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Aufgaben
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Ein Goldschmied möchte eine neue Schmuckform in seine Kollektion aufnehmen. Ein Entwurf zeigt die Designvorlage für eine Brosche (Material 1).
Die Trennlinie, die den Kreis in zwei gleich große Teile teilt, kann durch eine Funktion dritten Grades beschrieben werden (Angaben in Zentimetern).
1. Berechnen Sie die Funktion $f$ dritten Grades mithilfe von Material 1. Erläutern Sie Ihren Ansatz.
[zur Kontrolle: $f(x)=\dfrac{2}{9}x^{3}-\dfrac{8}{9}x$]
(9P)
2. Der schraffierte Bereich in Material 1 soll mit einer Schichtdicke von 0,001 cm vergoldet werden. $1\,\text{cm}^3$ der verwendeten Legierung hat eine Masse von 12 g.
Berechnen Sie die für eine Brosche benötigte Masse der Legierung.
(10P)
3. Bei einer zweiten Variante der Brosche wird zusätzlich zu der durch $f$ gegebenen Linie eine zweite Linie angebracht, die durch eine Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot f(x),\;a\geq1$ beschrieben werden kann (Material 2).
3.1 Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht. Nehmen Sie dabei auch Bezug auf die Lage der Nullstellen und Extrempunkte.
(5P)
3.2 Bestimmen Sie den Faktor $a$ so, dass der schraffierte Flächeninhalt $1,6\,\text{cm}^2$ beträgt.
(9P)
3.3 $k$ ist die Kreisfunktion, die den oberen halbkreisförmigen Rand der Brosche im Intervall $[-2;\;2]$ beschreibt.
Erläutern Sie die Zeilen (1) bis (3) im nebenstehenden Kasten und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
$\begin{array}{ll} (1)&k(x)=g(x) \\ &\\ (2)&\text{Lösung: } x_{1}=-2,\; x_{3/4}=-\dfrac{\sqrt{8a\pm2\sqrt{16a^{2}-81}}}{2\sqrt{a}} \\ &\\ (3)&16a^{2}-81\geq0\;\;\Rightarrow\;\;a\geq2,25 \\ \end{array}$
(7P)
Material 1
Hinweis: Die Angabe des Tiefpunktes ($TP$) dient nur zur Orientierung.
Material 2
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Tipps
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1. $\blacktriangleright$Funktionsterm anhand des Graphen $G_f$ bestimmen
In dieser Aufgabe ist die Skizze eines Schmuckstücks gegeben. Du sollst die Funktion bestimmen, durch die die Linie dargestellt wird, die das Schmuckstück in zwei Teile teilt.
Da in der Aufgabenstellung der Funktionstyp gegeben ist, kannst du die allgemeine Form dieses Typen aufstellen.
Graphen verschiedener Funktionstypen
In dieser Aufgabe handelt es sich um eine Funktion dritten Grades. Wie lautet die allgemeine Form dieses Typs?
Die allgemeine Form beinhaltet mehrere Parameter. Diese bestimmst du durch Einsetzen bekannter Punkte in ein lineares Gleichungssystem.
Löst du dieses Gleichungssystem, erhältst du die unbekannten Parameter. Setzt du diese in die allgemeine Form ein, erhältst du die Gleichung der speziellen Funktion.
2. $\blacktriangleright$Masse der Legierung zum Vergolden berechnen
Um die Masse zu berechnen, die für die Vergoldung des Schmuckstücks nötig ist, musst du zuerst die zu vergoldende Fläche berechnen.
Anhand einer Skizze kannst du erkennen, aus welchen Formen sich die Fläche zusammensetzt:
Die lila schraffierte Fläche ist ein Viertel eines Kreises. Aus Material 1 kannst du den Radius ablesen und somit den Flächeninhalt $A_l$ bestimmen.
In grün ist die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse schraffiert.
Um den Inhalt dieser Fläche zu ermitteln, musst du das Integral der Funktion $f$ innerhalb der Grenzen $x_1=0$ und $x_2=2$ berechnen.
Die Summe der beiden Ergebnisse ergibt die gesamte vergoldete Fläche: $A_{ges}=A_l+A_g$
Mit der bestimmten Fläche kannst du das Volumen der Legierung und damit ihre Masse berechnen.
1. Schritt: Lila Kreisfläche $A_l$ bestimmen
Die Fläche eines Vollkreises berechnet man allgemein nach der Formel: $A_K=r^2\cdot\pi$
In diesem Fall gilt für den Radius des Kreises $r=2\,\text{cm}$.
2. Schritt: Grüne Fläche $\boldsymbol{A_g}$ ermitteln
Die grüne Fläche zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse kann man bestimmen, indem man das Integral über der Funktion $f$ innerhalb der Grenzen $x_1=0$ und $x_2=2$ berechnet.
Die Fläche befindet sich unterhalb der $x$-Achse, also wird dein Ergebnis negativ sein, denn die Flächenbilanz ist negativ, wenn sich der Graph unterhalb der Achse befindet und du von links nach rechts integrierst.
Um den positiven Flächeninhalt zu bestimmen, musst du mit dem Betrag der Flächenbilanz rechnen.
$A_g=\left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm dx \right|$
Um $A_g$ zu bestimmen, musst du die Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ ermitteln.
Stammfunktion ermitteln
Bestimme die Stammfunktion $F$ nach folgender Integrationsregel: $f(x)=x^n\,\Rightarrow\,F(x)=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}$
Mit der bestimmten Stammfunktion kannst du nun den Flächeninhalt $A_g$ berechnen.
3. Schritt: Gesamten Flächeninhalt $A_{ges}$ bestimmen
Für die zu vergoldende Fläche gilt
$A_{ges}=A_l+A_g$
4. Schritt: Volumen der Legierung bestimmen
Das Volumen eines Körpers ergibt sich aus der allgemeinen Formel $V=A\cdot h$
5. Schritt: Masse der Legierung berechnen
Nachdem du das Volumen der Legierung berechnet ist, kannst du die Masse bestimmen, die zum Legieren des Schmuckstücks notwendig ist.
3.
3.1 $\blacktriangleright$Beschreiben des Graphen $G_g$
Der Term der Funktion $g$ unterscheidet sich nur durch den zusätzlichen Faktor $a$ von der Funktion $f$.
Multipliziert man also jeden $y$-Wert der alten Funktion $f$ mit diesem Vorfaktor, erhält man den Graph $G_g$.
Stelle dir diese Multiplikation graphisch vor: Wie entsteht $G_g$ aus $G_f$?
Wie verändern sich die $x$-Werte, wenn man die $y$-Werte mit $a$ multipliziert?
3.2 $\blacktriangleright$Faktor $a$ berechnen
Die in Material 2 schraffierte Fläche $A_s$ zwischen den Graphen $G_g$ und $G_f$ soll $1,6\,\text{cm}^2$ betragen. Deine Aufgabe ist es, den Faktor $a$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt diesen Wert annimmt.
Die Fläche zwischen den Graphen berechnest du, in dem du von der Fläche zwischen dem oberen Graph und der $x$-Achse die Fläche zwischen unterer Funktion und $x$-Achse subtrahierst.
Da es sich bei beiden Funktionen um eine gerade Funktion handelt, deren Graphen punktsymmetrisch sind, kannst du auch nur die linke oder rechte Fläche berechnen und diese mit dem Faktor $2$ multiplizieren. Das erspart dir eine weitere Rechnung. Im Ursprung schneiden sich nämlich die beiden Funktionen und es werden obere bzw. untere Funktion vertauscht.
$\begin{array}{rcl} A_s&=&2\cdot\displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)-f(x)\mathrm dx\\ &=&2\cdot\left(\displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)-\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\mathrm dx\right) \\ &=&2\cdot\left(\left[G(x)\right]_{-2}^0-\left[F(x)\right]_{-2}^0\right)\\ \end{array}$
Die Stammfunktion $F$ hast du bereits ermittelt. Wie lautet die Stammfunktion $G$, wenn sich $g$ nur durch einen Faktor unterscheidet? Für die Stammfunktion $G(x)$ gilt: $G(x)=a\cdot F(x)$
Hast du auch die zweite Stammfunktion aufgestellt, kannst du weiterrechnen:
$\begin{array}{rcl} A_s&=&2\cdot\left[G(x)\right]_{-2}^0-\left[F(x)\right]_{-2}^0\\ &=&2\cdot\left[G(0)-G(-2)\right]-\left[F(0)-F(-2)\right]\\ \end{array}$
Da dieser Flächeninhalt den Wert $1,6\,\text{cm}^2$ haben soll, setzt du diesen Wert mit der Gleichung für den Flächeninhalt gleich und stellst diese nach der gesuchten Variable $a$ um.
3.3 $\blacktriangleright$Zeilen (Ⅰ) bis (Ⅲ) erläutern und im Sachzusammenhang deuten
In Zeile (Ⅰ) werden die Funktionsterme der Funktionen $g$ und $k$ gleichgesetzt. Was bedeutet das für die $y$-Werte dieser Funktionen an einem bestimmten $x$-Wert? Schaue dir dazu die Skizze der Graphen an!
In Zeile (Ⅱ) sind die Lösungen der Gleichsetzung angegeben: Welche Besonderheit befindet sich an den Punkten $x_1=-2$ und $x_2=2$? Was bedeutet es wenn die zwei weiteren Lösungen von der Variablen $a$ abhängen?
Vielleicht helfen dir diese Schaubilder weiter:
Für das linke Schaubild gilt $a=1,9$ und für das rechte $a=2,5$.
In Zeile (Ⅲ) wird berechnet, für welche Werte der Radikand, also der Wert unter der „inneren Wurzel“ positiv sind. Dies ist der Fall, wenn für $a$ gilt: $a\geq2,25$.
Was wäre, wenn dieser Radikand negativ ist? Was bedeutet das für die zwei Lösungen, die von $a$ abhängen?
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Lösungen
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1. $\blacktriangleright$Funktionsterm anhand des Graphen $G_f$ bestimmen
In dieser Aufgabe ist die Skizze eines Schmuckstücks gegeben. Du sollst die Funktion bestimmen, durch die die Linie dargestellt wird, die das Schmuckstück in zwei Teile teilt.
Da in der Aufgabenstellung der Funktionstyp gegeben ist, kannst du die allgemeine Form dieses Typen aufstellen.
Graphen verschiedener Funktionstypen
In dieser Aufgabe handelt es sich um eine Funktion dritten Grades, die nicht in Richtung der $y$-Achse verschoben und punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Die allgemeine Form lautet in Abhängigkeit von $a$ und $b$ also:
$f(x)=ax^3 + bx$
Die Parameter $a$ und $b$ der allgemeinen Form der Funktion $f$ bestimmst du durch Einsetzen bekannter Punkte.
Da hier zwei Unbekannte auftauchen, musst du zwei verschiedene Punkte aus dem Koordinatensystem ablesen und in die allgemeine Form einsetzen.
Löst du diese zwei Gleichungen in einem Gleichungssystem, erhältst du die zwei gesuchten Parameter.
1. Schritt: Bekannte Punkte des Graphen bestimmen
In der Skizze ist der Punkt $P\left(1\mid {-\frac{2}{3}}\right)$ gegeben. Außerdem kannst du erkennen, dass die Linie die $x$-Achse im Punkt $x=2$ schneidet. Also liegt auch der Punkt $N_1\left(2\mid 0\right)$ auf dem Graphen.
2. Schritt: $P$ und $N_1$ in die allgemeine Form $f(x)=ax^3+bx$ einsetzen
$\begin{array}{lrcll} (1)&-\dfrac{2}{3}&=&a+b&\scriptsize{\mid\; -b}\\ (2)&0&=&2^3a+2b&\scriptsize{\mid\; -2^3a \quad \mid\, :2}\\\hline \\ (1a)&a&=&-\dfrac{2}{3}-b\\ (2a)&b&=&-4a&\scriptsize{\mid\; \text{Setze $1a$ in $2a$ ein}}\\\hline \\ (2b)&b&=&-4\cdot\left(-\dfrac{2}{3}-b\right)\\ &b&=&\dfrac{8}{3}+4b&\scriptsize{\mid\;-4b}\\ &-3b&=&{\dfrac{8}{3}}&\scriptsize{\mid\; :(-3)}\\ \\ &b&=&{-\dfrac{8}{9}}&\scriptsize{b\,\text{in}\,(1a)}\\\hline \\ (1a)&a&=&-\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{8}{9}\right)\\ &&=&{\dfrac{2}{9}} \\ \end{array}$
Setzt du die bestimmten Parameter $a$ und $b$ in die allgemeine Form von $f$ ein, erhältst du den Funktionsterm, dessen Graph die Linie in der Skizze beschreibt.
$f(x)=\dfrac{2}{9}x^3-\dfrac{8}{9}x$
Die Linie in Material 1 kann also durch die Funktionsgleichung $\,f(x)=\dfrac{2}{9}x^3-\dfrac{8}{9}x\,$ beschrieben werden.
2. $\blacktriangleright$Masse der Legierung zum Vergolden berechnen
Um die Masse zu berechnen, die für die Vergoldung des Schmuckstücks nötig ist, musst du zuerst die zu vergoldende Fläche berechnen.
Anhand einer Skizze kannst du erkennen, aus welchen Formen sich die Fläche zusammensetzt:
Die lila schraffierte Fläche ist ein Viertel eines Kreises. Aus Material 1 kannst du den Radius ablesen und somit den Flächeninhalt $A_l$ bestimmen.
In grün ist die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion $f$ und der $x$-Achse schraffiert.
Um den Inhalt dieser Fläche zu ermitteln, musst du das Integral der Funktion $f$ innerhalb der Grenzen $x_1=0$ und $x_2=2$ berechnen.
Die Summe der beiden Ergebnisse ergibt die gesamte vergoldete Fläche:
$A_{ges}=A_l+A_g$
Mit der bestimmten Fläche kannst du das Volumen der Legierung und damit ihre Masse berechnen.
1. Schritt: Lila Kreisfläche $A_l$ bestimmen
Der Flächeninhalt eines Kreises berechnet sich allgemein über die Formel:
$A_K=r^2\cdot\pi$
In diesem Fall gilt für den Radius des Kreises $r=2\,\text{cm}$.
Für die Fläche des Viertelkreises gilt also:
$\begin{array}{rcl} A_l&=&\dfrac{1}{4}r^2\pi\\ &=&\dfrac{1}{4}(2\,\text{cm})^2\pi\\ &=&3,14\,\text{cm}^2\\ \end{array}$
Der Viertelkreis hat eine Fläche von ca. $3,14\,\text{cm}$.
2. Schritt: Grüne Fläche $\boldsymbol{A_g}$ ermitteln
Die grüne Fläche zwischen dem Graphen $G_f$ und der $x$-Achse kann man bestimmen, indem man das Integral über der Funktion $f$ innerhalb der Grenzen $x_1=0$ und $x_2=2$ berechnet.
Die Fläche befindet sich unterhalb der $x$-Achse, also wird dein Ergebnis negativ sein, denn die Flächenbilanz ist negativ, wenn sich der Graph unterhalb der Achse befindet und du von links nach rechts integrierst.
Um den positiven Flächeninhalt zu bestimmen, musst du mit dem Betrag der Flächenbilanz rechnen.
$\begin{array}{rcl} A_g&=&\left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\mathrm dx \right| \\ &=&\left|\left[F(x)\right]_0^2\right|\\ &=&\left| F(2)-F(0)\right| \\ \end{array}$
Um $A_g$ zu bestimmen, musst du die Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ ermitteln.
Stammfunktion ermitteln
Bestimme die Stammfunktion $F$ nach folgender Integrationsregel:
$f(x)=x^n\,\Rightarrow\,F(x)=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}$
$\begin{array}{rcl} F(x)&=&\dfrac{2}{9\cdot4}\cdot x^4-\dfrac{8}{9\cdot2}\cdot x^2\\ &=&\dfrac{1}{18}\cdot x^4-\dfrac{4}{9}\cdot x^2\\ \end{array}$
Mit dieser Stammfunktion kannst du nun den Flächeninhalt $A_g$ berechnen.
$\begin{array}{rcl} A_g&=&\left| \displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\mathrm dx\right| \\ &=&\left|\left[F(x)\right]_0^2\right| \\ &=&\left| F(2)-F(0)\right|\\ &=&\left|\dfrac{1}{18}\cdot 2^4-\dfrac{4}{9}\cdot 2^2-\left(\dfrac{1}{18}\cdot 0^4-\dfrac{4}{9}\cdot 0^2\right)\right|\\ &=&\left|\dfrac{16}{18}-\dfrac{16}{9}-0\right|\\ &=&\left| -\dfrac{8}{9}\right|\\ &=&\left|-0,89\right|\\ &=&0,89\\ \end{array}$
Der Inhalt der grün schraffierten Fläche beträgt $0,89\,\text{cm}^2$.
3. Schritt: Gesamten Flächeninhalt $A_{ges}$ bestimmen
Für die zu vergoldende Fläche gilt
$\begin{array}{rcl} A_{ges}&=&A_l+A_g \\ &=&3,14\,\text{cm}^2+0,89\,\text{cm}^2 \\ &=&4,03\,\text{cm}^2 \\ \end{array}$
4. Schritt: Volumen der Legierung bestimmen
Das Volumen eines Körpers ergibt sich aus der allgemeinen Formel
$V=A\cdot h$
$A$ bezeichnet dabei den Flächeninhalt und $h$ die Höhe des Körpers. In unserem Fall entspricht die Höhe der Legierungsdicke. Es gilt also $h=0,001\,\text{cm}$.
Daraus ergibt sich das Volumen der Legierung.
$\begin{array}{rcl} V&=&A\cdot h \\ &=&4,03\,\text{cm}^2\cdot 0,001\,\text{cm} \\ &=&4,03\cdot 10^{-3}\,\text{cm}^3 \\ \end{array}$
5. Schritt: Masse der Legierung berechnen
Da nun auch das Volumen der Legierung bekannt ist, kannst du die Masse berechnen, die zum Legieren des Schmuckstücks notwendig ist. Multipliziere dazu die Dichte der Legierung mit dem vorliegenden Volumen:
$m=12\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot 4,03\cdot 10^{-3}\,\text{cm}^3 = 0,04836\,\text{g}$
Das Schmuckstück wiegt also ungefähr $0,04836\,\text{g}$.
3.
3.1 $\blacktriangleright$Beschreiben des Graphen $G_g$
Der Term der Funktion $g$ unterscheidet sich nur durch den zusätzlichen Faktor $a$ vom Term der Funktion $f$. Dieser bewirkt dabei eine Streckung oder Stauchung des Graphen von $f$.
Würde $a$ Werte zwischen $0$ und $1$ annehmen, wäre der Graph in $y$-Richtung gestaucht. Für Werte größer 1 wird der Graph der Funktion $f$ gestreckt. Für negative Werte wird der Graph der Funktion $f$ gespiegelt.
Ein negativer Faktor würde eine Spiegelung des Graphen an der $x$-Achse bedeuten. Da $a$ laut Definition in der Aufgabenstellung aber nur Werte einnehmen kann, die größer oder gleich $1$ entsprechen, wird der Graph $G_f$ lediglich in $y$-Richtung gestreckt.
Da der Funktionsgraph nicht verschoben, sondern nur gestreckt wird, bleiben die Nullstellen an den gleichen Stellen. Auch der $x$-Wert der Extrempunkte bleibt gleich. Lediglich die $y$-Koordinate verschiebt sich in positive bzw. negative $y$-Richtung. Um die neue Koordinate zu bestimmen, muss der alte $y$-Wert mit dem Faktor $a$ multipliziert werden.
3.2 $\blacktriangleright$Faktor $a$ berechnen
Die in Material 2 schraffierte Fläche $A_s$ zwischen den Graphen $G_g$ und $G_f$ soll $1,6\,\text{cm}^2$ betragen. Deine Aufgabe ist es, den Faktor $a$ so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt diesen Wert annimmt.
Die Fläche zwischen den Graphen berechnest du, in dem du von der Fläche zwischen dem oberen Graph und der $x$-Achse die Fläche zwischen unterer Funktion und $x$-Achse subtrahierst.
Da es sich bei beiden Funktionen um Funktionen handelt, deren Graphen punktsymmetrisch sind, kannst du auch nur die linke oder rechte Fläche berechnen und diese mit dem Faktor $2$ multiplizieren. Im Ursprung schneiden sich nämlich die beiden Funktionen und es werden obere bzw. untere Funktion vertauscht.
$\begin{array}{rcl} A_s&=&2\cdot\displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)-f(x)\mathrm dx\\ &=&2\cdot\left(\displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)-\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\mathrm dx\right) \\ &=&2\cdot\left(\left[G(x)\right]_{-2}^0-\left[F(x)\right]_{-2}^0\right)\\ \end{array}$
Für die Stammfunktion $G(x)$ gilt: $G(x)=a\cdot F(x)$
Die Stammfunktion $F$ hast du bereits in Aufgabe $2$ bestimmt:
$F(x)=\dfrac{1}{18}\cdot x^4-\dfrac{4}{9}\cdot x^2$
Daraus ergibt sich für die Stammfunktion $G$: $G(x)=a\cdot\left(\dfrac{1}{18}\cdot x^4-\dfrac{4}{9}\cdot x^2\right)$
Mit diesen zwei Stammfunktionen kannst du nun weiterrechnen
$\begin{array}{rcl} A_s&=&2\cdot\left[G(x)\right]_{-2}^0-\left[F(x)\right]_{-2}^0\\ &=&2\cdot\left[G(0)-G(-2)\right]-\left[F(0)-F(-2)\right]\\ &=&2\cdot\left[a\cdot\left(0-\left(\dfrac{1}{18}\cdot \left(-2\right)^4-\dfrac{4}{9}\cdot (-2)^2\right)\right)-\left(0-\left(\dfrac{1}{18}\cdot (-2)^4-\dfrac{4}{9}\cdot (-2)^2\right)\right)\right]\\ &=&2\cdot\left[a\cdot\left(0-\left(\dfrac{16}{18}-\dfrac{16}{9}\right)\right)-\left(0-\left(\dfrac{16}{18}-\dfrac{16}{9}\right)\right)\right]\\ &=&2\cdot\left[a\cdot\dfrac{16}{18}-\dfrac{16}{18}\right]\\ \end{array}$
Da dieser Flächeninhalt den Wert $1,6\,\text{cm}^2$ haben soll, setzt du diesen Wert mit der Gleichung für den Flächeninhalt gleich und stellst diese nach der gesuchten Variable $a$ um.
$\begin{array}{rcll} 1,6&=&2\cdot\left[a\cdot\dfrac{16}{18}-\dfrac{16}{18}\right] &\scriptsize{\mid\;:2} \\ 0,8&=&\dfrac{16}{18}\left[a-1\right] \mid\;:\dfrac{16}{18}\\ 0,9&=&a-1 \mid\;+1\\ a&=&1,9 \\ \end{array}$
Die Funktion $g$ muss also mit dem Faktor $a=1,9$ in $y$-Richtung gestreckt werden, damit die Fläche zwischen den Graphen $G_f$ und $G_g$ genau $1,6\,\text{cm}^2$ beträgt.
3.3 $\blacktriangleright$Zeilen (Ⅰ) bis (Ⅲ) erläutern und im Sachzusammenhang deuten
In Zeile (Ⅰ) werden die Funktionsterme der Funktionen $g$ und $k$ gleichgesetzt. Dadurch bestimmt man die Schnittstellen der Funktionen $g$ und $k$, also die Stellen, an der sich der obere Halbkreis und der Graph der Funktion $g$ schneiden.
In Zeile (Ⅱ) sind diese Lösungen angegeben: Die Graphen schneiden sich in jedem Fall in ihren gemeinsamen Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=2$. Außerdem schneiden sie sich in den Stellen $x_3$ und $x_4$. Diese Werte hängen jedoch von der Variablen $a$ ab.
An diesen zwei Skizzen kannst du erkennen, dass es vom Faktor $a$ abhängt, ob sich die Graphen zwei- oder viermal schneiden.
Für das linke Schaubild gilt $a=1,9$ und für das rechte $a=2,5$.
In Zeile (Ⅲ) wird berechnet, für welche Werte der Radikand, also der Wert unter der „Wurzel in der Wurzel“ positiv sind.
Dies ist der Fall, wenn für $a$ gilt: $a\geq2,25$.
Ist $a$ also größer oder gleich $2,25$, so berühren bzw. schneiden sich die Graphen $G_g$ und $G_k$ und es gibt neben den Nullstellen zwei weitere Schnittpunkte.
Ist $a$ kleiner als $2,25$, ist der Radikand negativ und es existieren keine zwei weiteren Schnittstellen.
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