1 Analysis – Pflichtaufgabe

1.1

Gesucht wird eine reelle Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=a \cdot x^3+b \cdot x^2+c \cdot x+d,$ $Formula: f(x)=a \cdot x^3+b \cdot x^2+c \cdot x+d,$ deren Graph den Tiefpunkt $Formula: (0 \mid 0)$ $Formula: (0 \mid 0)$ und den Wendepunkt $Formula: (40 \mid 12,9)$ $Formula: (40 \mid 12,9)$ besitzt.

Ermittle die Werte von Formula: a,b,c und Formula: d.

3 BE

Im Weiteren wird für die reelle Funktion Formula: f die folgende Gleichung verwendet:

$Formula: f(x)=-\frac{1}{10000} x^3+\frac{3}{250} x^2$ $Formula: f(x)=-\frac{1}{10000} x^3+\frac{3}{250} x^2$

1.2

Zeige, dass Formula: 0 und Formula: 120 die Nullstellen von Formula: f sind.

Gib das Verhalten der Funktionswerte von Formula: f für $Formula: x \rightarrow+\infty$ $Formula: x \rightarrow+\infty$ an.

2 BE

1.3

Bestimme den Inhalt der durch den Graphen von Formula: f und die Formula: x -Achse vollständig eingeschlossenen Fläche.

2 BE

1.4

Langfristige forstwissenschaftliche Datenerhebungen ermöglichen es, das ideale Wachstum von Bäumen einer bestimmten Art mathematisch zu modellieren. In einer Region beschreibt eine solche Modellfunktion die Höhe Formula: h eines Baums einer Fichtenart in Metern in Abhängigkeit vom Alter Formula: x (in Jahren). Der Graph einer solchen Modellfunktion ist in der Abbildung dargestellt.

Graph mit Höhe in Metern und Alter in Jahren, ansteigend und abflachend.

1.4.1

Zeichne den Graphen von Formula: f für $Formula: 0 \leq x \leq 125$ $Formula: 0 \leq x \leq 125$ in das Koordinatensystem der Abbildung ein.

Begründe, dass die Funktion Formula: f nur teilweise für die oben beschriebene Modellierung geeignet ist.

4 BE

1.4.2

Bestimme mithilfe des Graphen von Formula: h das durchschnittliche jährliche Wachstum einer Fichte zwischen Formula: 35 und Formula: 100 Jahren.

2 BE

Die Modellfunktion Formula: h, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist, hat die Gleichung $h(x)=40-\left(0,05 \cdot x^2+2 x+40\right) \cdot \mathrm e^{-0,05 \cdot x}$ mit $Formula: x \in \mathbb{R}^{+}.$ $Formula: x \in \mathbb{R}^{+}.$

1.4.3

Es gilt:

	$Formula: h^{\prime \prime}(40)=0$ $Formula: h^{\prime \prime}(40)=0$ und $Formula: h^{\prime\prime\prime}(40) \lt 0$ $Formula: h^{\prime\prime\prime}(40) \lt 0$
	$Formula: \lim _{x \rightarrow+\infty} h(x)=40$ $Formula: \lim _{x \rightarrow+\infty} h(x)=40$

Interpretiere diese Aussagen jeweils im Sachzusammenhang.

3 BE

1.4.4

Für eine Fichte der Region wird im Alter von Formula: 50 Jahren eine tatsächliche Höhe von $Formula: 17,5 \mathrm{~m}$ $Formula: 17,5 \mathrm{~m}$ gemessen.

Berechne die Baumhöhe der Fichtenart im Alter von Formula: 50 Jahren mithilfe der Modellierung sowie die prozentuale Abweichung der tatsächlichen Höhe von der Modellhöhe.

4 BE

1.4.5

Von forstwirtschaftlichem Interesse ist die Zunahme der Höhe in langen Zeiträumen.

Berechne denjenigen Altersbereich mit einer Dauer von Formula: 30 Jahren, in dem diese Fichtenart die größte Höhenzunahme erreicht.

5 BE

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1.1

Für die ersten zwei Ableitungen von Formula: f folgt mit dem CAS:

$Formula: f^{\prime}(x)=3 a \cdot x^2+2 b \cdot x+c$ $Formula: f^{\prime}(x)=3 a \cdot x^2+2 b \cdot x+c$

$Formula: f^{\prime \prime}(x)=6 a \cdot x+2 b$ $Formula: f^{\prime \prime}(x)=6 a \cdot x+2 b$

Der Tiefpunkt bei $Formula: (0 \mid 0)$ $Formula: (0 \mid 0)$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) &=& 0 \\[5pt] 3a \cdot 0^2 +2b \cdot 0 +c &=& 0 \\[5pt] c &=& 0 \\\\[5pt] f(0) &=& 0 \\[5pt] a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 +d &=& 0 \\[5pt] d &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) &=& 0 \\[5pt] 3a \cdot 0^2 +2b \cdot 0 +c &=& 0 \\[5pt] c &=& 0 \\\\[5pt] f(0) &=& 0 \\[5pt] a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 +d &=& 0 \\[5pt] d &=& 0 \end{array}$

Mit Formula: c=0 und Formula: d=0 kann mit Formula: f(40)=12,9 und $Formula: f^{\prime\prime}(40)=0$ $Formula: f^{\prime\prime}(40)=0$ ein lineares Gleichungssystem aufgestellt werden:

$Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&40^3 a + 40^2 b &=& 12,9 \\\text{II}\quad&240a + 2b &=& 0 \\\end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&40^3 a + 40^2 b &=& 12,9 \\\text{II}\quad&240a + 2b &=& 0 \\\end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} a &=& -\dfrac{129}{1280000} \\[5pt] b &=& \dfrac{387}{32000} \\[5pt] c &=& 0 \\[5pt] d &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} a &=& -\dfrac{129}{1280000} \\[5pt] b &=& \dfrac{387}{32000} \\[5pt] c &=& 0 \\[5pt] d &=& 0 \end{array}$

1.2

Nullstellen nachweisen

Auflösen von Formula: f(x)=0 nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& 120 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& 120 \end{array}$

Folglich sind Formula: 0 und Formula: 120 die Nullstellen von Formula: f.

Grenzverhalten angeben

$Formula: \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) = -\infty$ $Formula: \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) = -\infty$

1.3

$Formula: \int_0^{120} f(x) \;\mathrm d x= \int_0^{120} -\dfrac{1}{10000}x^3 + \dfrac{3}{250}x^2 \;\mathrm d x$ $Formula: \int_0^{120} f(x) \;\mathrm d x= \int_0^{120} -\dfrac{1}{10000}x^3 + \dfrac{3}{250}x^2 \;\mathrm d x$

Berechnen mit dem CAS liefert für den gesuchten Flächeninhalt:

$Formula: \int_0^{120} f(x) \;\mathrm d x=1728 \mathrm{~FE}$ $Formula: \int_0^{120} f(x) \;\mathrm d x=1728 \mathrm{~FE}$

1.4

1.4.1

Diagramm mit zwei Kurven zu Höhe in Metern und Alter in Jahren.

Für Werte $Formula: x \lt 60$ $Formula: x \lt 60$ verläuft der Graph von Formula: f in guter Näherung zum Graphen von Formula: h. Bis zu einem Alter von etwa Formula: 60 Jahren ist somit gut für die beschriebene Modellierung geeignet. Für $Formula: x \gt 80$ $Formula: x \gt 80$ ist jedoch monoton fallend, was im Sachkontext keinen Sinn ergibt, da die Fichten nicht stetig kleiner werden und schon gar nicht einen negativen Wert als Höhe erreichen.

1.4.2

Für die Formula: x -Werte Formula: 35 und Formula: 100 lassen sich die folgenden Formula: y -Werte ablesen:

Formula: h(35)=10

Formula: h(100)=35

Damit folgt für das durchschnittliche Wachstum:

$Formula: \dfrac{35-10}{100-35}=\dfrac{5}{13} \approx 0,38$ $Formula: \dfrac{35-10}{100-35}=\dfrac{5}{13} \approx 0,38$

Das durchschnittliche jährliche Wachstum einer Fichte zwischen Formula: 35 und Formula: 100 Jahren beträgt folglich rund $Formula: 38 \mathrm{~cm}.$ $Formula: 38 \mathrm{~cm}.$

1.4.3

	Im Alter von Jahren erreichen die Fichten ihren größten Höhenzuwachs.
	In hohem Alter erreichen diese Fichten eine Höhe von bis zu $Formula: 40 \mathrm{~m}.$ $Formula: 40 \mathrm{~m}.$

1.4.4

Für die Modellhöhe gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} h(50) &=& 40 - \left(0,05 \cdot 50^2+2 \cdot 50 + 40\right) \cdot \mathrm e^{-0,05 \cdot 50} \\[5pt] &\approx& 18,2\mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} h(50) &=& 40 - \left(0,05 \cdot 50^2+2 \cdot 50 + 40\right) \cdot \mathrm e^{-0,05 \cdot 50} \\[5pt] &\approx& 18,2\mathrm{~m} \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \dfrac{17,5}{18,2} \approx 0,96$ $Formula: \dfrac{17,5}{18,2} \approx 0,96$

Die Modellhöhe beträgt ca. $Formula: 18,2 \mathrm{~m}.$ $Formula: 18,2 \mathrm{~m}.$ Folglich weicht die tatsächliche Höhe etwa $Formula: 4\,\%$ $Formula: 4\,\%$ von der Modellhöhe ab.

1.4.5

Die Höhenzunahme in einem Zeitraum von Formula: 30 Jahren wird beschrieben durch Formula: d(x)=h(30+x)-h(x). Auflösen der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: d'(x)=0 nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: x_1 \approx-9,6$ $Formula: x_1 \approx-9,6$

$Formula: x_2 \approx 26,9$ $Formula: x_2 \approx 26,9$

Da ein negatives Alter nicht möglich ist, entfällt Formula: x_1. Für die hinreichende Bedingung folgt dann:

$Formula: d^{\prime \prime}(26,9) \approx-0,018<0$ $Formula: d^{\prime \prime}(26,9) \approx-0,018<0$

Folglich ist bei Formula: x_2 ein Maximum und der Bereich mit dem größten Zuwachs befindet sich im Alter von Formula: 27 bis Formula: 57 Jahren.

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