S4 – IQ-Test

Anmerkung zur Prüfungssituation
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR)

Im Abi-Jahrgang nehmen 50 Schüler*innen an einem IQ-Test teil.

IQ	Anzahl
70	0
85	2
100	24
115	21
130	2
145	1

Stelle dar, wie der Erwartungswert und die Standardabweichung für den Intelligenzquotienten (IQ) bestimmt werden können.

Der Intelligenzquotient ist normalverteilt mit $\mu= 100$ und $\sigma=15.$
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: „Ein*e Schüler*in hat mindestens einen IQ von 90.“
B: „Der IQ einer Schülerin/eines Schülers weicht um weniger als $2\;\%$ vom Erwartungswert ab. “

In Abbildung 1 sind mögliche Glockenkurven im Intervall $[30; 165]$ abgebildet, von denen eine den Sachzusammenhang darstellt.

Ordne zu, welcher der beiden Graphen zur Normalverteilung aus Teilaufgabe b) gehört und begründe.
Gib eine Normalverteilung an, zu der der andere Graph gehört.

Diagramm mit zwei Kurven, G1 in Grau und G2 in Grün, dargestellt auf einem Koordinatensystem.

Abbildung 1

Beschreibe, wie sich die Glockenkurve ändert, wenn $\mu$ größer wird, und beschreibe, wie sich die Glockenkurve ändert, wenn $\sigma$ größer wird.

Grafik einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer markierten Fläche, die einen bestimmten Bereich hervorhebt.

Abbildung 2

Beurteile: "Der Inhalt der in Abbildung 2 markierten Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein*e Schüler*in einen IQ zwischen 100 und 120 hat."

Gib die Wahrscheinlichkeit ohne Rechnung an.

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Der Erwartungswert $\mu$ für den IQ ergibt sich, indem die angegebenen IQ-Werte mit der zugehörigen Anzahl an Schüler*innen multipliziert, die Ergebnisse addiert und dann durch die Gesamtanzahl der Schüler*innen geteilt werden.

Die Standardabweichung $\sigma$ berechnet sich folgendermaßen: Es wird die Abweichung der einzelnen IQ-Werte vom Erwartungswert bestimmt, dann quadriert und mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert, die Ergebnisse dann addiert und daraus wird die Wurzel gezogen.

Die Zufallsvariable $X$ wird für den IQ festgelegt und ist normalverteilt mit $\mu =100$ und $\sigma = 15.$ Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse ergeben sich mit der kumulierten Normalverteilung mit dem WTR.

$P(A) = P(X \geq 90) \approx 0,7475$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P(B)=...$

Das Maximum der beiden Graphen liegt an der Stelle $x= \mu = 100.$ Einsetzen in $\varphi_{\mu; \sigma}(x)= \dfrac{1}{\sigma\cdot \sqrt{2 \pi}}\mathrm e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}$ ergibt den Maximalwert.

Graph zuordnen
Wegen $\varphi_{100; 15}(100)= \dfrac{1}{15 \cdot \sqrt{2 \pi}}\mathrm e^{-\frac{(100-100)^2}{2 \cdot 15^2}}$ $\approx 0,027$ lässt sich $G_2$ der Normalverteilung des IQs zuordnen.

Normalverteilung angeben
Aus der Abbildung lässt sich die linke Wendestelle von $G_1$ an der Stelle $x \approx 70$ ablesen. Somit ist $\sigma \approx 100-70=30.$

Einsetzen in die Dichtefunktion für eine Gegenprobe:

$\varphi_{100; 30}(100)= \dfrac{1}{30 \cdot \sqrt{2 \pi}}\mathrm e^{-\frac{(100-100)^2}{2 \cdot 30^2}}$ $\approx 0,014$

Dieser Wert entspricht dem Wert des Maximums, der auch ungefähr aus der Abbildung abgelesen werden kann. Die Normalverteilung $\mu=100$ und $\sigma \approx 30$ gehört zu Graph $G_1.$

Wenn $\mu$ größer wird, wird die Glockenkurve entlang der $x$ -Achse in positiver Richtung verschoben, da bei $x= \mu$ das Maximum ist. An der Form der Glockenkurve ändert sich nichts.

Wenn $\sigma$ größer wird, wird die Glockenkurve in $y$ -Richtung gestaucht und in $x$ -Richtung gestreckt, denn der Flächeninhalt unter der Kurve bleibt gleich. Das Maximum bleibt bei $x= \mu.$

Die Aussage ist falsch. Richtig ist: Der Inhalt der in Abbildung 2 unter der Glockenkurve markierten Fläche entspricht der Wahrscheinlichkeit der kumulierten Normalverteilung und dafür, dass ein*e Schüler*in einen IQ zwischen 110 und 120 hat.

Anhand der Anzahl an Kästchen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein*e Schüler*in einen IQ zwischen 110 und 120 hat, mit $0,16,$ was $16\;\%$ entspricht.

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