4 Analysis

Der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f mit Formula: f(x) = x^3 − 3x wird mit Formula: G bezeichnet.

4.1

Weise nach, dass Formula: G einen Hochpunkt mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate Formula: -1 hat.

2 BE

4.2

Formula: G ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Berechne den Abstand zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt von Formula: G.

3 BE

5 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Gleichung der Gerade Formula: g mit $Formula: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\0\end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\7\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\0\end{pmatrix}$ und $Formula: r \in \mathbb{R}.$ $Formula: r \in \mathbb{R}.$

5.1

Begründe, dass Formula: g parallel zur $Formula: xy\text{-}$ $Formula: xy\text{-}$ Ebene ist.

Gib den Abstand von Formula: g zur $Formula: xy\text{-}$ $Formula: xy\text{-}$ Ebene an.

2 BE

5.2

Die Gerade Formula: h mit der Gleichung $Formula: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-7\\7\\14\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\7\end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-7\\7\\14\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\7\end{pmatrix}$ und $Formula: s \in \mathbb{R}$ $Formula: s \in \mathbb{R}$ schneidet die Gerade Formula: g in einem Punkt. Bestimme die Koordinaten dieses Punkts.

3 BE

6 Stochastik

Die Sendungen eines Onlinehändlers werden zu $Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$ mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt. $Formula: 8 \, \%$ $Formula: 8 \, \%$ der Sendungen werden mit dem Versandunternehmen verschickt und verspätet zugestellt.

$Formula: 30 \, \%$ $Formula: 30 \, \%$ der Sendungen, die nicht mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt werden, werden verspätet zugestellt.

Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

Wahrscheinlichkeitsbaum: A (40%) und Ā mit Verzweigungen zu V und V̄; Angaben 8% und 30%.

6.1

Betrachtet werden die im Baumdiagramm mit Formula: x und Formula: y bezeichneten Anteile.

Ermittle den Anteil Formula: x und weise nach, dass $Formula: y = 18 \, \%$ $Formula: y = 18 \, \%$ gilt.

3 BE

6.2

Eine zufällig ausgewählte Sendung des Onlinehändlers wird verspätet zugestellt.

Untersuche, ob die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Sendung nicht mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt wurde, größer als $Formula: 50 \, \%$ $Formula: 50 \, \%$ ist.

2 BE

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4 Analysis

4.1

Bestimmen der ersten und zweiten Ableitung von Formula: f{:}

$Formula: f^{\prime}(x) = 3 \cdot x^2 - 3$ $Formula: f^{\prime}(x) = 3 \cdot x^2 - 3$

$Formula: f^{\prime\prime}(x) = 6x$ $Formula: f^{\prime\prime}(x) = 6x$

Einsetzen von Formula: x= -1 in die erste und zweite Ableitung:

$Formula: f^{\prime}(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0.$ $Formula: f^{\prime}(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0.$

Damit liegt an der Stelle Formula: x = -1 eine mögliche Extremstelle vor.

$Formula: f^{\prime\prime}(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0.$ $Formula: f^{\prime\prime}(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0.$

Da die zweite Ableitung an der Stelle Formula: x=-1 negativ ist, besitzt der Graph von Formula: f dort einen Hochpunkt.

4.2

Berechnung der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Hochpunkts:

$Formula: f(-1) = (-1)^3-3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2$ $Formula: f(-1) = (-1)^3-3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2$

Da Formula: G symmetrisch zum Koordinatenursprung ist, liegt der zugehörige Tiefpunkt Formula: T punktsymmetrisch zu dem Hochpunkt Formula: H bei $Formula: T(1 \mid -2).$ $Formula: T(1 \mid -2).$

Berechnung des Abstandes der beiden Punkte:

$Formula: \begin{array}{rcll} d(H,T) &=& \sqrt{(x_T - x_H)^2 + (y_T - y_H)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2-2)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2^2 + (-4)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4+16} \\[5pt] &=& 2\sqrt{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} d(H,T) &=& \sqrt{(x_T - x_H)^2 + (y_T - y_H)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2-2)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{2^2 + (-4)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4+16} \\[5pt] &=& 2\sqrt{5} \end{array}$

Der Abstand zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt beträgt $Formula: 2\sqrt{5}$ $Formula: 2\sqrt{5}$ Längeneinheiten.

5 Analytische Geometrie

5.1

Da die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Koordinate des Richtungsvektors den Wert Formula: 0 hat, verändert sich die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Koordinate der Punkte auf der Geraden nicht. Die Gerade Formula: g liegt also in einer Ebene parallel zur $Formula: xy\text{-}$ $Formula: xy\text{-}$ Ebene.

Da die $Formula: xy\text{-}$ $Formula: xy\text{-}$ Ebene durch Formula: z = 0 beschrieben wird und alle Punkte der Geraden Formula: g die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Koordinate Formula: 7 besitzen, beträgt der Abstand von zur $Formula: xy\text{-}$ $Formula: xy\text{-}$ Ebene Formula: 7.

5.2

Bestimmen des Schnittpunktes durch Gleichsetzen der Geraden:

$Formula: \left(\begin{array}{c}-4\\2\\7\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}-4\\5\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\7\\14\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\\7\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-4\\2\\7\end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{c}-4\\5\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\7\\14\end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\\7\end{array}\right)$

Daraus ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem:

$Formula: \begin{aligned}-4-4r&=-7+s\\2+5r&=7\\7&=14+7s\end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned}-4-4r&=-7+s\\2+5r&=7\\7&=14+7s\end{aligned}$

Aus der zweiten Gleichung folgt:

$Formula: \begin{aligned}2+5r&=7\\5r&=5\\r&=1\end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned}2+5r&=7\\5r&=5\\r&=1\end{aligned}$

Aus der dritten Gleichung folgt:

$Formula: \begin{aligned}7&=14+7s\\-7&=7s\\s&=-1\end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned}7&=14+7s\\-7&=7s\\s&=-1\end{aligned}$

Da aus der Aufgabenstellung bereits hervorgeht, dass die Geraden Formula: g und Formula: h sich schneiden, erübrigt sich das Überprüfen der Lösungen anhand der ersten Gleichung.

Einsetzen von Formula: r=1 in die Geradengleichung von Formula: g{:}

$Formula: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\7\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\7\\7\end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\7\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-4\\5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\7\\7\end{pmatrix}$

Die Geraden Formula: g und Formula: h schneiden sich in dem Punkt $Formula: S(-8 \mid 7 \mid 7).$ $Formula: S(-8 \mid 7 \mid 7).$

6 Stochastik

6.1

Anteil $Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ ermitteln

$Formula: x=\dfrac{0,08}{0,4}=0,2$ $Formula: x=\dfrac{0,08}{0,4}=0,2$

Anteil $Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$ ermitteln

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(1-0,4) \cdot 0,3 \\[5pt] &=&0,18 \\[5pt] &=&18\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(1-0,4) \cdot 0,3 \\[5pt] &=&0,18 \\[5pt] &=&18\,\% \end{array}$

6.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_V\left(\overline{A}\right)&=&\dfrac{P\left(V\cap \overline{A}\right)}{P(V)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,08+0,18} \\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,26}\gt\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_V\left(\overline{A}\right)&=&\dfrac{P\left(V\cap \overline{A}\right)}{P(V)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,08+0,18} \\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,26}\gt\dfrac{1}{2} \end{array}$

Somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die verspätete Sendung nicht mit dem Versandunternehmen Formula: A verschickt wurde, größer als $Formula: 50\,\%.$ $Formula: 50\,\%.$

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