A5 – Palme
Anmerkung zur Prüfungssituation
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner (WTR) Betrachtet wird das Wachstum einer Palme.
Ihre Höhe beträgt zu Beobachtungsbeginn einen Meter, die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ihrer Höhe wird durch die Funktion
mit 
; 
(
in Jahren nach Beobachtungsbeginn, 
in Metern pro Jahr) beschrieben.
Die Abbildung zeigt den Graphen von 
beschreibt im folgenden die Höhe der Palme zum Zeitpunkt (in Jahren nach Beobachtungsbeginn).
Formuliere eine Fragestellung im Sachzusammenhang, die auf die Gleichung 
führt.
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner (WTR) Betrachtet wird das Wachstum einer Palme.
Ihre Höhe beträgt zu Beobachtungsbeginn einen Meter, die momentane Wachstumsgeschwindigkeit ihrer Höhe wird durch die Funktion
(
a)
Berechne an der Stelle 
und interpretiere den Wert im Sachzusammenhang.
b)
Begründe anhand des Verlaufs des Graphen, dass die Höhe der Palme im abgebildeten Zeitraum nie abnimmt.
c)
Gib den Zeitpunkt an, zu dem die Palme ungefähr eine Höhe von 5 Metern hat.
d)
Zeige, dass 
eine Stammfunktion von ist.
Berechne die Höhe der Palme im zweiten Jahr nach Beobachtungsbeginn.
e)
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a)
Mit dem WTR ergibt sich 
Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit wird durch die Funktion modelliert. Also wächst die Palme 1,5 Jahre nach Beobachtungsbeginn mit einer Geschwindigkeit von 1,73 Metern pro Jahr.
b)
Die Höhe der Palme nimmt im abgebildeten Zeitraum nie ab, da der Graph der Funktion im abgebildeten Zeitraum nur oberhalb der -Achse verläuft. Somit ist die Wachstumsgeschwindigkeit im abgebildeten Zeitraum stets positiv.
c)
Zu Beobachtungsbeginn hat die Palme eine Höhe von einem Meter. Folglich muss die Stelle gefunden werden, für die der Inhalt der Fläche, die der Graph und die -Achse im Intervall ![\([0;t]\)](https://mathjax.schullv.de/44bd19c8d46989227acb5541af2f57f3aeeebafc33e9b850dd8e6e31071537c1?color=5a5a5a)
einschließen, vier Flächeneinheiten ergibt.
Eine Flächeneinheit besteht aus vier Kästchen.
Also werden 16 Kästchen benötigt. Dies ist im Intervall ![\([0; 2,25]\)](https://mathjax.schullv.de/2b28586b2febc8666cba09b95352d6cec3fd41f8a83be45311b9ccd8c036d5d3?color=5a5a5a)
der Fall.
Nach ungefähr 2,25 Jahren hat die Palme eine Höhe von 5 Metern.
d)
Nachweis der Stammfunktion
Höhe der Palme im zweiten Jahr
e)
„In welchem Halbjahreszeitraum nimmt die Höhe der Palme um 50 % zu?“