5 Stochastik – Wahlaufgabe

Eine Playlist besteht aus einer großen Anzahl von Liedern, von denen $Formula: 32 \, \%$ $Formula: 32 \, \%$ Hip-Hop-Songs sind. Von allen Liedern der Playlist haben $Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$ eine Länge von mindestens Minuten.

Ein Lied aus der Playlist wird zufällig ausgewählt. Folgende Ereignisse werden betrachtet:

$Formula: H{:}\;$ $Formula: H{:}\;$	„Das Lied ist ein Hip-Hop-Song.“
$Formula: L{:}\;$ $Formula: L{:}\;$	„Das Lied ist mindestens 4 Minuten lang.“

5.1

Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der abgebildeten Vierfeldertafel.

	$Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$
$Formula: \boldsymbol{L}$ $Formula: \boldsymbol{L}$	$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$	$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$
$Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$
$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$

2 BE

5.2

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Lied mindestens Formula: 4 Minuten lang ist, wenn bekannt ist, dass es ein Hip-Hop-Song ist.

2 BE

5.3

Aus der Playlist werden Formula: 20 Lieder zufällig ausgewählt und nacheinander abgespielt. Die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter den ausgewählten Liedern kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

5.3.1

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als Formula: 5 dieser Lieder Hip-Hop-Songs sind.

2 BE

5.3.2

Beschreibe die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang:

$Formula: \displaystyle\sum_{k=0}^{8} \binom{20}{k} \cdot 0{,}32^k \cdot 0{,}68^{20-k} \approx 0{,}843$ $Formula: \displaystyle\sum_{k=0}^{8} \binom{20}{k} \cdot 0{,}32^k \cdot 0{,}68^{20-k} \approx 0{,}843$

3 BE

5.4

Die Längen der ersten fünf Lieder sind in der folgenden Tabelle dargestellt. So hat beispielsweise das erste Lied eine Länge von Formula: 4 Minuten und Formula: 45 Sekunden.

$Formula: {}\hspace{0.7em}$ $Formula: {}\hspace{0.7em}$ Nummer $Formula: {}\hspace{0.7em}$ $Formula: {}\hspace{0.7em}$
Länge

5.4.1

Die ersten sechs Lieder haben eine durchschnittliche Länge von Formula: 4 Minuten und Formula: 5 Sekunden. Bestimme die Länge des sechsten Liedes.

3 BE

5.4.2

Die fünf Lieder, deren Längen in der Tabelle dargestellt sind, sollen in veränderter Reihenfolge abgespielt werden, jedes Lied genau einmal. Dabei soll die folgende Regel gelten: Lieder, die eine Länge von weniger als Formula: 4 Minuten haben, werden nicht direkt nacheinander abgespielt.

Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten, diese fünf Lieder unter Einhaltung der Regel abzuspielen.

3 BE

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5.1

	$Formula: \boldsymbol{H}$ $Formula: \boldsymbol{H}$	$Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$
$Formula: \boldsymbol{L}$ $Formula: \boldsymbol{L}$
$Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$
$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$

5.2

$Formula: \begin{array}{rcll} P_{H}(L) &=& \dfrac{P(L \cap H)}{P(H)} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}14}{0{,}32} \\[5pt] &\approx& 0{,}438 \\[5pt] &=& 43,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P_{H}(L) &=& \dfrac{P(L \cap H)}{P(H)} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}14}{0{,}32} \\[5pt] &\approx& 0{,}438 \\[5pt] &=& 43,8\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Lied mindestens Formula: 4 Minuten lang ist, wenn bekannt ist, dass es ein Hip-Hop-Song ist, beträgt ungefähr $Formula: 43{,}8 \, \%.$ $Formula: 43{,}8 \, \%.$

5.3

5.3.1

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter Formula: 20 zufällig ausgewählten Liedern und ist binomialverteilt mit Formula: n=20 und Formula: p=0,32. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcll} P_{0{,}32}^{20}(X > 5) &=& 1 - P_{0{,}32}^{20}(X \leq 5) \\[5pt] &\approx& 1 - 0{,}343 \\[5pt] &=& 0{,}657 \\[5pt] &=& 65,7\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P_{0{,}32}^{20}(X > 5) &=& 1 - P_{0{,}32}^{20}(X \leq 5) \\[5pt] &\approx& 1 - 0{,}343 \\[5pt] &=& 0{,}657 \\[5pt] &=& 65,7\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als Formula: 5 der zufällig ausgewählten Lieder Hip-Hop-Songs sind, beträgt also ungefähr $Formula: 65{,}7 \, \%.$ $Formula: 65{,}7 \, \%.$

5.3.2

Die Aussage beschreibt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Formula: 20 ausgewählten Liedern höchstens Formula: 8 Hip-Hop-Songs sind, ungefähr $Formula: 84{,}3 \, \%$ $Formula: 84{,}3 \, \%$ beträgt.

5.4

5.4.1

Die ersten fünf Lieder haben zusammen die folgende Länge in Minuten:

$Formula: 4 \min 45 \mathrm{~s} + 3\min 56\mathrm{~s} + 3\min 35\mathrm{~s} + 4\min 36\mathrm{~s} + 4\min 8\mathrm{~s} = 21\min$ $Formula: 4 \min 45 \mathrm{~s} + 3\min 56\mathrm{~s} + 3\min 35\mathrm{~s} + 4\min 36\mathrm{~s} + 4\min 8\mathrm{~s} = 21\min$

Die Länge des sechsten Liedes ist somit:

$Formula: 6 \cdot(4 \min 5 \mathrm{~s})-21 \min =3 \min 30 \mathrm{~s}$ $Formula: 6 \cdot(4 \min 5 \mathrm{~s})-21 \min =3 \min 30 \mathrm{~s}$

5.4.2

Genau zwei der Lieder sind kürzer als Formula: 4 Minuten.

Bezeichnet man diese mit Formula: k sowie die längeren mit Formula: l, dann sind folgende sechs Anordnungen möglich:

Formula: klkll, kllkl, klllk, Formula: lklkl, lkllk, llklk

Da die kürzeren und längeren Lieder untereinander jeweils noch verschieden angeordnet sein können, gibt es somit insgesamt $Formula: 6 \cdot 2!\cdot 3!=72$ $Formula: 6 \cdot 2!\cdot 3!=72$ Möglichkeiten.

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