1 Analysis

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit Formula: f(x)=x^3+x^2-2x. Die Nullstellen von sind Formula: -2, 0 und Formula: 1.

Die Abbildung zeigt den Graphen von Formula: f.

Koordinatensystem mit grauem Gitter und grüner, geschwungener Kurve; x- und y-Achsen mit Zahlenmarkierungen

1.1

Berechne den Wert des Integrals $Formula: \displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\;\mathrm dx.$ $Formula: \displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\;\mathrm dx.$

3 BE

1.2

Der Graph von Formula: f und die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht.

Beurteile, ob der Wert des Terms $Formula: \displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\;\mathrm dx + \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\;\mathrm dx$ $Formula: \displaystyle\int_{-2}^{0} f(x)\;\mathrm dx + \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\;\mathrm dx$ dem Inhalt dieser Fläche entspricht.

2 BE

2 Analytische Geometrie

Betrachtet wird das Parallelogramm Formula: ABCD mit den Eckpunkten $Formula: A(0 \mid 0 \mid 0),$ $Formula: A(0 \mid 0 \mid 0),$ $Formula: B(4 \mid 3 \mid 0), C$ $Formula: B(4 \mid 3 \mid 0), C$ und $Formula: D ( -6t \mid 8t \mid 0),$ $Formula: D ( -6t \mid 8t \mid 0),$ wobei Formula: t eine positive reelle Zahl ist.

2.1

Zeige, dass das Parallelogramm Formula: ABCD ein Rechteck ist, indem du den rechten Winkel im Punkt nachweist.

2 BE

2.2

Der Flächeninhalt des Rechtecks Formula: ABCD beträgt Formula: 100. Berechne Formula: t.

3 BE

3 Stochastik

Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=20 und Formula: p. Der Erwartungswert von ist ganzzahlig.

Grünes Balkendiagramm P(X=k), Wahrscheinlichkeiten für k=0–12, höchste Säulen bei k=3–4

3.1

Ermittle den Wert von Formula: p.

2 BE

3.2

Gib die natürlichen Zahlen Formula: v und Formula: w an, für die gilt:

$Formula: P(X=v)\approx 0{,}175$ $Formula: P(X=v)\approx 0{,}175$
$Formula: 0{,}15 \lt P(X \leq w) \lt 0{,}25$ $Formula: 0{,}15 \lt P(X \leq w) \lt 0{,}25$

3 BE

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1 Analysis

1.1

$Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\;\mathrm dx &=& \left[\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{-1}^{0} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot 0^4+\dfrac{1}{3} \cdot 0^3- 0^2 - \left( \dfrac{1}{4} \cdot \left(-1\right)^4+\dfrac{1}{3} \cdot \left( -1 \right)^3- \left( -1 \right)^2\right) \\[5pt] &=& 0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{13}{12} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x)\;\mathrm dx &=& \left[\dfrac{1}{4}x^4+\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{-1}^{0} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4} \cdot 0^4+\dfrac{1}{3} \cdot 0^3- 0^2 - \left( \dfrac{1}{4} \cdot \left(-1\right)^4+\dfrac{1}{3} \cdot \left( -1 \right)^3- \left( -1 \right)^2\right) \\[5pt] &=& 0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}-1\right) \\[5pt] &=& \dfrac{13}{12} \end{array}$

1.2

Der angegebene Term entspricht nicht dem Inhalt der eingeschlossenen Fläche.

Im Intervall Formula: [0;2] liegt der Graph von Formula: f oberhalb der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse. Daher beschreibt $Formula: \textstyle \int_{-2}^{0} f(x)\;\mathrm dx$ $Formula: \textstyle \int_{-2}^{0} f(x)\;\mathrm dx$ den Inhalt des linken Flächenstücks.

Im Intervall Formula: [0;1] liegt der Graph von Formula: f jedoch unterhalb der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse. Deshalb ist $Formula: \textstyle \int_{0}^1 f(x)\;\mathrm dx$ $Formula: \textstyle \int_{0}^1 f(x)\;\mathrm dx$ negativ und entspricht nicht dem Flächeninhalt des rechten Flächenstücks, sondern dem negativen Wert davon.

Damit gibt die Summe der beiden Integrale nicht den Flächeninhalt an.

2 Analytische Geometrie

2.1

Bestimmen der Vektoren $Formula: \overrightarrow{AB}$ $Formula: \overrightarrow{AB}$ und $Formula: \overrightarrow{AD}:$ $Formula: \overrightarrow{AD}:$

$Formula: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 0 \end{pmatrix}$

$Formula: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -6t\\ 8t\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6t\\ 8t\\ 0 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} -6t\\ 8t\\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6t\\ 8t\\ 0 \end{pmatrix}$

Berechnung des Skalarprodukts:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &=& \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6t \\ 8t \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 4 \cdot ( -6t ) + 3 \cdot 8t + 0 \cdot 0 \\[5pt] &=& -24t + 24t + 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} &=& \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6t \\ 8t \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 4 \cdot ( -6t ) + 3 \cdot 8t + 0 \cdot 0 \\[5pt] &=& -24t + 24t + 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Da das Skalarprodukt Formula: 0 ist, stehen die Vektoren $Formula: \overrightarrow{AB}$ $Formula: \overrightarrow{AB}$ und $Formula: \overrightarrow{AD}$ $Formula: \overrightarrow{AD}$ senkrecht aufeinander. Somit besitzt das Parallelogramm im Punkt Formula: A einen rechten Winkel und ist ein Rechteck.

2.2

Berechnen der Seitenlängen des Rechtecks:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{AB} \right| &=& \sqrt{4^2+3^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{16+9+0} \\[5pt] &=& \sqrt{25} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{AB} \right| &=& \sqrt{4^2+3^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{16+9+0} \\[5pt] &=& \sqrt{25} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll}\left| \overrightarrow{AD} \right| &=& \sqrt{(-6t)^2+(8t)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{36t^2+64t^2} \\[5pt] &=& \sqrt{100t^2} \\[5pt] &=& 10t \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll}\left| \overrightarrow{AD} \right| &=& \sqrt{(-6t)^2+(8t)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{36t^2+64t^2} \\[5pt] &=& \sqrt{100t^2} \\[5pt] &=& 10t \end{array}$

Da das Rechteck den Flächeninhalt Formula: 100 hat, gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} 5 \cdot 10t &=& 100 \\[5pt] 50t &=& 100 &\quad \mid :50 \\[5pt] t &=& 2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 5 \cdot 10t &=& 100 \\[5pt] 50t &=& 100 &\quad \mid :50 \\[5pt] t &=& 2 \end{array}$

Stochastik

3.1

Für den Erwartungswert $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt: $Formula: \mu = n \cdot p.$ $Formula: \mu = n \cdot p.$

Hier ist Formula: n = 20. Aus der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Erwartungswert ganzzahlig ist und bei $Formula: \mu = 4$ $Formula: \mu = 4$ liegt. Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} 20 \cdot p &=& 4 &\quad \mid : 20 \\[5pt] p &=& 0{,}2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 20 \cdot p &=& 4 &\quad \mid : 20 \\[5pt] p &=& 0{,}2 \end{array}$

Damit beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit $Formula: 20 \, \%.$ $Formula: 20 \, \%.$

3.2

Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Balken zu Formula: x = 5 ungefähr die Höhe Formula: 0{,}175 besitzt. Daher gilt $Formula: P(X = 5) \approx 0{,}175$ $Formula: P(X = 5) \approx 0{,}175$ , also ist Formula: v = 5.

Zur Bestimmung von Formula: w werden die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem geeigneten Wert aufsummiert. Aus der Abbildung ergibt sich näherungsweise:

$Formula: \begin{array}{rcll} P (X \leq 2) &=& P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\[5pt] &\approx& 0{,}01 + 0{,}06 + 0{,}14 \\[5pt] &=& 0{,}21 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P (X \leq 2) &=& P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \\[5pt] &\approx& 0{,}01 + 0{,}06 + 0{,}14 \\[5pt] &=& 0{,}21 \end{array}$

Damit gilt $Formula: 0{,}15 < P(X \leq 2) < 0{,}25,$ $Formula: 0{,}15 < P(X \leq 2) < 0{,}25,$ also ist Formula: w=2.

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