1 Analysis – Pflichtaufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f mit der Gleichung $Formula: f(x) = \left( \tfrac{1}{2} x - 1 \right) \cdot \mathrm e^x.$ $Formula: f(x) = \left( \tfrac{1}{2} x - 1 \right) \cdot \mathrm e^x.$

Die Funktion $Formula: f^{\prime}$ $Formula: f^{\prime}$ mit $Formula: f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2} \mathrm e^x \cdot \left( -1+x \right)$ $Formula: f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2} \mathrm e^x \cdot \left( -1+x \right)$ ist die erste Ableitungsfunktion von Formula: f.

Koordinatensystem mit grüner Kurve, links flach, mittig Tiefpunkt unter x-Achse, rechts stark ansteigender Ast

Abbildung 1

1.1

Zeige, dass Formula: x=2 die einzige Nullstelle von Formula: f ist.

2 BE

1.2

Weise nach, dass $Formula: f^{\prime\prime}$ $Formula: f^{\prime\prime}$ mit $Formula: f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{1}{2}x \cdot \mathrm e^x$ $Formula: f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{1}{2}x \cdot \mathrm e^x$ die zweite Ableitungsfunktion von ist.

2 BE

1.3

Der Graph von Formula: f besitzt genau einen Wendepunkt.

Ermittle eine Gleichung der Tangente an den Graphen im Wendepunkt.

3 BE

Der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: g ist der an der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse gespiegelte Graph von Formula: f.

1.4

Die Graphen von Formula: f und von Formula: g haben jeweils nur einen Extrempunkt.

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von Formula: f an der Stelle Formula: 1 einen Tiefpunkt besitzt.

Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von Formula: g an.

4 BE

1.5

Für ein Fest sollen Weingläser in einer Miniaturversion hergestellt werden. Die Abbildung 2 stellt für den Kelch eines solchen Weinglases den Längsschnitt durch dessen Symmetrieachse dar. Der Kelch ist der obere Teil eines Weinglases, in dem der Wein enthalten ist. Die Öffnung eines Kelches ist kreisförmig.

Koordinatensystem mit zwei Kurven (g blau, f grün), Achsenbeschriftungen, gestrichelte Linien zeigen Öffnung und Breite.

Abbildung 2

Der in der Abbildung 2 dargestellte Längsschnitt wird im Intervall Formula: [0; 2] durch die Graphen der Funktionen Formula: f und Formula: g beschrieben.

Die Wandstärke des Glases wird vernachlässigt. Eine Längeneinheit entspricht $Formula: 1 \; \text{cm}.$ $Formula: 1 \; \text{cm}.$

1.5.1

Ermittle mithilfe der Abbildung 2 den Inhalt der Fläche, die der Graph von Formula: f mit den Koordinatenachsen einschließt.

3 BE

1.5.2

Zeige rechnerisch, dass die Breite des Kelches ca. $Formula: 2{,}7 \; \text{cm}$ $Formula: 2{,}7 \; \text{cm}$ beträgt.

2 BE

1.5.3

Durch eine Designänderung soll der Kelch höher werden und eine kleinere Öffnung mit nur $Formula: 1{,}6 \; \text{cm}$ $Formula: 1{,}6 \; \text{cm}$ Durchmesser erhalten. Zur Modellierung wird eine Strecke Formula: s eingeführt. Dabei gilt:

Die Strecke kann durch die Funktion mit $Formula: r(x)=- \dfrac{1}{2} x - 1$ $Formula: r(x)=- \dfrac{1}{2} x - 1$ beschrieben werden, die im Intervall definiert ist, wobei eine negative reelle Zahl ist.
Der Graph von und dessen Spiegelung an der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse bilden gemeinsam mit dem bisherigen Längsschnitt den Längsschnitt des geänderten Kelches.

Berechne den Wert von Formula: a und ergänze die Darstellung in der Abbildung 2 zum Längsschnitt des geänderten Kelches.

5 BE

1.6

Drei Weingläser sollen zum Verkauf in eine Box gepackt werden. Sie werden dazu in zylinderförmige gepolsterte Röhren gesteckt und anschließend in diese Box gestellt. Der Außendurchmesser der zylinderförmigen Röhren beträgt $Formula: 3 \; \text{cm}.$ $Formula: 3 \; \text{cm}.$

In der Abbildung 3 ist die Draufsicht der zylinderförmigen Röhren in der Box dargestellt. Die Länge der Box wird durch zwei nebeneinanderstehende Röhren vorgegeben. Die Mindestbreite im Innern der Box wurde mit rund $Formula: 5{,}6 \; \text{cm}$ $Formula: 5{,}6 \; \text{cm}$ durch folgende zwei Rechenschritte ermittelt:

$Formula: \left(\dfrac{3}{2}\right)^2+h^2=3^2$ $Formula: \left(\dfrac{3}{2}\right)^2+h^2=3^2$ ergibt $Formula: h \approx 2{,}6$ $Formula: h \approx 2{,}6$
$Formula: h + 3 \approx 5{,}6$ $Formula: h + 3 \approx 5{,}6$

Drei gleichgroße Kreise in einem Rechteck, Maßpfeile für Länge und Breite, gestrichelte Linien verbinden die Kreiszentren.

Abbildung 3

Erläutere die zugrunde liegenden Sachverhalte für beide Rechenschritte unter Einbeziehung der in die Abbildung 3 eingezeichneten Hilfslinien.

4 BE

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1.1

Berechnung der Nullstellen von Formula: f{:}

$Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\[5pt] \left( \dfrac{1}{2} x-1 \right) \cdot \mathrm e^x &=& 0 &\quad \mid \;:\mathrm e^x \\[5pt] \dfrac{1}{2} x-1 &=& 0 &\quad \mid + 1 \\[5pt] \dfrac{1}{2} x &=& 1 &\quad \mid \cdot 2 \\[5pt] x &=& 2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f(x) &=& 0 \\[5pt] \left( \dfrac{1}{2} x-1 \right) \cdot \mathrm e^x &=& 0 &\quad \mid \;:\mathrm e^x \\[5pt] \dfrac{1}{2} x-1 &=& 0 &\quad \mid + 1 \\[5pt] \dfrac{1}{2} x &=& 1 &\quad \mid \cdot 2 \\[5pt] x &=& 2 \end{array}$

Damit ist Formula: x=2 die einzige Nullstelle der Funktion Formula: f.

1.2

Zur Bestimmung der zweiten Ableitung wird die Produktregel angewendet. Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime\prime}(x) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \cdot 1 + (-1+x) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot\mathrm e^x \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \cdot (1 - 1 + x) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \cdot x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime\prime}(x) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \cdot 1 + (-1+x) \cdot \dfrac{1}{2} \cdot\mathrm e^x \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \cdot (1 - 1 + x) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \cdot x \end{array}$

1.3

Ermitteln der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate des Wendepunkts:

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime\prime}(x) &=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \cdot x &=& 0 &\quad \mid : \left( \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \right) \\[5pt] x &=& 0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime\prime}(x) &=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \cdot x &=& 0 &\quad \mid : \left( \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^x \right) \\[5pt] x &=& 0 \end{array}$

Berechnung der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Wendepunkts:

$Formula: f(0) = \left( \dfrac{1}{2} \cdot 0 - 1 \right) \cdot \mathrm e^0 = \left(-1\right) \cdot 1 = -1$ $Formula: f(0) = \left( \dfrac{1}{2} \cdot 0 - 1 \right) \cdot \mathrm e^0 = \left(-1\right) \cdot 1 = -1$

Damit lautet der Wendepunkt $Formula: W(0 \mid -1).$ $Formula: W(0 \mid -1).$

Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Stelle Formula: x=0:

$Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^0 \cdot (-1+0) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-1) \\[5pt] &=& - \dfrac{1}{2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} f^{\prime}(0) &=& \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^0 \cdot (-1+0) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-1) \\[5pt] &=& - \dfrac{1}{2}\end{array}$

Da die Tangente den Wendepunkt $Formula: W(0 \mid -1)$ $Formula: W(0 \mid -1)$ berührt, entspricht ihr $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Achsenabschnitt dem Wert Formula: -1.

Damit lautet die Tangentengleichung $Formula: y = -\dfrac{1}{2} \cdot x -1.$ $Formula: y = -\dfrac{1}{2} \cdot x -1.$

1.4

Nachweis des Tiefpunkts an der Stelle

$Formula: f^{\prime}(1) = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^1 \cdot (-1+1) = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e \cdot 0 = 0$ $Formula: f^{\prime}(1) = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^1 \cdot (-1+1) = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e \cdot 0 = 0$

Damit liegt bei Formula: x=1 eine mögliche Extremstelle vor.

Einsetzen in die zweite Ableitung liefert:

$Formula: f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e > 0$ $Formula: f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e^1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2} \cdot \mathrm e > 0$

Da die zweite Ableitung an der Stelle Formula: x=1 positiv ist, besitzt der Graph von Formula: f dort einen Tiefpunkt.

Ermittlung der $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Hochpunkts von g

$Formula: f(1) = \left( \dfrac{1}{2} \cdot 1 - 1 \right) \cdot \mathrm e^1 = - \dfrac{1}{2}\mathrm e$ $Formula: f(1) = \left( \dfrac{1}{2} \cdot 1 - 1 \right) \cdot \mathrm e^1 = - \dfrac{1}{2}\mathrm e$

Da der Graph von Formula: g durch Spiegelung des Graphen von Formula: f an der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse entsteht, wird aus dem Tiefpunkt von ein Hochpunkt von . Die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate bleibt dabei gleich, die $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Damit lauter der Hochpunkt des Graphen von Formula: g{:}

$Formula: H_g \left( 1 \;\bigg\vert\; \dfrac{1}{2}\mathrm e \right)$ $Formula: H_g \left( 1 \;\bigg\vert\; \dfrac{1}{2}\mathrm e \right)$

1.5

1.5.1

Aus der Abbildung lässt sich ablesen, dass die Fläche Formula: A, die der Graph von Formula: f mit den Koordinatenachsen einschließt, ungefähr Formula: 8{,}5 Kästchen umfasst.

Ein Kästchen hat den Flächeninhalt $Formula: 0{,}5 \; \text{cm} \cdot 0{,}5 \; \text{cm} = 0{,}25 \; \text{cm}^2.$ $Formula: 0{,}5 \; \text{cm} \cdot 0{,}5 \; \text{cm} = 0{,}25 \; \text{cm}^2.$

Damit ergibt sich näherungsweise:

$Formula: A \approx 8{,}5 \cdot 0{,}25 \; \text{cm}^2 \approx 2{,}1 \; \text{cm}^2$ $Formula: A \approx 8{,}5 \cdot 0{,}25 \; \text{cm}^2 \approx 2{,}1 \; \text{cm}^2$

1.5.2

Die größte Breite des Kelches liegt an der Stelle, an der der vertikale Abstand zwischen dem Graphen von Formula: f und dem gespiegelten Graphen Formula: g maximal ist. Das ist an der Stelle der Fall, an der der Graph von seinen Tiefpunkt und der Graph von entsprechend seinen Hochpunkt besitzt, also bei Formula: x=1.

Berechnung des maximalen vertikalen Abstands:

$Formula: g(1) - f(1) = \dfrac{1}{2} \mathrm e - \left( -\dfrac{1}{2}\mathrm e \right) = \mathrm e \approx 2{,}7$ $Formula: g(1) - f(1) = \dfrac{1}{2} \mathrm e - \left( -\dfrac{1}{2}\mathrm e \right) = \mathrm e \approx 2{,}7$

Die Breite des Kelches beträgt also ungefähr $Formula: 2{,}7 \; \text{cm}.$ $Formula: 2{,}7 \; \text{cm}.$

1.5.3

Die neue Öffnung soll einen Durchmesser von $Formula: 1{,}6 \; \text{cm}$ $Formula: 1{,}6 \; \text{cm}$ haben. Da der Längsschnitt symmetrisch zur $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse ist, beträgt der Abstand von der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse zum unteren Rand der Öffnung:

$Formula: \dfrac{1{,}6 \; \text{cm}}{2} = 0{,}8 \; \text{cm}$ $Formula: \dfrac{1{,}6 \; \text{cm}}{2} = 0{,}8 \; \text{cm}$

Der untere Rand liegt unterhalb der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse, daher muss gelten:

$Formula: \begin{array}{rcll} r(a) &=& -0{,}8 \\[5pt] - \dfrac{1}{2} \cdot a - 1 &=& -0{,}8 &\quad \mid +1 \\[5pt] - \dfrac{1}{2} \cdot a &=& 0{,}2 &\quad \mid \cdot \left( - 2 \right) \\[5pt] a &=& - 0{,}4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} r(a) &=& -0{,}8 \\[5pt] - \dfrac{1}{2} \cdot a - 1 &=& -0{,}8 &\quad \mid +1 \\[5pt] - \dfrac{1}{2} \cdot a &=& 0{,}2 &\quad \mid \cdot \left( - 2 \right) \\[5pt] a &=& - 0{,}4 \end{array}$

Koordinatensystem mit Gitter und zwei Kurven (blaue g, grüne f), Achsen x,y und Markierungen für Öffnung und Breite.

1.6

Die Mittelpunkte der drei Kreise bilden ein gleichseitiges Dreieck, da sich die gleich großen Kreise gegenseitig berühren. Der Abstand zweier Mittelpunkte (und damit einer Dreiecksseite) entspricht dabei dem Durchmesser der Röhren, also $Formula: 3 \; \text{cm}^2.$ $Formula: 3 \; \text{cm}^2.$

Rechenschritt 1:

Durch die eingezeichnete Höhe Formula: h wird das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Die Hypotenuse hat die Länge $Formula: 3 \; \text{cm},$ $Formula: 3 \; \text{cm},$ die halbe Grundseite hat die Länge $Formula: \tfrac{3}{2} \; \text{cm}.$ $Formula: \tfrac{3}{2} \; \text{cm}.$ Nach dem Satz des Pythagoras gilt daher die angegebene Gleichung, mithilfe welcher sich die Höhe $Formula: h \approx 2{,}6 \; \text{cm}$ $Formula: h \approx 2{,}6 \; \text{cm}$ ermitteln lässt.

Rechenschritt 2: Formula: (2){:}

Um die Innenbreite der Box zu berechnen, müssen zu der Höhe Formula: h des gleichseitigen Dreiecks zwei Radien der Röhren addiert werden. Die beiden Radien ergeben zusammen einen Durchmesser einer Röhre, also $Formula: 3 \; \text{cm}.$ $Formula: 3 \; \text{cm}.$

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