AG7 – Gerade und Ebene
Anmerkung zur Prüfungssituation
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR) Die Punkte
und 
liegen auf der Geraden 
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR) Die Punkte
a)
Überprüfe, ob der Punkt 
auf der Geraden 
liegt.
b)
Zeige, dass die Gerade in der Ebene 
liegt.
Ermittle die Gleichung einer weiteren Ebene, die auch die Gerade enthält.
Ermittle die Gleichung einer weiteren Ebene, die auch die Gerade
c)
Bestimme die Koordinaten eines weiteren Punktes, der auf der Geraden liegt und vom Punkt 
den Abstand 9 hat.
d)
Beschreibe, wie die Koordinaten eines weiteren Punktes bestimmt werden können, der mit den Punkten und 
ein gleichseitiges Dreieck bildet.
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a)
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
2. Schritt: Punktprobe
![\(\begin{array}[t]{rll}
\pmatrix{0\\2\\-2}&=& \pmatrix{2\\1\\0} + s \cdot \pmatrix{2\\-1\\2} &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{2\\1\\0} \\[5pt]
\pmatrix{-2\\1\\-2}&=& s \cdot \pmatrix{2\\-1\\2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3477d245e9b6e3e991d9a948d16bf3342afdd9a68086ffe80319f6355df2db08?color=5a5a5a)
Die Gleichung ist für 
erfüllt und somit liegt der Punkt 
auf der Geraden
b)
Nachweis
Aus der Geradengleichung lässt sich
und 
ablesen. 
und 
werden in die Ebenengleichung 
eingesetzt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2+2\cdot s+2 \cdot (1-s) &=& 4 \\[5pt]
2+2\cdot s+2-2s &=& 4 \\[5pt]
4&=& 4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5ff967e7b8fbcce6367e93b28a19132689c67221103dc6a90dc54674c82b93d4?color=5a5a5a)
Aufgrund der wahren Aussage liegt in 
Weitere Ebene ermitteln
Die Gleichung einer weiteren Ebene, die auch die Gerade enthält, wird mithilfe des Stützvektors 
dem Richtungsvektor 
und einem weiteren Vektor, der zu weder parallel noch orthogonal ist, aufgestellt. Es folgt beispielsweise:
Aus der Geradengleichung lässt sich
Die Gleichung einer weiteren Ebene, die auch die Gerade
c)
Gesucht sind die Koordinaten eines Punktes 
der den Abstand 9 von in Richtung hat. Die Koordinaten ergeben sich mit dem normierten Richtungsvektor:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OD}&=& \dfrac{9}{ \left| \pmatrix{2\\-1\\2} \right|} \cdot \pmatrix{2\\-1\\2} \\[5pt]
&=& \pmatrix{2\\1\\0}+ 3 \cdot \pmatrix{2\\-1\\6} \\[5pt]
&=&\pmatrix{8 \\-2 \\6}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/03bb8c668af030f0e96bdeea93803097d4c7d890153fb4756106ed6d5dce7a86?color=5a5a5a)
d)
Zunächst muss der Mittelpunkt 
der Strecke bestimmt werden. Dann wird eine Geradengleichung aufgestelt, deren Gerade senkrecht zur Strecke ist.
Für einen passenden Punkt 
auf der Geraden gilt: 