S2 – Qualitätssicherung
Anmerkung zur Prüfungssituation
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR) Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft. Es soll angenommen werden, dass die Anzahl fehlerhafter Geräte unter zufällig ausgewählten Bildschirmen durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann.
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR) Eine Firma stellt Flachbildschirme her. Im Mittel ist einer von fünf hergestellten Bildschirmen fehlerhaft. Es soll angenommen werden, dass die Anzahl fehlerhafter Geräte unter zufällig ausgewählten Bildschirmen durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
„Von 50 zufällig ausgewählten Bildschirmen sind höchstens 8 fehlerhaft.“
„Von 200 zufällig ausgewählten Bildschirmen sind mehr als 30 und weniger als 50 fehlerhaft.“
b)
Bestimme die Anzahl fehlerhafter Geräte, die unter 250 zufällig ausgewählten Bildschirmen mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.
c)
Beurteile die folgende Aussage:
Wird eine Stichprobe von Bildschirmen um einen zufällig ausgewählten Bildschirm ergänzt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Geräte fehlerfrei sind, nach der Ergänzung geringer als vorher.
d)
Der Herstellungsprozess soll verbessert werden. Damit soll erreicht werden, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 25 zufällig ausgewählten Bildschirmen keiner fehlerhaft ist, mindestens 10 % beträgt. Ermittle, wie groß der Anteil fehlerhafter Geräte nach der Verbesserung höchstens sein darf.
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a)
Betrachte die Zufallsgröße 
die die Anzahl fehlerhafter Geräte unter 
zufällig ausgewählten Bildschirmen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit und 
angenommen werden.
Mithilfe einer geeigneten Tabelle zur summierten Binomialverteilung ergibt sich dann:
Mithilfe einer geeigneten Tabelle zur summierten Binomialverteilung ergibt sich dann:
b)
Betrachte die binomialverteilte Zufallsgröße 
aus der vorherigen Teilaufgabe. Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße hat immer die Anzahl der Treffer, die dem Erwartungswert entspricht die höchste Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße mit den Parametern 
und 
ergibt sich zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\mu&=& n\cdot p \\[5pt]
&=& 250 \cdot 0,2 \\[5pt]
&=& 50
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/53bfa34ebc26f101022815bb17272eb976aa817c3bfe566a8d76a4a57e25b8d1?color=5a5a5a)
Mit der höchsten Wahrscheinlichkeit treten unter 
Bildschirmen 
fehlerhafte Bildschirme auf.
c)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bildschirm fehlerfrei ist, beträgt 
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von Bildschirmen alle fehlerfrei sind, ist also 
Analog beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von
Bildschirmen alle fehlerfrei sind 
Eine Umformung der zweiten Wahrscheinlichkeit liefert:
Der Term 
wird also mit einem Faktor multipliziert, der kleiner als 
ist. Dadurch gilt:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Bildschirme fehlerfrei sind, sinkt also mit jedem Bildschirm, um den die Stichprobe ergänzt wird.
Analog beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von
Eine Umformung der zweiten Wahrscheinlichkeit liefert:
d)
Betrachte die Zufallsgröße 
die die Anzahl fehlerhafter Geräte unter 
zufällig ausgewählten Bildschirmen beschreibt. Diese kann aus den gleichen Gründen wie 
als binomialverteilt angenommen werden. Es ist 
und 
unbekannt.
Es ist so zu wählen, dass 
beträgt. Forme diese Ungleichung mithilfe der Formel für die Binomialverteilung um:
Der Anteil fehlerhafter Geräte darf nach der Verbesserung höchstens ca. 
betragen.
Es ist
