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Teil B

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Aufgabe B1

1.0  Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=0,75^{x+2}-3$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$.
1.1  Gib die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f_1$ an.
Zeichne sodann den Graphen zu $f_1$ für $x\in[-9;4]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\,\text{cm}$;   $-9\leqq x\leqq 5$;   $-4\leqq y\leqq 8$
(3P)
1.2  Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k=-2$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet.
Zeige rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung $y=-2\cdot 0,75^{x+4}+7$ besitzt $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ und zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in[-9;4]$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
(4P)
1.3  Punkte $A_n\left(x\mid0,75^{x+2}-3\right)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $C_n\left(x\mid-2\cdot0,75^{x+4}+7\right)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind für $x>-6,61$ zusammen mit Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$. Die Strecken $[A_nC_n]$ liegen auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$.
Es gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.
Zeichne das Drachenviereck $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-5$ und das Drachenviereck $A_2B_2C_2D_2$ für $x=1$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
(2P)
1.4  Bestätige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$\overline{A_nC_n}(x)=\left(-2,125\cdot0,75^{x+2}+10\right)$ LE.
(2P)
1.5  Unter den Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Raute $A_3B_3C_3D_3$.
Berechne die Koordinaten des Punktes $B_3$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
(3P)
1.6  Zeige, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:
$A(x)=\left(-6,375\cdot0,75^{x+2}+30\right)$ FE.
Begründe sodann, dass für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ gilt:
$A<30$ FE.
(3P)

Aufgabe B2

2.0  Das gleichschenklige Trapez $ABCD$ hat die parallelen Seiten $[AD]$ und $[BC]$. Der Mittelpunkt der Seite $[AD]$ ist der Punkt $K$, der Mittelpunkt der Seite $[BC]$ ist der Punkt $L$. Das Trapez $ABCD$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH$ (siehe Skizze). Der Punkt $E$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$.
Es gilt: $\overline{AD}=8\,\text{cm}$; $\overline{BC}=12\,\text{cm}$; $\overline{KL}=6\,\text{cm}$; $\overline{AE}=7\,\text{cm}$.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1  Zeichne ein Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$, wobei $[KL]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $K$ links vom Punkt $L$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$; $\omega=45°$.
(2P)
2.2  Der Mittelpunkt der Kante $[EH]$ ist der Punkt $M$, der Mittelpunkt der Kante $[FG]$ ist der Punkt $N$. Für den Punkt $S$ auf $[MN]$ gilt: $\overline{SN}=2\,\text{cm}$.
Punkte $P_n$ auf $[KS]$ bilden zusammen mit den Punkten $K$ und $L$ Dreiecke $KLP_n$. Die Winkel $P_nLK$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0°74,05°]$.
Zeichne die Strecke $[MN]$, den Punkt $S$ sowie das Dreieck $KLP_1$ für $\varphi=45°$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Bestätige rechnerisch, dass der Winkel $LKS$ das Maß $60,26°$ hat.
(3P)
2.3  Zeige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[LP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$\overline{LP_n}(\varphi)=\dfrac{5,21}{\sin\left(\varphi+60,26°\right)}\,\text{cm}$.
Gib die minimale Länge der Strecken $[LP_n]$ an.
(3P)
2.4  Unter den Dreiecken $KLP_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $KLP_2$ mit der Basis $[KP_2]$.
Berechne die Länge der Strecke $[KP_2]$.
(2P)
2.5  Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$ mit den Höhen $[P_nT_n]$ und $T_n$ auf der Strecke $[KL]$. Zeichne die Pyramide $ABCDP_1$ und ihre Höhe $[P_1T_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Zeige sodann rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$V(\varphi)=\dfrac{104,20\cdot\sin\varphi}{\sin\left(\varphi+60,26°\right)}\,\text{cm}^3$.
(3P)
2.6  Die Pyramide $BCGFP_3$ mit der rechteckigen Grundfläche $BCGF$ und der Spitze $P_3$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $ABCDP_3$.
Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi$.
(4P)
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