AG2 – Gerade und Ebene

Anmerkung zur Prüfungssituation
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR)

Gegeben sind die Gerade $g$ mit

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{-2\\-1\\2}+s\cdot\pmatrix{2\\1\\2};s\in\mathbb{R}$

sowie die Ebene $E$ mit

$E:-2x_1-4x_2+4x_3=-2.$

Bestimme den Schnittpunkt von $g$ mit der $x_1x_2$ -Ebene.

Zeige, dass die Gerade $g$ parallel zur Ebene $E$ ist und beschreibe, wie man den Abstand von $E$ und $g$ bestimmen kann.

Welche gegenseitige Lage kann eine Gerade und eine Ebene im Raum haben? Beschreibe, wie man die gegenseitige Lage bestimmen kann.

Die Ebene $F$ ist senkrecht zur Ebene $E$ . Erläutere ein Verfahren, wie man die Gleichung einer Ebene $F$ bestimmen kann und gib eine mögliche Gleichung an.

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Die Ebenengleichung der $x_1x_2$ -Ebene lautet $x_3=0.$
Um den Schnittpunkt zu berechnen, wird die $x_3$ -Koordinate der Geraden in die Ebenengleichung eingesetzt.

$\begin{array}[t]{rll} 2+2s&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 2s&=&-2&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] s&=&-1 \end{array}$

$s$ in $g$ eingesetzt ergibt den Ortsvektor des Schnittpunkts $S$ :

$\overrightarrow{s}=\pmatrix{-2\\-1\\2}-1\cdot\pmatrix{2\\1\\2}=\pmatrix{-4\\-2\\0}$

$S(-4\mid -2\mid 0)$

Zeigen, dass $g$ parallel zu $E$ ist

Damit $g$ parallel zu $E$ ist, muss das Skalarprodukt des Normalenvektors von $E$ mit dem Richtungsvektor von $g$ gleich Null sein. Zudem darf der Stützvektor von $g$ nicht in $E$ enthalten sein.

$\pmatrix{-2\\-4\\4}\circ\pmatrix{2\\1\\2}=0$

$-2\cdot 2-4\cdot 1+4\cdot2=0$

$0=0$

Überprüfen, ob Stützvektor in $E$ enthalten ist:

$-2(-2)-4(-1)+8=-2$

$16\neq -2$

Somit ist $g$ parallel zu $E.$

Beschreiben, wie Abstand berechnet werden kann

Aufstellen einer Hilfsgeraden $h$ , die senkrecht zu $E$ steht und den Stützpunkt von $g$ enthält
Schnittpunkt $S_h$ von $h$ mit $E$ berechnen
Abstand zwischen Stützvektor von $g$ und Punkt $S_h$ berechnen

Dieser Abstand entspricht dem Abstand zwischen $E$ und $g.$

Mögliche gegenseitige Lagen einer Gerade mit einer Ebene

Gerade schneidet die Ebene
Gerade ist parallel zur Ebene
Gerade liegt in der Ebene

Gegenseitige Lage einer Gerade mit einer Ebene bestimmen

Die Gerade und die Ebene werden auf gemeinsame Punkte überprüft. Das genaue Vorgehen unterscheidet sich je nach Form der Ebenengleichung.

Fall A: Ebenengleichung in Koordinatenform

Einsetzen der x-, y- und z-Koordinaten der Gerade in die Ebenengleichung
Es ergibt sich eine Gleichung mit einer Variablen.
Die Lage der Gerade zur Ebene hängt von der Anzahl der Lösungen ab:
- eine Lösung: Gerade schneidet die Ebene
- keine Lösung: Gerade verläuft parallel zur Ebene
- unendlich viele Lösungen: Gerade liegt in der Ebene

Fall B: Ebenengleichung in Parameterform

Gleichsetzen der Parameterdarstellungen der Ebene und der Gerade
Aus der Gleichung lässt sich ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen bilden.
Die Lage der Gerade zur Ebene hängt von der Anzahl der Lösungen ab:
- eine eindeutige Lösung: Gerade schneidet die Ebene
- keine Lösung: Gerade verläuft parallel zur Ebene
- unendlich viele Lösungen: Gerade liegt in der Ebene

Die beiden Normalenvektoren von $E$ und $F$ müssen senkrecht zueinander sein. Zwei Vektoren sind dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

$\pmatrix{-2\\-4\\4}\circ\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}=0$

$-2n_1-4n_2+4n_3=0$

Durch Ausprobieren erhält man $\pmatrix{0\\1\\1}$ als möglichen Normalenvektor von $F.$

Somit ist z.B. $F:x_2+x_3=1$ eine mögliche Gleichung von $F.$

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