A – Wahlaufgaben

Analysis (Niveau 1)

Der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: f mit Formula: f(x)=x^3-3 x wird mit Formula: G bezeichnet.

4.1

Weise nach, dass Formula: G einen Hochpunkt mit der $Formula: x\text{-}$ $Formula: x\text{-}$ Koordinate Formula: -1 hat.

2 BE

4.2

Formula: G ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Berechne den Abstand zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt von Formula: G.

3 BE

Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Niveau 1)

Betrachtet wird das Dreieck Formula: ABC mit den Eckpunkten $Formula: A(0\mid0\mid 0),$ $Formula: A(0\mid0\mid 0),$ $Formula: B(6\mid2\mid 3)$ $Formula: B(6\mid2\mid 3)$ und $Formula: C(t\mid-3t\mid 0),$ $Formula: C(t\mid-3t\mid 0),$ wobei Formula: t eine positive reelle Zahl ist.

5.1

Zeige, dass das Dreieck Formula: ABC in einen rechten Winkel hat.

2 BE

5.2

Das Dreieck Formula: ABC ist gleichschenklig. Berechne Formula: t.

3 BE

Stochastik (Niveau 1)

Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=20 und Formula: p . Der Erwartungswert von ist ganzzahlig.

Graues Balkendiagramm: diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für k=0–12, höchste Balken bei k=3–5, Achsenbeschriftung P(X=k) und k.

6.1

Ermittle den Wert von Formula: p.

2 BE

6.2

Gib die natürlichen Zahlen Formula: v und Formula: w an, für die gilt:

$Formula: P(X=v)\approx0{,}175$ $Formula: P(X=v)\approx0{,}175$

$Formula: 0{,}15\lt P(X \leq w)\lt0{,}25$ $Formula: 0{,}15\lt P(X \leq w)\lt0{,}25$

3 BE

Analysis (Niveau 2)

Die Abbildung zeigt die Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten linearen Funktion Formula: g und der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten differenzierbaren Funktion Formula: f.

Gitter-Koordinatensystem mit x- und y-Achse und drei Graphen (lineare und gekrümmte Kurven)

7.1

Begründe, dass $Formula: g^\prime(3)=2$ $Formula: g^\prime(3)=2$ gilt.

1 BE

7.2

Betrachtet wird die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: h mit $Formula: h(x)=f(x) \cdot g(x).$ $Formula: h(x)=f(x) \cdot g(x).$

Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von Formula: h im Punkt $Formula: \bigl(3\mid h(3)\bigr).$ $Formula: \bigl(3\mid h(3)\bigr).$

4 BE

Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Niveau 2)

Betrachtet werden die Punkte $Formula: A,\,B$ $Formula: A,\,B$ und Formula: C mit $Formula: A(2\mid-3\mid-1)$ $Formula: A(2\mid-3\mid-1)$ und $Formula: B(10\mid-5\mid 3).$ $Formula: B(10\mid-5\mid 3).$ Für den Punkt gelten die folgenden Aussagen:

Die $Formula: z\text{-}$ $Formula: z\text{-}$ Koordinate von ist
Die Gerade und die Gerade verlaufen senkrecht zueinander.
Der Punkt liegt in der Ebene mit der Gleichung

Ermittle die Koordinaten von Formula: C.

5 BE

Stochastik (Niveau 2)

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit dem Erwartungswert $Formula: \mu=20$ $Formula: \mu=20$ und der Standardabweichung $Formula: \sigma=2.$ $Formula: \sigma=2.$

Bestimme einen parameterfreien Term, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Formula: X=21 berechnet werden kann.

5 BE

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Analysis (Niveau 1)

4.1

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: f gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&3x^2-3 \\[5pt] f''(x)&=&6x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&3x^2-3 \\[5pt] f''(x)&=&6x \end{array}$

Anwendung der notwendigen Bedingungen Formula: f'(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] 3x^2-3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 3x^2&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] x^2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=&-1 \\[5pt] x_2&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] 3x^2-3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 3x^2&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] x^2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x_1&=&-1 \\[5pt] x_2&=&1 \end{array}$

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Formula: x=-1 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(-1)&=&6\cdot(-1)\\[5pt] &=&-6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(-1)&=&6\cdot(-1)\\[5pt] &=&-6 \end{array}$

Da $Formula: f''(-1)\lt0$ $Formula: f''(-1)\lt0$ gilt, hat Formula: G an dieser Stelle einen Hochpunkt.

4.2

Für die $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Koordinate des Hochpunkts gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(-1)&=&(-1)^3-3\cdot(-1)\\[5pt] &=&-1+3 \\[5pt]&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(-1)&=&(-1)^3-3\cdot(-1)\\[5pt] &=&-1+3 \\[5pt]&=&2 \end{array}$

Der Abstand von $Formula: H(-1\mid2)$ $Formula: H(-1\mid2)$ zum Koordinatenursprung ist somit die Hälfte der Strecke zwischen den Extrempunkten, da der Graph von Formula: f punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overline{HT}\right\vert&=&2\cdot\sqrt{(-1)^2+2^2} \\[5pt] &=&2\sqrt{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert\overline{HT}\right\vert&=&2\cdot\sqrt{(-1)^2+2^2} \\[5pt] &=&2\sqrt{5} \end{array}$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Niveau 1)

5.1

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=&\pmatrix{6\\2\\3} \circ\pmatrix{t\\-3t\\0} \\[5pt]&=&6t-6t \\[5pt]&=&0\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=&\pmatrix{6\\2\\3} \circ\pmatrix{t\\-3t\\0} \\[5pt]&=&6t-6t \\[5pt]&=&0\end{array}$

Somit liegt in Formula: A ein rechter Winkel vor.

5.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \Bigl\vert\overrightarrow{AB}\Bigr\vert&=&\Big\vert\overrightarrow{AC}\Big\vert \\[5pt] \sqrt{6^2+2^2+3^2}&=&\sqrt{t^2+(-3t)^2} \\[5pt] \sqrt{49}&=&\sqrt{10}\cdot t &\quad\scriptsize\mid\;:\sqrt{10} \\[5pt] \dfrac{7}{\sqrt{10}}&=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \Bigl\vert\overrightarrow{AB}\Bigr\vert&=&\Big\vert\overrightarrow{AC}\Big\vert \\[5pt] \sqrt{6^2+2^2+3^2}&=&\sqrt{t^2+(-3t)^2} \\[5pt] \sqrt{49}&=&\sqrt{10}\cdot t &\quad\scriptsize\mid\;:\sqrt{10} \\[5pt] \dfrac{7}{\sqrt{10}}&=&t \end{array}$

Stochastik (Niveau 1)

6.1

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X hat bei Formula: k=4 seinen größten Wert, somit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 20\cdot p&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] p&=&0{,}2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 20\cdot p&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] p&=&0{,}2 \end{array}$

6.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&5 \\[5pt] w&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&5 \\[5pt] w&=&2 \end{array}$

Analysis (Niveau 2)

7.1

Anhand eines Steigungsdreiecks ergibt sich für die Steigung der Gerade der Wert Formula: 2.

7.2

Mit der Abbildung folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h'(3)&=&f^{\prime}(3) \cdot g(3)+f(3) \cdot g^{\prime}(3) \\[5pt] &=&0 \cdot 4+(-6)\cdot 2 \\[5pt] &=&-12 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h'(3)&=&f^{\prime}(3) \cdot g(3)+f(3) \cdot g^{\prime}(3) \\[5pt] &=&0 \cdot 4+(-6)\cdot 2 \\[5pt] &=&-12 \end{array}$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Niveau 2)

Laut der ersten Bedingung hat Formula: C die allgemeinen Koordinaten $Formula: C(x\mid y\mid 6).$ $Formula: C(x\mid y\mid 6).$ Damit liefert die zweite Bedingung:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}$

Zusammen mit der dritten Bedingung lässt sich somit das folgende Gleichungssystem aufstellen:

$Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&8x-2y+6&=& 0 &\quad \\ \text{II}\quad&x+2y&=&0 &\quad \\ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll} \text{I}\quad&8x-2y+6&=& 0 &\quad \\ \text{II}\quad&x+2y&=&0 &\quad \\ \end{array}$

Addieren der beiden Gleichungen liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt] 9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] x&=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt] 9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] x&=&-\dfrac{2}{3} \end{array}$

Einsetzen in Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt] 2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt] 2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{3} \end{array}$

Damit ergeben sich die Koordinaten von Formula: C als $Formula: C\bigl(-\tfrac{2}{3}\mid \tfrac{1}{3}\mid6\bigr).$ $Formula: C\bigl(-\tfrac{2}{3}\mid \tfrac{1}{3}\mid6\bigr).$

Stochastik (Niveau 2)

Es gilt $Formula: \mu=n\cdot p$ $Formula: \mu=n\cdot p$ und $Formula: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$ $Formula: \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}.$ Mit den Werten aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&2 \\[5pt] \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &=& 2\\[5pt] \sqrt{20\cdot (1-p)}&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 20\cdot (1-p)&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] 1-p&=&0{,}2 &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt] 1&=&0{,}2 + p &\quad\scriptsize\mid\;-0{,}2 \\[5pt] 0{,}8&=&p \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&2 \\[5pt] \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &=& 2\\[5pt] \sqrt{20\cdot (1-p)}&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] 20\cdot (1-p)&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt] 1-p&=&0{,}2 &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt] 1&=&0{,}2 + p &\quad\scriptsize\mid\;-0{,}2 \\[5pt] 0{,}8&=&p \end{array}$

Einsetzen in den Erwartungswert liefert für $Formula: n\text{:}$ $Formula: n\text{:}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\mu&=&20 \\[5pt] n\cdot p&=&20 \\[5pt] 0{,}8\cdot n &=&20 &\quad\scriptsize\mid\;:0{,}8 \\[5pt] n&=&25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\mu&=&20 \\[5pt] n\cdot p&=&20 \\[5pt] 0{,}8\cdot n &=&20 &\quad\scriptsize\mid\;:0{,}8 \\[5pt] n&=&25 \end{array}$

Der gesuchte parameterfreie Term für die Wahrscheinlichkeit ist somit gegeben durch $Formula: \tbinom{25}{21}\cdot0{,}8^{21}\cdot0{,}2^4.$ $Formula: \tbinom{25}{21}\cdot0{,}8^{21}\cdot0{,}2^4.$

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