4 Stochastik – Wahlaufgabe
Ein Zoo hatte im vergangenen Jahr eine große Anzahl von Jahreskarten für Erwachsene und für Kinder verkauft. Der Anteil der Gäste mit Jahreskarten betrug 
davon waren ein Viertel Kinder. Von den Gästen ohne Jahreskarte waren zwei Drittel Erwachsene.
Es werden folgende Ereignisse betrachtet:
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„Der Gast hat eine Jahreskarte.“ |
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„Der Gast ist ein Kind.“ |
Vervollständige das Baumdiagramm zu diesem Sachverhalt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Gast des Zoos ein Kind ist.
Ein Gast, der kein Kind ist, wird zufällig ausgewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Gast eine Jahreskarte besitzt.
An einem Tag werden 
Gäste zufällig ausgewählt und zu dem Besitz einer Jahreskarte befragt. Die Zufallsgröße 
gibt die Anzahl der Gäste mit einer Jahreskarte an. Diese Anzahl kann als binomialverteilt angesehen werden.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den befragten Gästen weniger als die zu erwartende Anzahl der Jahreskartenbesitzer befinden.
Im Protokoll zur Befragung liest Luca, dass von den befragten Gästen 
Gäste eine Jahreskarte hatten. Luca sagt dazu: „Das Protokoll ist falsch, so viele können es gar nicht gewesen sein. Es müssten 
Gäste sein.“
Beurteile Lucas Einschätzung zur Richtigkeit des Protokolls.
Am Jubiläumstag des Zoos wird ein Spiel mit einem Glücksrad angeboten. Dieses Glücksrad hat gelbe und blaue Felder. Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Drehen ein gelbes Feld zu erzielen, wird mit 
bezeichnet.
Der Gewinn bei diesem Spiel ist eine Jahreskarte für den Zoo.
Mit dem folgenden Term kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, eine Jahreskarte zu gewinnen: 
Beschreibe, unter welchen Bedingungen Teilnehmende eine Jahreskarte gewinnen.
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![Formula: \begin{array}{rcll} P(K) &=& P(J \cap K) + P(\overline{J} \cap K) \\[5pt] &=& 0{,}04 \cdot \dfrac{1}{4} + 0{,}96 \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] &=& 0{,}01 + 0{,}32 \\[5pt] &=& 0{,}33 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/68fee7e36f9c486ec68d19c0f9ccc334d3f9bba1a1b9e081c1289cb746aee6c7_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} P(K) &=& P(J \cap K) + P(\overline{J} \cap K) \\[5pt] &=& 0{,}04 \cdot \dfrac{1}{4} + 0{,}96 \cdot \dfrac{1}{3} \\[5pt] &=& 0{,}01 + 0{,}32 \\[5pt] &=& 0{,}33 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/68fee7e36f9c486ec68d19c0f9ccc334d3f9bba1a1b9e081c1289cb746aee6c7_dark.svg)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Gast ein Kind ist, beträgt also 
![Formula: \begin{array}{rcll} P_{\overline{K}}(J) &=& \dfrac{P(J \cap \overline{K})}{P(\overline{K})} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}04 \cdot \tfrac{3}{4}}{1-0{,}33} \\[5pt] &=& 0{,}045 \\[5pt] &=& 4{,}5\,\% \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d7990b76d742ed212bd2b002aa77bf8c28a841bfa08b74ca79bf86fdfba37925_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rcll} P_{\overline{K}}(J) &=& \dfrac{P(J \cap \overline{K})}{P(\overline{K})} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}04 \cdot \tfrac{3}{4}}{1-0{,}33} \\[5pt] &=& 0{,}045 \\[5pt] &=& 4{,}5\,\% \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d7990b76d742ed212bd2b002aa77bf8c28a841bfa08b74ca79bf86fdfba37925_dark.svg)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Gast, der kein Kind ist, eine Jahreskarte besitzt, beträgt also ungefähr 
Der Erwartungswert beträgt:
Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als Gäste eine Jahreskarte besitzen:
![Formula: \begin{array}{rcll} P_{0{,}04}^{100}(X \lt 4) &=& P_{0{,}04}^{100}(X \leq 3) \\[5pt] &\approx& 0,43 \\[5pt] &=& 43\,\% \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/26f08be9ad2848d7a99063a99a4f0a7e05eb98823c74429768c8f486290aa1ee_light.svg)
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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als Gäste unter den zufällig ausgewählten Gästen eine Jahreskarte besitzen, beträgt also ungefähr 
Lucas Einschätzung ist nicht korrekt. Der Wert ist lediglich der Erwartungswert der Zufallsgröße 
Er gibt also an, wie viele Jahreskartenbesitzer im Durchschnitt zu erwarten wären.
Das bedeutet jedoch nicht, dass bei jeder Befragung von Gästen genau Personen eine Jahreskarte besitzen müssen. Auch Jahreskartenbesitzer sind grundsätzlich möglich, auch wenn dieses Ergebnis eher unwahrscheinlich ist.
Das Protokoll muss daher nicht unbedingt falsch sein.
Für den Gewinn einer Jahreskarte muss bei dreimaligem Drehen mindestens zweimal ein gelbes Feld erzielt werden.