Teil B

Aufgabe B1

1.0 Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=0,75^{x+2}-3$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

1.1 Gib die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f_1$ an.

Zeichne sodann den Graphen zu $f_1$ für $x\in[-9;4]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\,\text{cm}$ ; $-9\leqq x\leqq 5$ ; $-4\leqq y\leqq 8$

(3P)

1.2 Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k=-2$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet.

Zeige rechnerisch, dass die Funktion $f_2$ die Gleichung $y=-2\cdot 0,75^{x+4}+7$ besitzt $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ und zeichne sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in[-9;4]$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

(4P)

1.3 Punkte $A_n\left(x\mid0,75^{x+2}-3\right)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $C_n\left(x\mid-2\cdot0,75^{x+4}+7\right)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind für $x>-6,61$ zusammen mit Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ . Die Strecken $[A_nC_n]$ liegen auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ .

Es gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ .

Zeichne das Drachenviereck $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-5$ und das Drachenviereck $A_2B_2C_2D_2$ für $x=1$ in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.

(2P)

1.4 Bestätige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_nC_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$\overline{A_nC_n}(x)=\left(-2,125\cdot0,75^{x+2}+10\right)$ LE.

(2P)

1.5 Unter den Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Raute $A_3B_3C_3D_3$ .

Berechne die Koordinaten des Punktes $B_3$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

(3P)

1.6 Zeige, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt:

$A(x)=\left(-6,375\cdot0,75^{x+2}+30\right)$ FE.

Begründe sodann, dass für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke $A_nB_nC_nD_n$ gilt:

$A\lt 30$ FE.

(3P)

Aufgabe B2

2.0 Das gleichschenklige Trapez $ABCD$ hat die parallelen Seiten $[AD]$ und $[BC]$ . Der Mittelpunkt der Seite $[AD]$ ist der Punkt $K$ , der Mittelpunkt der Seite $[BC]$ ist der Punkt $L$ . Das Trapez $ABCD$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH$ (siehe Skizze). Der Punkt $E$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .

Es gilt: $\overline{AD}=8\,\text{cm}$ ; $\overline{BC}=12\,\text{cm}$ ; $\overline{KL}=6\,\text{cm}$ ; $\overline{AE}=7\,\text{cm}$ .

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1 Zeichne ein Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ , wobei $[KL]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $K$ links vom Punkt $L$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45^{\circ}$ .

(2P)

2.2 Der Mittelpunkt der Kante $[EH]$ ist der Punkt $M$ , der Mittelpunkt der Kante $[FG]$ ist der Punkt $N$ . Für den Punkt $S$ auf $[MN]$ gilt: $\overline{SN}=2\,\text{cm}$ .
Punkte $P_n$ auf $[KS]$ bilden zusammen mit den Punkten $K$ und $L$ Dreiecke $KLP_n$ . Die Winkel $P_nLK$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^{\circ}74,05^{\circ}]$ .

Zeichne die Strecke $[MN]$ , den Punkt $S$ sowie das Dreieck $KLP_1$ für $\varphi=45^{\circ}$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Bestätige rechnerisch, dass der Winkel $LKS$ das Maß $60,26^{\circ}$ hat.

(3P)

2.3 Zeige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[LP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{LP_n}(\varphi)=\dfrac{5,21}{\sin\left(\varphi+60,26^{\circ}\right)}\,\text{cm}$ .

Gib die minimale Länge der Strecken $[LP_n]$ an.

(3P)

2.4 Unter den Dreiecken $KLP_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $KLP_2$ mit der Basis $[KP_2]$ .
Berechne die Länge der Strecke $[KP_2]$ .

(2P)

2.5 Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$ mit den Höhen $[P_nT_n]$ und $T_n$ auf der Strecke $[KL]$ . Zeichne die Pyramide $ABCDP_1$ und ihre Höhe $[P_1T_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein.

Zeige sodann rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$V(\varphi)=\dfrac{104,20\cdot\sin\varphi}{\sin\left(\varphi+60,26^{\circ}\right)}\,\text{cm}^3$ .

(3P)

2.6 Die Pyramide $BCGFP_3$ mit der rechteckigen Grundfläche $BCGF$ und der Spitze $P_3$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $ABCDP_3$ .

Berechne den zugehörigen Wert für $\varphi$ .

(4P)

Aufgabe B 1

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge und Wertemenge angeben

Gegeben ist dir die Funktion $f_1$ , von der du zuerst sowohl Definitionsmenge als auch Wertemenge angeben sollst. Des Weiteren sollst du den Graphen von $f_1$ für $x \in \left[-9;4\right]$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Die Definitionsmenge einer Funktion $f$ gibt an, welche $x$ -Werte in eine Funktion eingesetzt werden dürfen:

Da es sich bei $f_1: y=0,75^{x+2}-3$ um eine Exponentialfunktion handelt, sind alle $x$ -Werte aus den reellen Zahlen zulässig. Daraus folgt für die Definitionsmenge:

$\mathbb{D}=\left\{x\mid x\in\mathbb{R}\right\}$

Die Wertemenge einer Funktion $f$ gibt an, welche Funktionswerte die Funktion annehmen kann:

Da $0,75^{x+2}$ immer echt größer als Null und kleiner als unendlich ist, kann die Funktion alle Funktionswerte zwischen minus drei und unendlich annehmen. Für die Wertemenge heißt das:

$\mathbb{W}=\left\{y\mid y\gt -3\right\}$

Das Schaubild mit dem Graphen von $f_1$ sieht wie folgt aus:

$\blacktriangleright$ Orthogonale Affinität

In diesem Aufgabenteil wird der Graph der Funktion $f_1$ durch orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und Affinitätsmaßstab $k=-2$ abgebildet. Anschließend findet noch eine Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}$ statt.
Nun sollst du zeigen, dass die daraus entstandene Funktion $f_2$ die Gleichung $y=-2\cdot0,75^{x+4}+7$ besitzt. Anschließend sollst du $f_2$ in das Koordinatensystem eintragen.

Die orthogonale Affinität streckt einen Punkt $P$ senkrecht zur Affinitätsachse (hier $x$ -Achse) um ein Vielfaches, den Affinitätsmaßstab $k=-2$ . Daraus folgt:

$\(x$

Nun findet noch eine Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ statt, das heißt die neue Funktion $f_2$ wird noch um 2 Einheiten nach links und eine Einheit nach oben verschoben:

$\(y$ kannst du um die Verschiebung nach oben darstellen, indem du einfach $1$ zu $\(y$ dazu addierst. Die Verschiebung von $2$ Längeneinheiten in negative $x$ -Richtung kannst du anpassen, indem du zu $x$ in $\(y$ $2$ dazu addierst. Konkret heißt das (die Veränderungen der Parallelverschiebung sind grün hervorgehoben):

$\(x$ und $\(y$

Die Gleichung von $f_2$ lautet also $y=-2\cdot 0,75^{x+4}+7$

Das Schaubild mit dem Graphen von $f_2$ sieht wie folgt aus:

$\blacktriangleright$ Drachenvierecke zeichnen

In diesem Aufgabenteil werden zunächst die Punkte $A_n\left(x\mid f_1\right)$ und $C_n\left(x\mid f_2\right)$ eingeführt. Diese bilden mit den Punkten $B_n$ und $D_n$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_nB_nC_nD_n$ . Zudem weißt du, dass $\overline{A_nC_n}$ auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke liegen und folgendes gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ .
Nun sollst du $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-5$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=1$ in das Koordinatensystem einzeichnen.

Zuerst berechnest du die Punkte $A_1$ und $A_2$ beziehungsweise $C_1$ und $C_2$ , indem du $x=-5,\;x=1$ in $A_n$ beziehungsweise in $C_n$ einsetzt:

$A_1\left(-5\mid 0,75^{-5+2}-3\right)=A_1\left(-5\mid -0,63\right)$
$C_1\left(-5\mid -2\cdot 0,75^{-5+4}+7\right)=C_1\left(-5\mid 4,33\right)$
$A_2\left(1\mid 0,75^{1+2}-3\right)=A_2\left(1\mid -2,58\right)$
$C_2\left(1\mid -2\cdot 0,75^{1+4}+7\right)=C_2\left(1\mid 6,53\right)$

Da $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ , erhältst du $B_1$ beziehungsweise $B_2$ , indem du $\overrightarrow{A_nB_n}$ zu $A_1$ beziehungsweise $A_2$ dazuaddierst:

$B_1\left(x\mid y\right)=A_1+\overrightarrow{A_nB_n}=B_1\left(-5+3\mid-0,63+2\right)=B_1\left(-2\mid 1,37\right)$
$B_2\left(x\mid y\right)=A_2+\overrightarrow{A_nB_n}=B_2\left(1+3\mid-2,58+2\right)=B_2\left(4\mid -0,58\right)$

Da die Strecken $\overline{A_nC_n}$ auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke liegen, erhältst du die Punkte $D_n$ , indem du die Punkte $B_n$ um $6\,\text{LE}$ nach links verschiebst ( $B_n$ liegt $3\,\text{LE}$ in $x$ -Richtung nach rechts von $A_n$ verschoben; aufgrund von der Symmetrieeigenschaft liegt $D_n$ um $3\,\text{LE}$ in $x$ -Richtung links von $A_n$ ):

$D_1\left(x\mid y\right)=B_1-\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}=D_1\left(-8\mid 1,37\right)$
$D_2\left(x\mid y\right)=B_2-\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}=D_2\left(-2\mid -0,58\right)$

Somit sieht das Koordinatensystem mit den Graphen von $f_1$ und $f_2$ sowie den beiden Drachenvierecken wie folgt aus:

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke $\boldsymbol{A_nC_n}(x)$ berechnen

In diesem Aufgabenteil sollst du die Länge der Strecke ${A_nC_n}$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ berechnen. Dies entspricht dem vertikalen Abstand der Graphen der Funktionen $f_1$ und $f_2$ .

Den vertikalen Abstand der Graphen der Funktionen erhältst du, wenn du die $y$ -Koordinaten beider Punkte und somit die Funktionswerte von $f_2$ und $f_1$ voneinander subtrahierst:

$\begin{array}[t]{rll} A_nC_n(x)&=&\left[f_2-f_1\right]\,\text{LE}\\[5pt] A_nC_n(x)&=&\left[-2\cdot 0,75^{x+4}+7-\left(0,75^{x+2}-3\right)\right]\,\text{LE}&\quad\scriptsize 0,75^{x+4}=0,75^{x+2}\cdot 0,75^{2}\,\text{LE}\\[5pt] A_nC_n(x)&=&\left[-2\cdot 0,75^{x+2}\cdot 0,75^2+7-\left(0,75^{x+2}-3\right)\right]\,\text{LE}\\[5pt] A_nC_n(x)&=&\left[-1,125\cdot 0,75^{x+2}+7-\left(0,75^{x+2}-3\right)\right]\,\text{LE}\\[5pt] A_nC_n(x)&=&\left[-2,125\cdot 0,75^{x+2}+10\right]\,\text{LE} \end{array}$

Folglich ist $A_nC_n(x)=\left[-2,125\cdot 0,75^{x+2}+10\right]\,\text{LE}$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten eines Punktes auf der Raute bestimmen

Unter den Drachenvierecken gibt es die Raute $A_3B_3C_3D_3$ , von der du die Koordinaten des Punktes $B_3$ berechnen sollst. Dabei solltest du ausnutzen, dass bei einer Raute alle Seiten die gleiche Länge besitzen und dass du den Vektor $\overrightarrow{A_3B_3}$ kennst.

Da der vertikale Abstand von $A_n$ und $B_n$ stets $2\,\text{LE}$ beträgt, ist der vertikale Abstand der Punkte $A_3$ und $C_3$ aufgrund der Rauteneigenschaft stets $4\,\text{LE}$ groß. Um zu errechnen, für welchen $x$ -Wert dieser Abstand eintritt, kannst du die im vorigen Aufgabenteil hergeleitete Abstandsfunktion mit $4$ gleichsetzen und nach $x$ auflösen, denn diese gibt gerade den Abstand der Punkte $A_n$ und $C_n$ wieder:

$\begin{array}[t]{rll} 4&=&-2,125\cdot 0,75^{x+2}+10 &\quad \scriptsize \mid\; -10 \\[5pt] -6&=&-2,125\cdot 0,75^{x+2} &\quad \scriptsize \mid\;:-2,125 \\[5pt] 2,82&=&0,75^{x+2} & \quad \scriptsize \text{Anwenden von}\,\log_{10}\,\text{auf beiden Seiten} \\[5pt] \log\,(2,82)&=&\log\, (0,75^{x+2}) \\[5pt] \log\,(2,82)&=&\left(x+2\right)\cdot\log\,(0,75) &\quad \scriptsize \mid\; -2\cdot\log\,(0,75) \\[5pt] \log\,(2,82)-2\cdot\log\,(0,75)&=&x\cdot \log\,(0,75) &\quad \scriptsize \mid\; :\log\,(0,75) \\[5pt] x&=&\dfrac{\left(\log\,(2,82)-2\cdot\log\,(0,75)\right)}{\log\,(0,75)} \\[5pt] x&=&-5,60 \end{array}$

Das liefert dir, dass die Punkte $A_n$ und $C_n$ an der Stelle $x=-5,60$ einen Abstand von $4\,\text{LE}$ besitzen. Damit kannst du die Koordinaten des Punktes $A_3$ berechnen:

$A_3\left(x\mid y\right)=A_3\left(-5,60\mid f_1(-5,6)\right)=A_3\left(-5,60\mid -0,18\right)$

Diesen Punkt musst du nur noch um $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ verschieben, um die Koordinaten des Punktes $B_3$ zu erhalten:

$\overrightarrow{0B_3}=\overrightarrow{0A_3}+\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}-5,60\\-0,18\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2,60\\1,82\end{pmatrix}$

Damit hat der Punkt $B_3$ die Koordinaten $B_3\left(-2,60\mid 1,82\right)$ .

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Drachenvierecke bestimmen

In diesem Aufgabenteil sollst du den Flächeninhalt der Drachenvierecke in Abhängigkeit von $x$ angeben und begründen, warum der Flächeninhalt aller Drachenvierecke echt kleiner als $30\,\text{FE}$ ist. Dazu kannst du die Drachenvierecke in $2$ identische Dreiecke aufteilen und deren Flächeninhalt bestimmen (Skizze):

$A_{Dreieck}=0,5 \cdot G\cdot h$

Da die Länge der Grundfläche ( $f_2-f_1\,\text{FE}$ ) als auch die Höhe (horizontaler Abstand der Punkte $A_n$ und $B_n$ bzw. $D_n$ mit $3\,\text{LE}$ ) bekannt sind, kannst du den Flächeninhalt des Dreiecks $A_nB_nC_n$ wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{A_nB_nC_n}&=&0,5\cdot G\cdot h \quad \scriptsize \\[5pt] A_{A_nB_nC_n}&=&0,5\cdot(f_2(x)-f_1(x))\cdot 3 \\[5pt] A_{A_nB_nC_n}&=&0,5\cdot (-2,125\cdot 0,75^{x+2}+10)\cdot3 \,\text{FE} \\[5pt] \end{array}$

Die Dreiecke $A_nB_nC_n$ und $A_nC_nD_n$ sind aufgrund der Symmetrieachse der Drachenvierecke, welche durch $\overline{A_nC_n}$ verläuft, gleich groß. Folglich gilt für den Flächeninhalt des Drachenvierecks $A_nB_nC_nD_n$ :

$A_{Viereck}=2\cdot A_{A_nB_nC_n}=2\cdot 0,5\cdot (-2,125\cdot 0,75^{x+2}+10)\cdot3=(-6,375\cdot 0,75^{x+2}+30) \,\text{FE}$

Da der Term $-6,375\cdot 0,75^{x+2}$ für alle $x$ -Werte negativ ist, gilt für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke: $A_{Viereck}\lt 30$ .

Aufgabe B 2

$\blacktriangleright$ Schrägbild zeichnen

Gegeben sind das gleichschenklige Trapez $ABCD$ mit den parallelen Seitenlängen $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ . Der Mittelpunkt der Seite $\overline{BC}$ ist der Punkt $L$ , der von $\overline{AD}$ ist $K$ . $ABCD$ ist Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH$ (Skizze) und $E$ liegt senkrecht über $A$ . Zudem kennst du die Längen der Seiten $\overline{AD}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{KL}$ und $\overline{AE}$ . Nun sollst du für $q=0,5$ und $w=45^{\circ}$ das Schrägbild des Prismas zeichnen.

Mit einem Schrägbild kannst du einen dreidimensionalen Körper auf einer ebenen Fläche "räumlich" darstellen. Der Winkel $w=45^{\circ}$ gibt dir die Verzerrung der in die Tiefe verlaufenden Kanten im Schrägbild an. Da $q=0,5$ sind diese im Schrägbild um die Hälfte verkürzt. Dadurch erhältst du folgendes Schrägbild:

$\blacktriangleright$ Winkel bestimmen

Der Mittelpunkt der Seite $\overline{EH}$ ist nun der Punkt $M$ , der Mittelpunkt der Seite $\overline{FG}$ der Punkt $N$ . Für den Punkt $S$ auf $\overline{MN}$ gilt: $\overline{SN}=2\,\text{cm}$ .
Punkte $P_n$ auf $\overline{KS}$ bilden zusammen mit den Punkten $K$ und $L$ Dreiecke $KLP_n$ . Die Winkel $P_nLK$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^{\circ}74,05^{\circ}]$ .
Nun sollst du die Strecke $\overline{MN}$ , den Punkt $S$ sowie das Dreieck $KLP_1$ für $\varphi=45^{\circ}$ in das Schrägbild zu B 2.1 einzeichnen. Zudem sollst du zeigen, dass der Winkel $LKS$ das Maß $60,26^{\circ}$ hat. Dies kannst du mit Hilfe der Tangensfunktion nachweisen.

Um das Maß des Winkels $LKS$ zu bestimmen, kannst du das Dreieck $XKS$ (siehe Zeichnung) betrachten. Die Länge der Strecke $\overline{XS}$ (Gegenkathete zum Winkel LKS) entspricht der Höhe des Prismas und somit der Länge der Strecke $\overline{AE}$ . Die Länge der Ankathete $\overline{KX}$ des Winkels $LKS$ im Dreieck $XKS$ ist die Differenz der Streckenlängen von $\overline{KL}$ und $\overline{SN}$ :

$\tan\sphericalangle LKS=\dfrac{\overline{XS}}{\overline{KL}-\overline{SN}}=\dfrac{7\,\text{cm}}{6\,\text{cm}-3\,\text{cm}}=1,75$

Daraus folgt für den Winkel $\sphericalangle LKS$ :

$\sphericalangle LKS=\tan^{-1}1,75=60,26^{\circ}$

Die Zeichnung mit der Strecke $\overline{MN}$ und dem Dreieck $LKP_1$ beides (orange) sieht wie folgt aus:

$\blacktriangleright$ Streckenlänge berechnen

In diesem Aufgabenteil sollst du die Streckenlänge von $\overline{LP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ bestimmen und anschließend die minimale Länge der Strecke $\overline{LP_n}$ angeben. Diese Aufgabe kannst du am besten unter Verwendung des Sinussatzes lösen.

Da es sich bei dem Dreieck $KLP_n$ weder um ein gleichschenkliges, noch um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, ist es sinnvoll, den Sinussatz anzuwenden:

Sinussatz: $\dfrac{sin\,\alpha}{a}$ = $\dfrac{sin\,\beta}{b}$ = $\dfrac{sin\,\gamma}{c}$

Bezogen auf das Dreieck $KLP_n$ heißt das:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{LP_n(\varphi)}}{\sin\sphericalangle LKP_1}&=&\dfrac{\overline{KL}}{\sin{(180^{\circ}-(60,26^{\circ}+\varphi))}}& \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{\overline{LP_n(\varphi)}}{\sin{(60,26^{\circ}})}&=&\dfrac{6\,\text{cm}}{\sin{(180^{\circ}-(60,26^{\circ}+\varphi))}}&\quad\scriptsize \mid\;\cdot \sin{(60,26^{\circ})} \\[5pt] \overline{LP_n(\varphi)}&=&\dfrac{6\,\text{cm}\cdot\sin{(60,26^{\circ})}}{\sin{(180^{\circ}-(60,26^{\circ}+\varphi))}}\\[5pt] \overline{LP_n(\varphi)}&=&\dfrac{5,21\,\text{cm}}{\sin{(180^{\circ}-(60,26^{\circ}+\varphi))}}&\quad\scriptsize \sin{(180^{\circ}-\alpha)}=\sin{(\alpha)}\,\text{für alle}\,\alpha \in\left[0^{\circ}90^{\circ}\right] \\[5pt] \overline{LP_n(\varphi)}&=&\dfrac{5,21\,\text{cm}}{\sin{(60,26+\varphi)}} \end{array}$

Damit gilt für die Seitenlänge $\overline{LP_n(\varphi)}=\dfrac{5,21\,\text{cm}}{\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}}$

$\overline{LP_n(\varphi)}$ wird minimal, wenn der Nenner $\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}$ maximal wird. Der größte Wert den die Sinusfunktion annehmen kann, ist $1$ für $\sin{(90^{\circ})}=1$ . Du musst also einen Winkel $\varphi$ finden, sodass $\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}=\sin{(90^{\circ})}=1$ . Wir rechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 90^{\circ}&=&\varphi + 60,26^{\circ} \quad \scriptsize \mid\;-60,26 \\[5pt] \varphi&=&29,74^{\circ} \end{array}$

Das heißt $\varphi\in\left]0;74,05\right[$ und ist somit zulässig.
Somit ist das Minimum der Strecke $\overline{LP_n(\varphi)}\,5,21\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Streckenlänge berechnen

Unter den Dreiecken $KLP_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $KLP_2$ mit der Basis $\overline{KP_2}$ . Du sollst nun die Länge der Strecke $\overline{KP_2}$ berechnen. Zur Lösung dieser Aufgabe ist es hilfreich, den Kosinussatz zu verwenden.

Da die Seite $\overline{KP_2}$ die Basis des gleichschenkligen Dreiecks darstellt, entspricht der Winkel $LKS$ dem Winkel $KP_2L$ . Folglich gilt für den Winkel $\varphi$ : $\varphi=180^{\circ}-2\cdot \sphericalangle LKP_2=180^{\circ}-2\cdot60,26^{\circ}=59,48^{\circ}$ . Da das Dreieck $KLP_2$ gleichschenklig sein soll, entspricht die Länge der Seite $\overline{LP_2}$ außerdem der Länge der Seite $\overline{LK}$ . Somit sind dir alle Größen bekannt, um den Kosinussatz anwenden zu können:

Kosinussatz: $a^2=b^2+c^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos\;\alpha$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{KP_2}^2&=&\overline{LK}^2+\overline{LP_2}^2-2\cdot \overline{LK}\cdot\overline{LP_2}\cdot\cos{\varphi} \quad \scriptsize \\[5pt] \overline{KP_2}^2&=&(6\,\text{cm})^2+(6\,\text{cm})^2-2\cdot 6\,\text{cm}\cdot 6\,\text{cm}\cdot\cos(59,48^{\circ})\\[5pt] \overline{KP_2}^2&=&35,45 \,\text{cm}^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{}\\[5pt] \overline{KP_2}&=& 5,95 \,\text{cm} \end{array}$

Somit beträgt die Länge der Strecke $\overline{KP_2}\;$ $5,95\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Volumen bestimmen

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$ mit den Höhen $\overline{P_nT_n}$ und $T_n$ auf der Strecke $\overline{KL}$ . Zeichne zunächst die Pyramide $ABCDP_1$ und ihre Höhe $\overline{P_1T_1}$ in das Schrägbild ein. Anschließend sollst du zeigen, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$V(\varphi)=\dfrac{104,20\cdot\sin\;\varphi}{\sin\left(\varphi+60,26^{\circ}\right)}\,\text{cm}^3$

Zur Berechnung der Höhe $P_nT_n$ der Pyramide kannst du die Sinusfunktion benutzen.

Zunächst berechnest du die Höhe $P_nT_n$ der Pyramide in Abhängigkeit von $\varphi$ . Dies kannst du sofort tun, da du zuvor die Länge der Strecke $\overline{LP_n}$ in Abhängigkeit von $\varphi$ bestimmt hast. Daraus folgt für $\overline{P_nT_n}$ :

$\begin{array}[t]{rll} \sin\;\varphi&=&\dfrac{\overline{P_nT_n}}{LP_n{\varphi}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot LP_n(\varphi) \\[5pt] P_nT_n(\varphi)&=&\dfrac{5,21\cdot\sin\varphi}{\sin(\;\varphi+60,26^{\circ})} \end{array}$

Um das Volumen der Pyramide bestimmen zu können, benötigst du noch die Fläche des Trapez:

$A_{Trapez}=\dfrac{a+c}{2}\cdot h$

$A_{Trapez}=0,5\cdot(\overline{AD}+\overline{BC})\cdot \overline{KL}=0,5\cdot(8\,\text{cm}+12\,\text{cm})\cdot 6\,\text{cm}=60\,\text{cm}^2$

Das Volumen der Pyramide berechnet sich wie folgt:

$V_{Pyramide}=\dfrac{1}{3}\cdot G \cdot h$

Für die Aufgabe heißt das:

$\begin{array}[t]{rll} V_{ABCDP_n}&=&\dfrac{1}{3}\cdot A_{Trapez}\cdot P_nT_n(\varphi) \quad \scriptsize \\[5pt] V_{ABCDP_n}&=&\dfrac{1}{3}\cdot 60\,\text{cm}^2\cdot \dfrac{5,21\cdot\sin\;\varphi}{\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}}\,\text{cm}\\[5pt] V_{ABCDP_n}&=&\dfrac{104,20\cdot \sin\;\varphi}{\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}}\,\text{cm}^3 \end{array}$

Die folgende Zeichnung zeigt sowohl die Pyramide (blau), welche du in dieser Aufgabe einzeichnen sollst als auch das Prisma und jegliche Punkte, die in den Aufgabenteilen zuvor gezeichnet werden sollten:

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen

Die Pyramide $BCGFP_3$ mit der rechteckigen Grundfläche $BCGF$ und der Spitze $P_3$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $ABCDP_3$ . Berechne nun den zugehörigen Wert für $\varphi$ .

Zunächst kannst du das Volumen der Pyramide $BCGFP_n$ ähnlich dem Aufgabenteil zuvor bestimmen:

$V_{BCGFP_n}=\dfrac{1}{3}\cdot (\overline{BF}\cdot\overline{BC})\cdot \overline{LT_n}=\dfrac{1}{3}\cdot(12\,\text{cm}\cdot 7\,\text{cm})\cdot \overline{LT_n}=28\cdot\overline{LT_n}\,\text{cm}^2$

Um auch hier eine Abhängigkeit zwischen Volumen und dem Winkel $\varphi$ herzustellen, kannst du den $\cos\;\varphi$ betrachten:

$\begin{array}[t]{rll} \cos\;\varphi&=&\dfrac{\overline{LT_n}}{\overline{LP_n}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{LP_n} \\[5pt] \overline{LT_n}(\varphi)&=&\cos\;\varphi\cdot\overline{LP_n}(\varphi)\\[5pt] \overline{LT_n}(\varphi)&=&\dfrac{5,21\cdot\cos\varphi}{\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}}\,\text{cm} \end{array}$

Dies kannst du nun in die Gleichung für $V_{BCGFP_n}$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{BCGFP_n}&=&28\cdot\overline{LT_n}\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \\[5pt] V_{BCGFP_n}&=& 28\,\text{cm}^2\cdot \dfrac{5,21\cdot\cos\;\varphi}{\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}}\,\text{cm} \\[5pt] V_{BCGFP_n}&=& \dfrac{145,88\cdot \cos\varphi}{\sin{(\varphi+60.26^{\circ})}}\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$

Um nun den Winkel $\varphi$ zu berechnen, musst du nur noch die Volumina der beiden Pyramiden gleichsetzen und die Gleichung nach $x$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{ABCDP_n}&=&V_{BCGFP_n} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{104,20\cdot \sin\varphi}{\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}}\,\text{cm}^3&=& \dfrac{145,88\cdot \cos\varphi}{\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}}\,\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\sin{(\varphi+60,26^{\circ})}\;:\text{cm}^3 \\[5pt] 104,20\cdot \sin\varphi&=& 145,88\cdot \cos\varphi &\quad \scriptsize \mid\;:\cos\varphi\;:104,20 \\[5pt] \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}&=&\dfrac{145,88}{104,20}&\quad \scriptsize \\[5pt] \tan\varphi&=& 1,4 &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \varphi&=&54,46^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Für den Winkel $\varphi=54,46^{\circ}$ besitzen die Pyramiden $V_{BCGFP_n}$ und $V_{ABCDP_n}$ denselben Flächeninhalt.