A1 – Ganzrationale Funktion

Anmerkung zur Prüfungssituation
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=4x^4-5x^2+1$ ; $x\in\mathbb{R},$ deren Graph $K_f$ ist.

Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen und begründe, warum der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Berechne die Koordinaten der Tiefpunkte und gib die Gleichung der Tangente im Hochpunkt an.

Beschreibe, wie man die Gleichung der Tangente im Punkt $B_1(1\mid f(1))$ aufstellt und wie man die entsprechende Gleichung der Tangente im Punkt $B_2(-1\mid f(-1))$ erhält.

Die Tangente an $K_f$ im Punkt $P(0,5\mid f(0,5))$ bildet zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Beschreibe, wie man den Flächeninhalt dieses Dreiecks berechnen kann.

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Die Schnittpunkte lassen sich ablesen. Die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse sind $N_1(-1\mid 0),$ $N_2(-0,5\mid 0),$ $N_3(0,5 \mid 0)$ und $N_4(1 \mid 0).$

Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse lautet $S_y(0\mid 1).$

Der Graph ist symmetrisch zur $y$ -Achse, da die Funktion $f$ lediglich gerade Exponenten aufweist.

Koordinaten der Tiefpunkte berechnen

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich $x_1=0$ und

$\begin{array}[t]{rll} 8x^2-5&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+5 \mid \; :8 \\[5pt] x^2&=&\dfrac{5}{8} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_{2 /3}&=& \pm \sqrt{\frac{5}{8}} \end{array}$

Mögliche Extremstellen sind also $x_1=0,$ $x_2= - \sqrt{\frac{5}{8}}$ und $x_3= \sqrt{\frac{5}{8}}.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da $\(f$ liegt an der Stelle $x_2$ ein Minimum vor.

Wegen der Symmetrie zur $y$ -Achse und mit Hilfe der Abbildung kann darauf geschlossen werden, dass an der Stelle $x_3= \sqrt{\frac{5}{8}}$ ebenfalls ein Minimum vorliegt.

$\begin{array}[t]{rll} f\left(\sqrt{\frac{5}{8}} \right)&=&4\cdot \left(\sqrt{\frac{5}{8}} \right)^4-5\cdot \left(\sqrt{\frac{5}{8}} \right)^2+1 \\[5pt] &=&\dfrac{4 \cdot 5^2}{8^2}- \dfrac{5\cdot 5}{8}+1 \\[5pt] &=&\dfrac{25}{16}- \dfrac{25}{8}+1 \\[5pt] &=& \dfrac{25}{16}- \dfrac{50}{16}+\dfrac{16}{16} \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{16} \end{array}$

Wegen der Achsensymmetrie gilt ebenfalls $f\left(-\sqrt{\frac{5}{8}} \right) = -\dfrac{9}{16}$

Somit folgen die Koordinaten der Tiefpunkte mit $T_1\left(\left(-\sqrt{\frac{5}{8}} \right) \mid -\dfrac{9}{16} \right)$ und $T_2\left(\left(\sqrt{\frac{5}{8}} \right) \mid -\dfrac{9}{16} \right).$

Gleichung der Tangente im Hochpunkt angeben

Die Stelle $x_1=0$ entspricht einem Maximum, da sie zwischen den beiden Tiefpunkten liegt.

Die Steigung einer Tangente im Hochpunkt beträgt $\(m=f$ Der $y$ -Achsenabschnitt von $f$ ergibt sich zu $f(0)=1.$

Daher lautet die Gleichung der Tangente $y=1.$

Aufstellen der ersten Ableitungsfunktion
Berechnung der Steigung durch Einsetzen von $x_1=1$ in die erste Ableitungsfunktion
Allgemeine Geradengleichung $y=m\cdot x+c$
Einsetzen von $B_1(1 \mid f(1))$ sowie der Steigung ergibt die Tangentengleichung

Die Gleichung der Tangente in $B_2$ entspricht der Gleichung der Tangente in $B_1$ mit der Steigung $m_2=-m_1$ , da der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist.

Tangentengleichung aufstellen
Schnittpunkte $S_x$ und $S_y$ der Tangente mit den Koordinatenachsen bestimmen
Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit $A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b.$
$a$ entspricht der $x$ -Koordinate von $S_x,$ $b$ der $y$ -Koordinate von $S_y,$ da das Dreieck im ersten Quadranten liegt.

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