Teil A

A 1.0

Gegeben ist das Drachenviereck $ABCD$ mit der Symmetrieachse $BD$ und dem Diagonalenschnittpunkt $M$ .
Es gilt: $\overline {AM}= \overline {DM}=2\,\text {cm}$ und $\overline {BD}=6\,\text {cm}$ .
Punkte $E_n$ auf der Strecke $[BM]$ legen zusammen mit den Punkten $A$ , $C$ und $D$ die Drachenvierecke $AE_nCD$ fest. Die Winkel $CE_nA$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \, [53,13^{\circ};180^{\circ}[$ .
Die Zeichnung zeigt das Drachenviereck $ABCD$ und das Drachenviereck $AE_1CD$ für $\varphi=100^{\circ}$ .

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

A 1.1

Zeichne das Drachenviereck $AE_2CD$ für $\varphi=70^{\circ}$ in die Zeichnung zu A 1.0 ein.
Bestätige sodann die untere Intervallgrenze für $\varphi$ durch Rechnung.

(2 P)

A 1.2

Das Drachenviereck $AE_nCD$ rotiert um die Gerade $BD$ .
Zeige, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{8}{3}\cdot \pi \cdot \left(1+\dfrac{1}{\tan \,(0,5\cdot \varphi)}\right)\text {cm}^3$ .

(2 P)

A 1.3

Das Drachenviereck $AE_3CD$ ist ein Quadrat.
Bestimme das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.

(1 P)

A 2.0

Der Punkt $\text A \, (2\mid-1)$ legt zusammen mit den Pfeilen $\overrightarrow{AB_n}(\varphi)=\pmatrix{-3\cdot\sin \varphi +2\\2 \cdot \sin \varphi +2}$ und den Punkten $C_n$ gleichschenklige Dreiecke $AB_nC_n$ mit den Basen $[B_nC_n]$ fest $(\varphi\in [0^{\circ};360^{\circ}])$ .
Es gilt: $\sphericalangle B_nAC_n=30^{\circ}$ .
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

A 2.1

Berechne die Koordinaten des Pfeils $\overrightarrow{AB_1}$ für $\varphi=210^{\circ}$ und zeichne das zugehörige Dreieck $AB_1C_1$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.

(2 P)

A 2.2

Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ .
[Ergebnis: $C_n(-3,60 \cdot \sin \varphi+ 2,73 \mid 0,23 \cdot \sin \varphi +1,73)$ ]

(3 P)

A 2.3

Für welches Maß von $\varphi$ wird die Abszisse der Punkte $C_n$ minimal?
Kreuze an.

$0^{\circ}$

$45^{\circ}$

$90^{\circ}$

$180^{\circ}$

$270^{\circ}$

(1 P)

A 2.4

Für $\varphi\in[0^{\circ};120^{\circ}]$ gibt es das Dreieck $AB_2C_2$ , dessen Punkt $C_2$ auf der $y$ -Achse liegt.
Berechne die Koordinaten des Punktes $B_2$ .

(3 P)

A 3.0

Vitamin $D$ kann im menschlichen Körper produziert werden, wenn Sonnenstrahlung unter bestimmten Bedingungen auf die Haut trifft. Im Winterhalbjahr nimmt daher die Konzentration von Vitamin D im Körper normalerweise ab.
Bei Andreas wurde Ende September eine Anfangskonzentration von $55$ Nanogramm Vitamin D pro Milliliter Blut $(55\dfrac{\text {ng}}{\text {ml}})$ gemessen. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl $x$ der Wochen und der verbleibenden Konzentration $y \dfrac{\text {ng}}{\text {ml}}$ an Vitamin D lässt sich bei Andreas näherungsweise durch die Funktion $f_t$ mit der Gleichung $y=55\cdot0,93^x (\mathbb{G}=\mathbb{R}^+ \, \times \, \mathbb{R}^+)$ beschreiben.

A 3.1

Um wie viel Prozent reduziert sich folglich bei Andreas die Konzentration an Vitamin D in einer Woche? Ergänze.
Die Konzentration reduziert sich in einer Woche um _______ $\%.$

A 3.2

Berechne mithilfe der Funktion $f_1$ die Konzentration an Vitamin D bei Andreas nach 21 Tagen.
Runde auf zwei Nachkommastellen.

(1 P)

A 3.3

Berechne, in welcher Woche sich die Anfangskonzentration an Vitamin D bei Andreas entsprechend der Funktion $f_1$ halbiert.

(2 P)

A 3.4

Bei Stephan wurde gleichzeitig mit Andreas eine Messung begonnen. Bei Stephan lässt sich der Zusammenhang zwischen der Anzahl $x$ der Wochen und der verbleibenden Konzentration $y\dfrac{\text {ng}}{\text {ml}}$ an Vitamin D annähernd durch die Funktion $f_2$ mit der Gleichung $y=51\cdot0,91^x(\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}_0^+)$ beschreiben.
Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, dass die Konzentrationen an Vitamin D zu einem Zeitpunkt bei Stephan und Andreas den gleichen Wert erreichen?
Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.

(1 P)