritt: Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens $5$ Dieselfahrzeuge, also $P(X \geq 5)$. Diese Wahrscheinlichkeit kannst du mit Hilfe des Gegenereignisses umformen. Wende anschließend wieder die Formel von oben an:
$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 5)&=& 1- P(X \leq 4)\\[5pt] &=& 1 - \left( P(X = 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) + P(X = 4)\right)\\[5pt] &=& 1 - P(X = 0) - P(X= 1) - P(X= 2) - P(X= 3) - P(X = 4) \\[5pt] &=& 1 - \binom{25}{0}\cdot 0,2^0\cdot 0,8^{25} \\[5pt] && -\binom{25}{1}\cdot 0,2^1\cdot 0,8^{24} \\[5pt] && -\binom{25}{2}\cdot 0,2^2\cdot 0,8^{23} \\[5pt] && - \binom{25}{3}\cdot 0,2^3\cdot 0,8^{22} \\[5pt] &&-\binom{25}{4}\cdot 0,2^4\cdot 0,8^{21} \\[5pt] &\approx& 1- 0,4207 \\[5pt] &=& 0,5793 \\[5pt] &=& 57,93\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(X \geq 5)\approx 57,93\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $57,93\,\%$ befinden sich unter den ausgewählten Pkw mindestens fünf Dieselfahrzeuge.
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit $P$ dafür, dass die drei roten Pkw Dieselfahrzeuge sind. Angegeben ist, dass genau fünf der $25$ ausgewählten Fahrzeuge Dieselfahrzeuge sind. Du ziehst aus den $25$ Fahrzeugen also drei heraus, von denen du weißt, dass sie rot sind.
Es handelt sich hierbei um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich daher wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P&=& \frac{5}{25}\cdot \frac{4}{24}\cdot \frac{3}{23} \\[5pt] &=&\frac{1}{230} \\[5pt] &\approx& 0,0043 \\[5pt] &=& 0,43\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,43\,\%$ handelt es sich bei den drei roten Pkw um Dieselfahrzeuge.
1.3
$\blacktriangleright$  Mindestanzahl berechnen
Gesucht ist die Anzahl der Pkw, die zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein Dieselfahrzeug darunter ist.
Stelle hierfür eine Gleichung auf, indem du das Gegenereignis und die Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße verwendest.
Verwende die Zufallsgröße $X_n$, die die Anzahl der Dieselfahrzeuge unter $n$ zufällig ausgewählten Fahrzeugen beschreibt. Diese ist dann binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,2$.
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&\geq& 95\,\% \\[5pt] 1- P(X =0)&\geq& 0,95 \\[5pt] 1- \binom{n}{0}\cdot 0,2^0 \cdot 0,8^n&\geq& 0,95 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -0,8^n&\geq& -0,05&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] 0,8^n&\leq& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] n\cdot \ln(0,8)&\leq& \ln(0,05) &\quad \scriptsize \mid\; :\ln(0,8)< 0 \\[5pt] n&\geq&\dfrac{ \ln(0,05)}{\ln(0,8)} \\[5pt] &\approx&13,42 \\[5pt] n&\geq& 14 \end{array}$
$ n \geq 14 $
Es müssen mindestens $14$ Pkw ausgewählt werden, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein Dieselfahrzeug darunter befindet.
2.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm erstellen
Du sollst den Sachverhalt in einem Baumdiagramm darstellen. Dieses muss aus zwei Ebenen bestehen. Die erste unterscheidet zwischen Dieselfahrzeugen und Fahrzeugen, die keine Dieselfahrzeuge sind:
$D:$ „Ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug ist ein Dieselfahrzeug.“
In der zweiten Ebene wird dann unterschieden, ob das Fahrzeug mehr als $60\,\text{kW}$ Leistung hat:
$G:$ „Ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug hat mehr als $60\,\text{kW}$ Leistung. “
Ergänze die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Du erhältst dann folgendes Baumdiagramm:
C - Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
C - Stochastik
Abb. 1: Baumdiagramm
2.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für eine höhere Leistung berechnen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Pkw eine Leistung von mehr als $60\,\text{kW}$ hat. Hierfür kannst du das Baumdiagramm aus dem vorherigen Aufgabenteil verwenden. Verwende dafür die Pfadmultiplikations- und die Pfadadditionsregel.
$\begin{array}[t]{rll} P(G) &=& P(D)\cdot P_D(G)+ P(\overline{D})\cdot P_{\overline{D}}(G) \\[5pt] &=& 0,2\cdot 0,8 + 0,8\cdot 0,9 \\[5pt] &=& 0,88 \\[5pt] &=& 88\,\% \\[5pt] \end{array}$
$ P(G) = 88\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $88\,\%$ hat ein zufällig ausgewähltes Dieselfahrzeug eine Leistung von mehr als $60\,\text{kW}$.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für ein Dieselfahrzeug berechnen
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Fahrzeug des Herstellers mit einer Leistung von mehr als $60\,\text{kW}$ ein Dieselfahrzeug ist, also $P_G(D)$.
Hierfür kannst du den Satz von Bayes verwenden:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Setze also ein:
$\begin{array}[t]{rll} P_G(D)&=& \dfrac{P_D(G)\cdot P(D) }{P(G)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,8\cdot 0,2}{0,88} \\[5pt] &\approx& 0,1818\\[5pt] &=& 18,18\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $18,18\,\%$ handelt es sich bei einem Pkw mit einer höheren Leistung als $60\,\text{kW}$ um ein Dieselfahrzeug.
#satzvonbayes
3.
$\blacktriangleright$  Art des Hypothesentests begründen
Mit dem Hypothesentest soll überprüft werden, ob sich der Ausschussanteil der Maschine verringert hat. Es soll also die Vermutung $p< 0,07$ bestätigt werden. Eine Bestätigung kann nur dann eintreten, wenn die Nullhypothese widerlegt wird. Also muss dies die Gegenhypothese sein. Die Nullhypothese muss daher lauten $H_0: \; p \geq 0,07$ und damit handelt es sich um einen linksseitigen Hypothesentest.
$\blacktriangleright$  Hypothesentest entwickeln
Du sollst einen linksseitigen Hypothesentest entwickeln, um die Verbesserung der Ausschussrate der Maschine zu überprüfen. Gesucht ist also die Anzahl der Ausschussteile, die höchstens gefunden werden darf, damit die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird. Gehe dazu wie folgt vor:
  1. Führe eine geeignete Zufallsgröße $Y$ ein, die die Anzahl der Ersatzteile in der Stichprobe beschreibt, die Ausschuss sind. Diese kannst du laut Aufgabenstellung als binomialverteilt annehmen.
  2. Stelle eine Gleichung in Abhängigkeit der Anzahl $k$ der Ausschussteile mit Hilfe des Signifikanzniveaus auf. Beachte dabei, dass das Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Löse die Gleichung.
  3. Formuliere eine Entscheidungsregel.
1. Schritt: Zufallsgröße einführen
Betrachte die Zufallsgröße $Y$, die die Anzahl der Ersatzteile in der Stichprobe beschreibt, die Ausschuss sind. Nimmt man an, dass diese gemäß der Nullhypothese verteilt ist, kann $Y$ als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern $n =100$ und $p = 0,07$.
2. Schritt: Gleichung aufstellen
Das Signifikanzniveau gibt an, dass die irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $5\,\%$ eintreten soll. Diese irrtümliche Ablehnung, kann nur dann eintreten, wenn signifikant zu wenig Ausschussteile in der Stichprobe auftreten.
Es ergibt sich also folgende Ungleichung in Abhängigkeit von $k$:
$P(Y \leq k) \leq 0,05 $
Mit Hilfe der Tabelle auf deinem Aufgabenblatt kannst du $k$ bestimmen, indem du für $p = 0,07$ das größte $k$ suchst, dass gerade noch so die Ungleichung erfüllt.
$\begin{array}[t]{rll} P(Y\leq k)&\leq& 0,05 \\[5pt] P(Y \leq 2)&\approx& 0,0258\\[5pt] P(Y \leq 2)&\approx& 0,0744 \\[5pt] k &\leq& 2 \end{array}$
Also ist $k=2$.
3. Schritt: Entscheidungsregel formulieren
Wenn höchstens zwei Ausschussteile in der Stichprobe gefunden werden, wird die Nullhypothese $p \geq 0,07$ abgelehnt und die Vermutung, dass sich die Ausschussrate verringert hat wird bestätigt. Man kann dann davon ausgehen, dass die Wartung erfolgreich war. Andernfalls, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt und es kann nicht von einer verringerten Ausschussrate ausgegangen werden.
4.1
$\blacktriangleright$  Anzahl der Versuche bestimmen
Betrachtet werden binomialverteilte Zufallsgrößen mit $0 \leq p \leq 1$. Außerdem ist dir gegeben, dass die Standardabweichung $\sigma =3$ ist.
Nun sollst du für eine solche Zufallsgröße mit $p = 0,25$ die Anzahl $n$ der Versuche bestimmen. Verwende dafür die Formel für die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße:
$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$
$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$
Setze also ein und löse nach $n$.
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] 3&=& \sqrt{n\cdot 0,25\cdot 0,75} \\[5pt] 3&=&\sqrt{n\cdot 0,1875} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 9&=&n\cdot 0,1875 &\quad \scriptsize \mid\; : 0,1875\\[5pt] 48&=& n \end{array}$
$ n = 48$
Zu der angegebenen Zufallsgröße mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von $25\,\%$ und einer Standardabweichung von $3$, ergibt sich für die Anzahl der Versuche $48$.
4.2
$\blacktriangleright$  Behauptung zeigen
Nun ist dir die Anzahl der Versuche vorgegeben und du sollst zeigen, dass es für diese keinen Wert von $p$ geben kann, sodass die Standardabweichung der binomialverteilten Zufallsgröße $3$ ist.
Setze also die Informationen wie oben in die Formel für die Standardabweichung ein und zeige, dass diese Gleichung nicht lösbar ist:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=&\sqrt{9\cdot p\cdot(1-p)} &\quad \scriptsize \mid\; ^2\\[5pt] 9&=&9\cdot p \cdot (1-p) &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt] 1&=&p\cdot(1-p) \\[5pt] 1&=&p-p^2 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 0&=&p-p^2-1 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] 0&=&p^2-p+1 \end{array}$
$ 0 = p^2-p+1 $
Mit der $p$-$q$-Formel erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} p_{1,2}&=& -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}} \\[5pt] \end{array}$
$ p_{1,2}= \dfrac{1}{2}\pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}} $
Da unter der Wurzel etwas negatives steht, existiert keine Lösung der Gleichung. Es gibt also keinen Wert von $p$, für den die Anzahl der Versuche $9$ ist.
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