S8 – Glücksrad
Das abgebildete Glücksrad besteht aus sechs gleich großen Sektoren. Wird das Glücksrad gedreht, so zeigt der Pfeil beim Stillstand auf genau einen Sektor. Bei einem Fest wird folgendes Spiel angeboten:
Zeigt der Pfeil auf die Sonne oder einen Mond, darf ein weiteres Mal gedreht werden. Das Spiel endet, wenn der Pfeil auf eine Wolke zeigt oder der Spieler das Rad schon dreimal gedreht hat. Jeder Spieler darf das Spiel nur einmal spielen.
Zeigt der Pfeil auf die Sonne oder einen Mond, darf ein weiteres Mal gedreht werden. Das Spiel endet, wenn der Pfeil auf eine Wolke zeigt oder der Spieler das Rad schon dreimal gedreht hat. Jeder Spieler darf das Spiel nur einmal spielen.
a)
Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse:
A: Der Spieler dreht dreimal das Glücksrad.
B: Der Spieler dreht das Glücksrad höchstens zweimal auf einen Mond.
b)
Ein Spiel endet mit einer Wolke. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler dann kein Mal Sonne gedreht hat.
Der Besitzer des Glücksrads nimmt vor jedem Spiel einen Euro Einsatz vom Spieler. Immer dann wenn der Spieler die Sonne dreht bekommt er einen Euro ausgezahlt. Ansonsten geht er leer aus. Die Frau des Besitzers hat einige Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet und auf einen Zettel geschrieben.
P(„genau einmal Sonne“)
P(„genau zweimal Sonne“)= 
c)
Berechne den Gewinn pro Spiel, den der Besitzer langfristig im Mittel erwarten kann.
d)
Der Besitzer des Glücksrads fragt sich wie viele Spieler genau einen Euro ausgezahlt bekommen, wenn genau 140 Spieler das Spiel spielen. Die Frau des Besitzers meint, es wären mehr als 30, aber weniger als 40.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Frau des Besitzers recht hat.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Frau des Besitzers recht hat.
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a)
b)
Die folgenden Bezeichnungen werden verwendet:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 
wurde kein Mal Sonne gedreht, wenn ein Spiel mit der Wolke endet.
- W: Das Spiel endet mit einer Wolke
- S: Es wird die Sonne gedreht
Es wird kein Mal Sonne gedreht
c)
Pro Spiel kann der Besitzer im Mittel ca. 
Gewinn erwarten.
d)
Betrachtet wird die Zufallsgröße 
die unter 
Spielern die zufällige Anzahl der Spieler beschreibt, denen genau 
ausgezahlt wird.
Die Spieler bekommen unabhängig voneinander Auszahlungen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einem Spieler genau ausgezahlt wird, ist bei jedem Spieler unabhängig von den anderen gleich. 
ist also binomialverteilt mit 
und 
Mit dem Taschenrechner folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(31 \leq X \leq 39) &\approx& 0,5882 \\[5pt]
&=& 58,82\,\% \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a8c8209ceda67e1b1e44c73d110878f358cbd753ffb15de6890fb35e5f0f2156?color=5a5a5a)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 
hat die Frau des Besitzers recht.
Die Spieler bekommen unabhängig voneinander Auszahlungen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einem Spieler genau