A12 – Trigonometrische Funktionen
Anmerkung zur Prüfungssituation
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR) Gegeben ist eine Funktion
mit 
Vorbereitungszeit: 20 min
Zugelassene Hilfsmittel: Merkhilfe & Taschenrechner (WTR) Gegeben ist eine Funktion
mit
a)
In der Abbildung ist der Graph von dargestellt.
Erkläre, wie der Graph von aus dem Graphen von 
hervorgeht.
dargestellt.
aus dem Graphen von hervorgeht.
b)
In einer der beiden folgenden Abbildungen ist der Graph der Ableitungsfunktion 
dargestellt.
Entscheide begründet, in welcher Abbildung der Graph von dargestellt ist.
dargestellt.
Abbildung 1
Abbildung 2
dargestellt ist.
c)
Begründe ohne zu rechnen, dass 
gilt.
gilt.
d)
Berechne 
und deute das Ergebnis geometrisch.
und deute das Ergebnis geometrisch.
e)
Beurteile die folgende Aussage:
„Eine trigonometrische Funktion ist durch die Angabe der Koordinaten eines beliebigen Hochpunkts und eines beliebigen Tiefpunkts ihres Graphen eindeutig bestimmt.“
„Eine trigonometrische Funktion ist durch die Angabe der Koordinaten eines beliebigen Hochpunkts und eines beliebigen Tiefpunkts ihres Graphen eindeutig bestimmt.“
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a)
geht aus dem Graphen von wie folgt hervor:
- Streckung um 1,5 in
-Richtung - Verschiebung um
in negative 
-Richtung - Verschiebung um 2 in -Richtung
in negative -Richtung, gilt: 
b)
Beim graphischen Ableiten gilt:
Die Extremstellen der Funktion entsprechen den Nullstellen der Ableitungsfunktion 
hat an der Stelle 
eine Extremstelle.
Der Graph in Abbildung 1 hat an der Stelle eine Nullstelle.
Der Graph in Abbildung 2 hat an der Stelle keine Nullstelle. Somit wird in Abbildung 1 der Graph von dargestellt.
Die Extremstellen der Funktion
entsprechen den Nullstellen der Ableitungsfunktion
hat an der Stelle eine Extremstelle.
Der Graph in Abbildung 1 hat an der Stelle eine Nullstelle.
Der Graph in Abbildung 2 hat an der Stelle keine Nullstelle. Somit wird in Abbildung 1 der Graph von dargestellt.
c)
beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der -Achse im Intervall ![\([- \pi ; 0]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/afe327de8c77323a6d917e14eacfb1762139bdf11db785ad6ea3ff344a1d0a7b_light.svg)
einschließt. Da der Graph von in diesem Intervall oberhalb der -Achse verläuft, ist der Wert des Integrals positiv.
beschreibt den Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der -Achse im Intervall ![\([0; \pi]\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1f39da3cff2338f0b5ad4786ccfdb31a9174f8c66c93b0701ca5ad13aa3a0d78_light.svg)
einschließt. Da der Graph von in diesem Intervall unterhalb der -Achse verläuft, ist der Wert des Integrals negativ.
Wegen der Punktsymmetrie sind sind beide Teilflächen gleich groß, sodass die Beträge der Integrale gleich sind.
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
& & \displaystyle\int_{0}^{\pi}(f(x)-5)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(1,5 \cdot \cos(x)+2-5 \right)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(1,5 \cdot \cos(x)-3\right)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \left[-1,5 \cos(x)-3x \right]_0^{\pi}\\[5pt]
&=& -1,5 \cdot \cos(\pi)-3\cdot \pi -(-1,5 \cos(0)-3\cdot 0)) \\[5pt]
&\approx& -9,42
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f6ac4f68d953f79c32f65f1ffe43561940d367794aa805bc6b5dc89023de395f_light.svg)
Der Inhalt der Fläche, die zwischen und der Geraden mit der Gleichung 
im Intervall eingeschlossen wird, entspricht ca. 
e)
Eine trigonometrische Funktion verläuft periodisch. Durch die Festlegung eines Hochpunkts und eines Tiefpunkts ist die Periode nicht festgelegt, denn es können beliebig viele weitere Extrempunkte dazwischen liegen.
Die Aussage ist also falsch.
Die Aussage ist also falsch.
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