Eine Funktion ist durch den Funktionsterm definiert. Ordne dem Funktionsterm einem Graphen aus der Abbildung begründet zu. Einer der Graphen und beschreibt die Ableitungsfunktion von und der andere eine Stammfunktion von Ordne zu und begründe.

Beschreibe, wie der Inhalt der Fläche, die von den Graphen und eingeschlossen wird, berechnet werden kann. Gib einen Term an.

Berechne die Koordinaten der Extrempunkte von

Überprüfe: Begründe sowohl graphisch als auch rechnerisch.

Der gegebene Funktionsterm entspricht einer ganzrationalen Funktion vierten Grades mit geraden Exponenten. Deshalb muss der Graph symmetrisch zur -Achse sein. In der Abbildung ist nur ein Graph zu erkennen, der dieses Verhalten aufweist, nämlich der Graph von
Somit eindeutig durch den Funktionsterm beschrieben werden. schneidet die -Achse an den Stellen, an denen seine Extremstellen hat. Des Weiteren verläuft in den Bereichen unterhalb bzw. oberhalb der -Achse, in denen streng monoton fallend bzw. streng monoton steigend ist.
Somit entspricht dem Graphen der Ableitungsfunktion von Durch Ausschlussverfahren entspricht dem Graphen einer Stammfunktion von

In der Abbildung ist erkennbar, dass stets oberhalb von verläuft. Die beiden Graphen schneiden sich an drei Stellen: und Es gibt also zwei Teilflächen, deren Flächeninhalt jeweils mit einem Integral berechnet werden kann. Da stets oberhalb von verläuft, ergibt sich die Differenzfunktion mit Daraus folgt der Term

ist die erste Ableitungsfunktion von (Begründung siehe Teilaufgabe a)) Funktionsgleichung: 1. Schritt: Die ersten beiden Ableitungen bilden 2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden und 3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden Es gilt: Daraus folgen die Koordinaten des Hochpunkts mit und die Koordinaten des Tiefpunkts mit

Zwei Möglichkeiten mithilfe der Abbildung Eine Möglichkeit ist: Zählen der Kästchen der Fläche, die der Graph von mit der -Achse einschließt. Es sind ca. 16 Kästchen und somit ca. Da die Fläche unterhalb der -Achse liegt, hat der Wert des Integrals ein negatives Vorzeichen. Daraus folgt: Eine weitere Möglichkeit ist: Ablesen der Funktionswerte am Graphen der Stammfunktion und Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung. Es gilt folglich: Überprüfung durch Rechnen