S1 – Binomialverteilung
Anmerkung zur Prüfungssituation
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR) In einem großen Unternehmen sind 25 % der Beschäftigten weiblich. Es werden 50 Beschäftigte zufällig ausgewählt. Die Anzahl der weiblichen Beschäftigten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße
beschrieben werden.
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR) In einem großen Unternehmen sind 25 % der Beschäftigten weiblich. Es werden 50 Beschäftigte zufällig ausgewählt. Die Anzahl der weiblichen Beschäftigten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 12 der ausgewählten Beschäftigten weiblich sind.
b)
Beschreibe die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang:
c)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 50 ausgewählten Beschäftigten die Anzahl derjenigen, die nicht weiblich sind, viermal so groß ist wie die Anzahl der weiblichen.
d)
Begründe ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeit, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von bei 12 oder 13 den größten Wert hat.
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a)
Betrachtet wird die Zufallsgröße , die die Anzahl der weiblichen unter 50 zufällig ausgewählten Beschäftigten beschreibt. kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit 
und 
angenommen werden.
Mithilfe einer Tabelle zur summierten Binomialverteilung ergibt sich dann:
%
Mithilfe einer Tabelle zur summierten Binomialverteilung ergibt sich dann:
b)
Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Beschäftigten höchstens 10 weibliche Beschäftigte zufällig ausgewählt werden.
c)
Zunächst musst du ausrechnen wieviele Angestellte weiblich sind.
Es gilt
und somit ist 
.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 50 zufällig ausgewählten Beschäftigten genau 40 nicht weiblich sind, beträgt:
%
Es gilt
d)
Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnest du mit 
. Der Erwartungswert hat bei einer Binomialverteilung die größte Wahrschinlichkeit. In einer Binomialverteilung kann die Zufallsgröße keinen ungeraden Wert annehmen und hat somit ihren größten Wert bei 12 oder 13.