7 Analysis

Gegeben sind die im Intervall $Formula: - \tfrac{\pi}{2} \leq x \leq 2 \pi$ $Formula: - \tfrac{\pi}{2} \leq x \leq 2 \pi$ definierten Funktionen Formula: f und Formula: g mit $Formula: f(x)=2\cdot \sin \left( x \right)$ $Formula: f(x)=2\cdot \sin \left( x \right)$ und $Formula: g(x)=2 \cdot \sin \left(x-1 \right) + 2.$ $Formula: g(x)=2 \cdot \sin \left(x-1 \right) + 2.$ Die Abbildung zeigt die Graphen von und sowie den Hochpunkt $Formula: H \left( \tfrac{\pi}{2}\, \middle| \,2 \right)$ $Formula: H \left( \tfrac{\pi}{2}\, \middle| \,2 \right)$ des Graphen von Formula: f.

Koordinatensystem mit x- und y-Achse, zwei Kurven (eine gestrichelt), markierter Punkt H bei einem lokalen Maximum

7.1

Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von Formula: g an.

2 BE

7.2

Der Graph von Formula: g hat eine Wendestelle mit positivem Anstieg.

Vergleiche den Anstieg des Graphen von Formula: g an dieser Wendestelle mit allen Anstiegen des Graphen von Formula: f im Intervall $Formula: 0 < x < \pi.$ $Formula: 0 < x < \pi.$ Erläutere dein Vorgehen.

3 BE

8 Analytische Geometrie

Betrachtet werden die Punkte Formula: A, B und Formula: C mit $Formula: A \left( 2 \mid −3 \mid−1 \right)$ $Formula: A \left( 2 \mid −3 \mid−1 \right)$ und $Formula: B \left( 10 \mid −5 \mid 3 \right).$ $Formula: B \left( 10 \mid −5 \mid 3 \right).$

Für den Punkt Formula: C gelten die folgenden Aussagen:

Die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Koordinate von ist
Die Gerade und die Gerade verlaufen senkrecht zueinander.
Der Punkt liegt in der Ebene mit der Gleichung

Ermittle die Koordinaten von Formula: C.

5 BE

9 Stochastik

Ein Zufallsexperiment mit der Trefferwahrscheinlichkeit Formula: p wird $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ mal durchgeführt. Die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Anzahl der Treffer.

9.1

Gib für dieses Zufallsexperiment ein Ereignis Formula: E an, für das gilt:

$Formula: P(E)=\binom{n}{0}\cdot p^0\cdot(1-p)^n$ $Formula: P(E)=\binom{n}{0}\cdot p^0\cdot(1-p)^n$ $Formula: +\binom{n}{1}\cdot p^1\cdot(1-p)^{n-1}$ $Formula: +\binom{n}{1}\cdot p^1\cdot(1-p)^{n-1}$

1 BE

9.2

Zeige, dass es keine binomialverteilte Zufallsgröße gibt, sodass für deren Erwartungswert $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ und deren Standardabweichung $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ gilt: $Formula: \mu = 10$ $Formula: \mu = 10$ und $Formula: \sigma = 2.$ $Formula: \sigma = 2.$

4 BE

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7 Analysis

7.1

Der Graph von Formula: g entsteht aus dem Graphen von Formula: f durch eine Verschiebung um Formula: 1 Längeneinheit nach rechts und um Formula: 2 Längeneinheiten nach oben.

Durch die Verschiebung ergibt sich für den Hochpunkt des Graphen von Formula: g{:}

$Formula: H_{g} \left( \dfrac{\pi}{2} + 1 \, \middle| \, 4 \right)$ $Formula: H_{g} \left( \dfrac{\pi}{2} + 1 \, \middle| \, 4 \right)$

7.2

Der Graph von Formula: f besitzt seine Wendestelle mit positivem Anstieg bei Formula: x=0.

Ermittlung der Steigung des Graphen von Formula: f an der Stelle Formula: x=0{:}

$Formula: f^{\prime}(x) = 2 \cdot \cos (x)$ $Formula: f^{\prime}(x) = 2 \cdot \cos (x)$

$Formula: f^{\prime}(0) = 2 \cdot \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$ $Formula: f^{\prime}(0) = 2 \cdot \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$

Da der Graph von Formula: g nur verschoben wurde, besitzt der Graph von an seiner Wendestelle mit positivem Anstieg ebenfalls die Steigung Formula: 2.

Für alle $Formula: 0 < x < \pi$ $Formula: 0 < x < \pi$ ist $Formula: \cos(x) < 1$ $Formula: \cos(x) < 1$ und damit $Formula: f^{\prime}(x) = 2 \cdot \cos(x) < 2 \cdot 1 = 2.$ $Formula: f^{\prime}(x) = 2 \cdot \cos(x) < 2 \cdot 1 = 2.$

Somit sind alle Anstiege des Graphen von Formula: f im Intervall $Formula: 0 < x < \pi$ $Formula: 0 < x < \pi$ kleiner als der Anstieg des Graphen von Formula: g an der Wendestelle mit positivem Anstieg.

8 Analytische Geometrie

Laut der ersten Bedingung hat Formula: C die allgemeinen Koordinaten $Formula: C(x\mid y\mid 6).$ $Formula: C(x\mid y\mid 6).$ Damit liefert die zweite Bedingung:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}$

Zusammen mit der dritten Bedingung lässt sich somit das folgende Gleichungssystem aufstellen:

$Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&8x-2y+6&=& 0 &\quad \\ \text{II}\quad&x+2y&=&0 &\quad \\ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&8x-2y+6&=& 0 &\quad \\ \text{II}\quad&x+2y&=&0 &\quad \\ \end{array}$

Addieren der beiden Gleichungen liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt] 9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] x&=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt] 9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] x&=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$

Einsetzen in Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt] 2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt] 2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$

Damit ergeben sich die Koordinaten von Formula: C als $Formula: C(-\tfrac{2}{3}\mid \tfrac{1}{3}\mid6).$ $Formula: C(-\tfrac{2}{3}\mid \tfrac{1}{3}\mid6).$

9 Stochastik

9.1

„ $Formula: X \leq 1$ $Formula: X \leq 1$ “ bzw. „Es wird höchstens ein Treffer erzielt.“

9.2

Für den Erwartungswert gilt:

$Formula: 10=\mu = n \cdot p$ $Formula: 10=\mu = n \cdot p$

Für die Standardabweichung gilt:

$Formula: 2=\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ $Formula: 2=\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Einsetzen der ersten Gleichung liefert:

$Formula: \begin{array}{rcll} \sqrt{10 \cdot (1-p)} &=& 2 &\quad \mid ^2 \\[5pt] 10 \cdot (1-p) &=& 4 \\[5pt] 10 - 10p &=& 4 &\quad \mid -10 \\[5pt] -10p &=& -6 &\quad \mid :(-10) \\[5pt] p &=& 0{,}6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \sqrt{10 \cdot (1-p)} &=& 2 &\quad \mid ^2 \\[5pt] 10 \cdot (1-p) &=& 4 \\[5pt] 10 - 10p &=& 4 &\quad \mid -10 \\[5pt] -10p &=& -6 &\quad \mid :(-10) \\[5pt] p &=& 0{,}6 \end{array}$

Durch Einsetzen in die erste Gleichung folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} n \cdot 0{,}6 &=& 10 &\quad \mid :0{,}6 \\[5pt] n &=& \dfrac{50}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} n \cdot 0{,}6 &=& 10 &\quad \mid :0{,}6 \\[5pt] n &=& \dfrac{50}{3} \end{array}$

Da Formula: n bei einer Binomialverteilung eine natürliche Zahl sein muss und $Formula: \tfrac{50}{3}$ $Formula: \tfrac{50}{3}$ keine natürliche Zahl ist, kann es eine solche binomialverteilte Zufallsgröße nicht geben.

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