3 Analytische Geometrie – Wahlaufgabe

Ein Kran auf einer Baustelle kann zu einem bestimmten Zeitpunkt vereinfacht mit dem in den Abbildungen gezeigten Modell beschrieben werden. Dabei wird der Kranturm durch einen Quader mit der quadratischen Grundfläche Formula: ABCD dargestellt, seine Mittelachse durch die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Achse. Der Ausleger des Krans wird durch ein Prisma Formula: RSTUVW beschrieben und der Gegenausleger durch eine Pyramide. Die $Formula: xy\text{-}$ $Formula: xy\text{-}$ Ebene stellt den Erdboden dar.

Die Koordinaten sind:

$Formula: A(−1 \mid −1 \mid 0),$ $Formula: A(−1 \mid −1 \mid 0),$ $Formula: B(1 \mid −1 \mid 0),$ $Formula: B(1 \mid −1 \mid 0),$ $Formula: C(1 \mid 1 \mid 0),$ $Formula: C(1 \mid 1 \mid 0),$ $Formula: D(−1 \mid 1 \mid0),$ $Formula: D(−1 \mid 1 \mid0),$

Skizze eines Turmdrehkrans mit Ausleger, Gegenausleger, Kranturm, Haken und x‑y‑z Achsen

$Formula: R(46 \mid −1 \mid 50),$ $Formula: R(46 \mid −1 \mid 50),$ $Formula: S(46 \mid 1 \mid 50),$ $Formula: S(46 \mid 1 \mid 50),$ $Formula: T(46 \mid 0 \mid 52{,}5),$ $Formula: T(46 \mid 0 \mid 52{,}5),$ $Formula: U(0 \mid −1 \mid 50),$ $Formula: U(0 \mid −1 \mid 50),$ $Formula: V(0 \mid 1 \mid 50),$ $Formula: V(0 \mid 1 \mid 50),$ $Formula: W(0 \mid 0 \mid 52{,}5).$ $Formula: W(0 \mid 0 \mid 52{,}5).$

Kran-Ausleger mit verschiebbarer Seilwinde und hängender Last

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Modell einem Meter in der Realität.

3.1

Gib die Länge des Auslegers in Meter an.

Im Modell beschreibt die Fläche Formula: RST die Querschnittsfläche des Auslegers.

Berechne die Größe dieser Fläche in der Realität.

4 BE

Der Ausleger des Krans lässt sich parallel zum Erdboden um die Mittelachse des Kranturms drehen. Mit einer Seilwinde, die an der Unterseite des Auslegers entlangfahren kann, lassen sich Lasten in Richtung dieses Auslegers verschieben sowie anheben oder absenken.

Im Modell befindet sich im Punkt $Formula: (21 \mid 28 \mid 0)$ $Formula: (21 \mid 28 \mid 0)$ eine anzuhebende Last Formula: L.

3.2

Weise rechnerisch nach, dass der Abstand der Last Formula: L zur Mittelachse des Kranturms kleiner als $Formula: 46 \; \text{m}$ $Formula: 46 \; \text{m}$ ist.

2 BE

3.3

Der Ausleger wird um einen Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ gedreht. Im Modell liegt der Ausleger nun nicht mehr parallel zur $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse, sondern zeigt in Richtung des Vektors $Formula: \begin{pmatrix} 0{,}6\\ 0{,}8\\ 0 \end{pmatrix}.$ $Formula: \begin{pmatrix} 0{,}6\\ 0{,}8\\ 0 \end{pmatrix}.$

3.3.1

Berechne die Größe des Drehwinkels $Formula: \alpha.$ $Formula: \alpha.$

3 BE

3.3.2

Mit dem folgenden Ansatz kann geprüft werden, ob die neue Ausrichtung des Auslegers passend ist, um die Last Formula: L anzuheben:

$Formula: \begin{pmatrix}21\\28\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}$ $Formula: \begin{pmatrix}21\\28\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}$

Beschreibe die geometrische Überlegung, die zu diesem Ansatz führt.

Ermittle mithilfe des Ansatzes, ob die Ausrichtung des Auslegers passend ist.

3 BE

3.4

Anschließend wird eine andere Last Formula: Q durch den Kran bewegt. Die zeitlich veränderliche Position dieser Last wird durch die Koordinaten $Formula: (10 − 15t \mid −20 + 30t \mid 12,5t)$ $Formula: (10 − 15t \mid −20 + 30t \mid 12,5t)$ beschrieben, wobei Formula: t die dafür benötigte Zeit in Minuten mit $Formula: 0 \leq t \leq 0{,}5$ $Formula: 0 \leq t \leq 0{,}5$ angibt.

Beschreibe anhand der Koordinaten die Bewegung der Last Formula: Q in diesem Zeitraum.

3 BE

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3.1

Berechnung der Länge des Auslegers:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{WT} &=& \overrightarrow{OT} - \overrightarrow{OW} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 46 \\ 0 \\ 52{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 52{,}5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 46 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{WT} &=& \overrightarrow{OT} - \overrightarrow{OW} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 46 \\ 0 \\ 52{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 52{,}5 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 46 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{WT} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} 46 \\ 0 \\ 46 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{46^2 + 0^2 + 0^2} \\[5pt] &=& 46 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{WT} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} 46 \\ 0 \\ 46 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{46^2 + 0^2 + 0^2} \\[5pt] &=& 46 \end{array}$

Der Ausleger ist $Formula: 46 \; \text{m}$ $Formula: 46 \; \text{m}$ lang.

Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks Formula: RST{:}

Die Punkte Formula: R und Formula: S unterscheiden sich nur in der Formula: y -Koordinate, und um $Formula: 2\;\mathrm{m}.$ $Formula: 2\;\mathrm{m}.$ Da die Koordinaten zeigen, dass die Grundseite parallel zur Formula: xy -Ebene liegt, ergibt sich die Höhe des Dreiecks durch die Differenz der Formula: z -Koordinate von Formula: T und dieser und beträgt somit $Formula: 2,5\;\text{m}.$ $Formula: 2,5\;\text{m}.$ Damit folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} A_{RST} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\overrightarrow{RS}\right\vert \cdot h_{\overline{RS}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 2 \; \text{m} \cdot 2{,}5 \; \text{m} \\[5pt] &=& 2{,}5 \; \text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} A_{RST} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\overrightarrow{RS}\right\vert \cdot h_{\overline{RS}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot 2 \; \text{m} \cdot 2{,}5 \; \text{m} \\[5pt] &=& 2{,}5 \; \text{m}^2 \end{array}$

Die Querschnittsfläche ist somit $Formula: 2{,}5 \; \text{m}^2$ $Formula: 2{,}5 \; \text{m}^2$ groß.

3.2

Der Mittelpunkt des Kranturms ist die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Achse. Der Abstand der Last zur Mittelachse ergibt sich daher durch:

$Formula: \begin{array}{rcll} d &=&\sqrt{(21-0)^2+(28-0)^2+(0-0)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1225} \\[5pt] &=& 35 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} d &=&\sqrt{(21-0)^2+(28-0)^2+(0-0)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1225} \\[5pt] &=& 35 \end{array}$

Da Formula: 35 < 46 gilt, ist der Abstand der Last zur Mittelachse des Kranturms kleiner als $Formula: 46 \; \text{m}.$ $Formula: 46 \; \text{m}.$

3.3

3.3.1

Vor der Drehung ist der Ausleger parallel zur $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Achse. Ein Richtungsvektor ist daher $Formula: \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$ $Formula: \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Berechnung der Längen der Richtungsvektoren:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{u} \right| &=&\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{1^2+0^2+0^2} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{u} \right| &=&\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{1^2+0^2+0^2} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{v} \right| &=&\left| \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0{,}6^2+0{,}8^2+0^2} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{v} \right| &=&\left| \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0{,}6^2+0{,}8^2+0^2} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Berechnung des Skalarprodukts:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 1 \cdot 0{,}6 + 0 \cdot 0{,}8 + 0 \cdot 0 \\[5pt] &=& 0,6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v} &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& 1 \cdot 0{,}6 + 0 \cdot 0{,}8 + 0 \cdot 0 \\[5pt] &=& 0,6 \end{array}$

Für den Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ zwischen den Vektoren $Formula: \overrightarrow{u}$ $Formula: \overrightarrow{u}$ und $Formula: \overrightarrow{v}$ $Formula: \overrightarrow{v}$ folgt damit:

$Formula: \begin{array}{rcll} \cos(\alpha) &=& \dfrac{\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} \right| \cdot \left| \overrightarrow{v} \right|} \\[5pt] \cos(\alpha) &=& \dfrac{0{,}6}{1 \cdot 1} \\[5pt] \cos(\alpha) &=& 0{,}6 &\quad \mid \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \cos^{-1}(0{,}6) \\[5pt] \alpha &\approx& 53{,}1^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \cos(\alpha) &=& \dfrac{\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} \right| \cdot \left| \overrightarrow{v} \right|} \\[5pt] \cos(\alpha) &=& \dfrac{0{,}6}{1 \cdot 1} \\[5pt] \cos(\alpha) &=& 0{,}6 &\quad \mid \cos^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \cos^{-1}(0{,}6) \\[5pt] \alpha &\approx& 53{,}1^{\circ} \end{array}$

Der Drehwinkel beträgt ungefähr $Formula: 53{,}1^{\circ}.$ $Formula: 53{,}1^{\circ}.$

3.3.2

Der Ansatz prüft, ob der Ortsvektor der Last Formula: L auf der Geraden liegt, in deren Richtung der Ausleger zeigt. Falls dies der Fall ist, befindet sich die Last direkt unter der möglichen Fahrbahn der Seilwinde.

Aus dem Ansatz folgt:

$Formula: \begin{array}{rcll} 21 &=& r \cdot 0{,}6 &\quad \mid \;:0{,}6 \\[5pt] 35 &=& r \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} 21 &=& r \cdot 0{,}6 &\quad \mid \;:0{,}6 \\[5pt] 35 &=& r \end{array}$

Außerdem gilt: $Formula: 28 = 35\cdot0{,}8$ $Formula: 28 = 35\cdot0{,}8$ und $Formula: 0 = 35 \cdot 0.$ $Formula: 0 = 35 \cdot 0.$ Damit erfüllt Formula: r = 35 auch die zweite und dritte Koordinate. Die Ausrichtung des Auslegers ist also passend, um die Last anzuheben.

3.4

Zu Beginn gilt für Formula: t=0:

$Formula: Q(10 \mid 20 \mid 0)$ $Formula: Q(10 \mid 20 \mid 0)$

Die Last befindet sich also zunächst am Boden.

Anhand der Terme lässt sich erkennen, dass während der Bewegung die $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ und $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate gleichmäßig abnehmen. Die Last bewegt sich also entlang einer Geraden näher zur Mittelachse des Kranturms hin. Gleichzeitig nimmt die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Koordinate zu, was bedeutet, dass die Last angehoben wird.

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