Teil B

Aufgabe B1

1.0

Das Trapez $ABCD$ mit $[AB]\mid\mid [DC]$ ist die Grundfläche des Prismas $ABCDEFGH$ mit der Höhe $[AE]$ (siehe Skizze).

Es gilt: $\overline{AB}=5\,\text{cm}$ ; $\overline{AD}=7\,\text{cm};$ $\sphericalangle BAD=90^{\circ};$ $\overline{DC}=9\,\text{cm};$ $\overline{AE}=7,5\,\text{cm}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1

Zeichne das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ mit der Strecke $[HC],$ wobei $[AB]$ auf der Schrägbildachse und $A$ links von $B$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2};\omega=45^{\circ}.$

Berechne sodann das Maß des Winkels $DHC$ und die Länge der Strecke $[HC].$

[Teilergebnis: $\sphericalangle DHC=50,19^{\circ}$ ]

(4 P)

1.2

Der Punkt $K$ liegt auf der Strecke $[BF].$ Die Strecke $[EK]$ verläuft parallel zur Strecke $[HC].$ Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[EK].$ Die Winkel $P_nAE$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^{\circ} ; 56,31^{\circ}].$

Zeichne die Strecke $[EK]$ sowie das Dreieck $AP_1E$ für $\varphi=15^{\circ}$ in das Schrägbild zu B 1.1 ein.

(1 P)

1.3

Zeige, dass für die Länge der Strecken $[AP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{AP_n}(\varphi)=\dfrac{5,76}{\text{sin}(\varphi+50,19^{\circ})}\,\text{cm}.$

Die Länge der Strecke $[AP_0]$ ist minimal. Gib den zugehörigen Wert für $\varphi$ an.

(3 P)

1.4

Für Punkte $Q_n \in [HC]$ gilt: $\overline{EP_n} =\overline{HQ_n}$ . Die Dreiecke $AP_nE$ sind die Grundflächen der Prismen $AP_nEDQ_nH.$
Zeichne das Prisma $AP_1EDQ_1H$ in das Schrägbild zu B 1.1 ein.
Ermittle sodann durch Rechnung das Volumen der Prismen $AP_nEDQ_nH$ in Abhängigkeit von $\varphi.$

$\left[\text{Ergebnis}: V(\varphi)=\dfrac{151,2\cdot\text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi+50,19^{\circ})}\text{cm}^3\right]$

(3 P)

1.5

Das Volumen des Prismas $AP_2EDQ_2H$ ist um $70\,\%$ kleiner als das Volumen des Prismas $ABCDEFGH$ . Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi$ .

(4 P)

1.6

Bestätige durch Rechnung die obere Intervallgrenze für $\varphi$ .

(3 P)

Aufgabe B2

2.0

Punkte $B_n(x\mid-x+4,5)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=-x+4,5$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$ Für $1,5\lt x\lt14$ sind sie zusammen mit Punkten $A(-1\mid-2),$ $C_n$ liegen auf deren Symmetriesachse $s$ mit der Gleichung $y=2x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$

Für die Diagonalenschnittpunkte $M_n$ der Drachenvierecke $AB_nC_nD_n$ gilt: $\overline{M_nC_n}=0,5\cdot\overline{AM_n}.$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1

Zeichne die Geraden $g$ und $s$ sowie die Drachenvierecke $AB_1C_1D_1$ für $x = 2,5$ und $AB_2C_2D_2$ für $x = 6,5$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \,\text{cm};$ $-6\leqq x \leqq 7 ;$ $-4\leqq y \leqq8$

(4 P)

2.2

Zeige, dass für die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ gilt:

$D_n(-1,40x+3,60\mid0,20x+2,70).$

(3 P)

2.3

Bestimme rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_n.$

(2 P)

2.4

Im Drachenviereck $AB_3C_3D_3$ liegt der Punkt $D_3$ auf der Winkelhalbierenden des 2. und 4. Quadranten.

Bestimme rechnerisch die $x$ -Koordinaten der Punkte $B_3$ und $D_3.$

(3 P)

2.5

Für das Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ gilt: $\sphericalangle B_4AC_4=35^{\circ}.$

Berechne den zugehörigen Wert für $x.$

(3 P)

2.6

Für das Drachenviereck $AB_5C_5D_5$ gilt: $\sphericalangle B_5AD_5=90^{\circ}.$

Begründe, weshalb für den Flächeninhalt $A$ des Drachenvierecks $AB_5C_5D_5$ gilt:

$A=1,5\cdot \overline{AM_5}^2.$

(2 P)

Lösung B1

1.1

$\text{tan}\sphericalangle DHC=\dfrac{9}{7,5}$

$\overline{HC}=\sqrt{9^2+7,5^2}\,\text{cm}$

$\sphericalangle DHC=50,19^{\circ}$

$\overline{HC}=11,72\,\text{cm}$

1.2

Einzeichnen der Strecke $[EK]$ sowie des Dreiecks $AP_1E$ .

1.3

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AP_n}}{\text{sin}\sphericalangle AEK}&=&\dfrac{\overline{AP_n}}{\text{sin}\sphericalangle EP_nA} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \dfrac{\overline{AP_n}(\varphi)}{\text{sin}(50,19^{\circ})}&=&\dfrac{7,5\,\text{cm}}{\text{sin}(180^{\circ}-(50,19^{\circ}+\varphi))}\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{AP_n} (\varphi)&=&\dfrac{5,76\,\text{cm}}{\text{sin}(\varphi+50,19^{\circ})}\,\text{cm}\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$

Für die Strecke $[AP_0]$ gilt: $\varphi=39,81^{\circ}$ .

1.4

Einzeichnen des Prismas $AP_1EDQ_1H$

$\varphi\in\,\,]0^{\circ};56,31^{\circ}]$

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1.5

$\begin{array}[t]{rll} V_{ABCDEFGH}&=&0,5\cdot(5+9)\cdot7\cdot7,5\,\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] V_{ABCDEFGH}&=&367,5\,\text{cm}^3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} 0,3\cdot367,5&=&\dfrac{151,2\cdot\text{sin}(\varphi)}{\text{sin}(\varphi+50,19^{\circ})} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \varphi&=& 46,41^{\circ} \end{array}$

1.6

Für $\varphi$ muss gelten: $\varphi\leqq \sphericalangle KAE$

$\begin{array}[t]{rll} \text{cos}(90^{\circ}-50,19^{\circ})&=&\dfrac{5\,\text{cm}}{\overline{EK}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{EK}&=&6,51\,\text{cm} \end{array}$

$\overline{AK}=6,01\,\text{cm}$

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$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\text{sin}\sphericalangle KAE}{\overline{EK}} &=& \dfrac{\text{sin}(50,19^{\circ})}{\overline{AK}}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \dfrac{\text{sin}\sphericalangle KAE}{6,51\,\text{cm}}&=&\dfrac{\text{sin}(50,19^{\circ})}{6,01\,\text{cm}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \sphericalangle KAE&=&56,31^{\circ} \end{array}$

Folglich muss $\varphi\leqq 56,31^{\circ}$ gelten.

Lösung B2

2.1

2.2

$B_n\stackrel{AC_n}{\longrightarrow}D_n$

$\begin{array}[t]{rll} \text{tan}(\varphi)&=&2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \varphi&=&63,43^{\circ} \end{array}$

Für $\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ; $\times\in\mathbb{R}$ ; $1,5\lt x\lt 14$ gilt:

$\( \pmatrix{x$

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$D_n(-1,40x+3,60|0,20x+2,70)$

2.3

$x_{D_n}=-1,40x+3,60$

$y_{D_n}=0,20x+2,70$

$\begin{array}[t]{rll} x_{D_n}&=&-1,40x+3,60 &\quad \scriptsize \mid\;-3,60 \\[5pt] x_{D_n}-3,60&=&-1,40x &\quad \scriptsize \mid\;:(-1,40) \\[5pt] \dfrac{x_{D_n}-3,60}{-1,40}&=&x \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} y_{D_n}&=&0,20x+2,70 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&0,20\cdot\dfrac{x_{D_n}-3,60}{-1,40}+2,70&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&\dfrac{0,20}{-1,40}\cdot(x{D_n}-3,60)+2,70&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{7}x_{D_n}+\dfrac{3,60}{7}+2,70&\quad \scriptsize \; \\[5pt] y_{D_n}&\approx&-0,14x_{D_n}+3,21 \end{array}$

2.4

$\mathbb{L}=\{ 5,25\}$

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$x_{B_3}=5,25$

$\begin{array}[t]{rll} x_{D_3}&=&-1,40\cdot5,25+3,60 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] x_{D_3}&=&-3,75 \end{array}$

$x\in\mathbb{R}$ ; $1,5\lt x\lt 14$

2.5

$\{B_4 \}=AB_4 ∩g$

$\begin{array}[t]{rll} AB_4:\,\,\,\,y&=&m_{AB_4}\cdot(x-x_A)+y_A &\quad \scriptsize \; \\[5pt] m_{AB_4}&=&\tan(63,43^{\circ}-35^{\circ})\quad \scriptsize \; \\[5pt] m_{AB_4}&=&0,54 \end{array}$

$\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,;1,5\lt x\lt 14$

$\begin{array}[t]{rll} AB_4:\,\,\,\,y&=&0,54\cdot(x+1)-2& \quad \scriptsize \; \\[5pt] 0,54\cdot(x+1)-2&=&-x+4,5 \quad \scriptsize \; \\[5pt] 0,54x-1,46&=&-x+4,5 \quad \scriptsize \mid\;+1,46\mid\;+x \\[5pt] 1,54x&=&5,96 \quad \scriptsize \mid\;:1,54 \\[5pt] x&=&3,87\quad \scriptsize \; \\[5pt] \mathbb{L}&=&\{3,87 \} \end{array}$

$x\in\mathbb{R}\,;1,5\lt x\lt 14$

2.6

Es gilt: $\sphericalangle B_5AD_5=90^{\circ}$ .

Folglich ist das Dreieck $AB_5M_5$ gleichschenklig-rechtwinklig mit $\overline{M_5B_5}=\overline{AM_5}$ .

$\begin{array}[t]{rll} A&=&0,5\cdot\overline{AC_5}\cdot\overline{B_5D_5} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC_5}&=&1,5\cdot\overline{AM_5} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \overline{B_5D_5}&=&2\cdot\overline{AM_5} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 0,5\cdot1,5\cdot\overline{AM_5}\cdot1\cdot\overline{AM_5}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] A&=&1,5\cdot\overline{AM_5}^2 \end{array}$