Betrachtet werden die in definierten Funktionen mit , , . Der Graph von wird mit bezeichnet.

Gib die Nullstellen von an.

Begründe, dass der Punkt der Hochpunkt von ist.

Bestimme den Abstand der Hochpunkte von und .

Berechne denjenigen Wert von , für den der Inhalt der Fläche, die von mit der x-Achse einschließt, beträgt.

Gib die Stellen an, an der jede Stammfunktion von ihr Maximum annimmt. Begründe die Angabe ohne Verwendung eines Terms einer Stammfunktion.

Die Nullstellen von ergeben sich mit dem Satz vom Nullprodukt zu und

Bei handelt es sich um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Dies erkennt man durch Ausmultiplizieren von Der zugehörige Graph ist eine achsensymmetrische Parabel. Die Symmetriachse verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt der Parabel. Wegen und dem negativen Vorzeichen handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Scheitelpunkt ist also ein Hochpunkt.
Die Nullstellen von sind und Aufgrund der Symmetrie muss der Hochpunkt daher an der Stelle liegen.
Die zugehörige y-Koordinate ist:

Die x-Koordinate des Hochpunkts aller Funktionen ist identisch. Der Abstand ergibt sich also lediglich über die y-Koordinate: Der Abstand der Hochpunkte von und beträgt 16 LE.

Für beträgt der Inhalt der von mit der -Achse eingeschlossenen Fläche

Wenn eine Stammfunktion von ist, so ist
Eine Maximalstelle von liegt genau an der Stelle vor, an der ihre erste Ableitungsfunktion eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ besitzt.
besitzt eine solche Nullstelle bei Jede Stammfunktion von nimmt ihr Maximum also an der Stelle an.