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Teil B

Aufgaben
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Aufgabe B 1

1.0
Punkte $B_n(x\mid -0,3x-1)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=-0,3x-1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$. Die sind zusammen mit dem Punkt $A(0\mid 0)$ sowie Punkten $C_n$ und $D_n$ für $x> 0,84$ Eckpunkte von Drachenvierecken $AB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_n$.
Die Diagonalen $[AC_n]$ der Drachenvierecke $AB_nC_nD_n$ liegen auf der Symmetrieachse $h$ mit der Gleichung $y=\frac{2}{3}x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}$x$\mathbb{R})$. Es gilt: $\overrightarrow{AC_n}=4\cdot \overrightarrow{AM_n}$.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1
Zeichne die Geraden $g$ und $h$ sowie die Drachenvierecke $AB_1C_1D_1$ für $x=3$ und $AB_2C_2D_2$ für $x=5$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\,\text{cm}$; $-2\leqq x\leqq 10$; $-3\leqq y\leqq 8$
(4P)
1.2
Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$.
[Ergebnis: $D_n(0,11x-0,92\mid 1,04x+0,38)$]
(3P)
1.3
Der Punkt $D_3$ liegt auf der $y$-Achse.
Berechne die Koordinaten des Punktes $B_3$.
(2P)
1.4
Berechne die Koordinaten der Punkte $M_n$ und $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$.
[Ergebnis: $C_n(2,24x-1,84\mid 1,48x-1,24)$]
(2P)
1.5
Das Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ ist bei $B_4$ rechtwinklig.
Berechne den zugehörigen Wert für $x$.
(4P)
1.6
Die Seite [$C_5D_5$] des Drachenvierecks $AB_5C_5D_5$ verläuft parallel zur $x$-Achse.
Begründe, dass gilt: $\sphericalangle D_5C_5B_5=67,38^{\circ}$.
(2P)

Aufgabe B 2

2.0
Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Basis [$BC$]. Die Pyramidenspitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $M$.
Es gilt: $\overline{AM}=9\,\text{cm}$; $\overline{BC}=12\,\text{cm}$; $\overline{MS}=10\,\text{cm}$.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1
Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCS$, wobei die Strecke [$AM$] auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $M$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=0,5$; $\omega =45^{\circ}$.
Berechne sodann die Länge der Strecke [$AS$] sowie das Maß des Winkels $MAS$.
[Ergebnisse: $\overline{AS}=13,45\,\text{cm}$; $\sphericalangle MAS=48,01^{\circ}$]
(4P)
2.2
Auf der Strecke [$AS$] liegen Punkte $P_n$. Die Winkel $P_nMA$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ]0^{\circ}$;$90^{\circ}]$.
Die Dreiecke $AMP_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $AMP_nC$, deren Spitze der Punkt $C$ ist.
Zeichne die Pyramide $AMP_1C$ für $\phi =65^{\circ}$ in die Zeichnung zu B 2.1 ein.
(1P)
2.3
Berechne die Länge der Strecken [$AP_n$] in Abhängigkeit von $\phi$ und zeige sodann, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $AMP_nC$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $V(\phi)=\frac{60,20\cdot sin\phi}{sin(\phi + 48,01^{\circ})}\,\text{cm}^3$.
[Ergebnis: $\overline{AP_n}(\phi)$$=\frac{9\cdot sin \phi}{sin(\phi + 48,01^{\circ})}\,\text{cm}$]
(3P)
2.4
Die Grundfläche der Pyramide $AMP_2C$ ist das rechtwinklige Dreieck $AMP_2$ mit der Hypothenuse [$AM$].
Berechne den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $AMP_2C$ am Volumen der Pyramide $ABCS$.
(3P)
2.5
Das gleichschenklige Dreieck $AVP_3$ mit der Basis [$CP_3$] ist eine Seitenfläche der Pyramide $AMP_3C$.
Berechne den zugehörigen Wert für $\phi$.
(4P)
2.6
Begründe, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $AMP_nC$ gilt: $V\leqq 90\,\text{cm}^3$.
(2P)
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Tipps
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Aufgabe B1

1.1
$\blacktriangleright$ Geraden und Drachenvierecke einzeichnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Geraden $g$ und $h$ sowie die Drachenvierecke $AB_1C_1D_1$ für $x=3$ und $AB_2C_2D_2$ für $x=5$ in einen Koordinatensystem einzeichnen.
Hierbei hast du die Punkte $B_n(x \mid -0,3x-1)$, $A(0\mid 0)$ gegeben. Für die Punkte $C_n$ und $D_n$ gilt, dass sie für $x> 0,84$ Eckpunkte von Drachenvierecken $AB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_n$ sind. Die Symmetrieachsen der Diagonalenvierecke ist hierbei mit der Gleichung der Geraden $h$ gegeben. Außerdem ist bekannt, dass die Diagonalen $[AC_n]$ auf dieser Symmetrieachse liegen und $\overrightarrow{AC_n}=4 \cdot \overrightarrow{AM_n}$ gilt.
1.2
$\blacktriangleright$ Koordinaten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ bestimmen. Die Punkte $D_n$ entstehen hierbei durch Spiegelung der Punkte $B_n$ an der Geraden $h$ mit $y=\frac{2}{3}$.
Die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ kannst du nun mithilfe einer Drehmatrix bestimmen. Die allgemeine Form für eine Drehung des Vektors $\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime}$ um einen Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn lautet:
$\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime}=\begin{pmatrix} \cos \alpha& \sin \alpha \\ \sin \alpha& -\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{x \\ y}$
$\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime}=\begin{pmatrix} \cos \alpha& \sin \alpha \\ \sin \alpha& -\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{x \\ y}$
Nun musst du noch den Winkel bestimmen, um den der Vektor $\pmatrix{x \\ y}$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird. Diesen Winkel kannst du mit der Steigung der Spiegelachsen bestimmen. Dieser Winkel beträgt aber nur die Hälfte des gesuchten Winkels, da der Vektor nochmals den selben Winkel weiter gedreht wird. Die Spiegelachse ist mit der Gleichung $y=\frac{2}{3}$ gegeben.
1.3
$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $B_3$ berechnen. Hierbei hast du gegeben, dass der Punkt $D_3$ auf der $y$-Achse liegt. Somit gilt für die $x$-Koordinate des Punktes $D_3$ $x_{D3}=0$. In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ bestimmt. Somit kannst du nun die Abszisse des Punktes $B_3$ $x_{B3}$ durch $x_{D3}=0$ bestimmen.
1.4
$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten der Punkte $M_n$ und $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ berechnen. Die Punkte $M_n$ bezeichnen hierbei die Mittelpunkte der Strecken $\overline{B_nD_n}$. Für die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke gilt folgende Formel:
$M \left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \Big| \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
$M \left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \Big| \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Mit dem berechneten Mittelpunkten kannst du nun durch $\overrightarrow{AC_n}=4 \cdot \overrightarrow{AM_n}$ die Koordinaten der Punkte $C_n$ bestimmen.
Für die Mittelpunkte $M_n$ mit $B_n(x \mid -0,3x-1)$ und $D_n$ mit den Koordinaten $(0,11x -0,92 \mid 1,04x+0,38)$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ folgen die Koordinaten:
$M_n \left(\dfrac{x+0,11x -0,92}{2} \Big| \dfrac{-0,3x-1+1,04x+0,38}{2}\right)= M_n \left(0,56x -0,46\mid 0,37x-0,31\right)$
$ M_n \left( \dotsc \right)$
Nun kannst du mit der gegebenen Gleichung $\overrightarrow{AC_n}=4 \cdot \overrightarrow{AM_n}$ die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ bestimmen. Das bedeutet, dass der Abstand auf der $x$-und $y$-Achse zwischen den Punkten $A$ und $C_n$ viermal so groß ist wie der Abstand zwischen den Punkten $A$ und $M_n$.
1.5
$\blacktriangleright$ Zugehörigen Wert berechnen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass das Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ bei $B_4$ rechtwinklig ist. Dadurch, dass du weißt, dass das Drachenviereck bei $B_4$ einen rechten Winkel besitzt gilt entsprechend mit dem Skalarprodukt $\overrightarrow{AB_4} \circ \overrightarrow{B_4C_4} = 0$. Berechne also zuerst die Vektoren $\overrightarrow{AB_4}$ und $\overrightarrow{B_4C_4}$ in Abhängigkeit von $x$ und bestimme anschließend mit der Bedingung $\overrightarrow{AB_4} \circ \overrightarrow{B_4C_4} = 0$ den entsprechenden Wert für $x$.
1.6
$\blacktriangleright$ Winkel begründen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass die Seite $[C_5D_5]$ des Drachenvierecks $AB_5C_5D_5$ parallel zur $x$_Achse verläuft. Nun sollst du begründen, dass $\sphericalangle D_5C_5B_5 = 67,38 ^{\circ}$ gilt. Den Winkel $\sphericalangle D_5C_5B_5$ kann man mit der Geraden $h$ in zwei gleich große Teile teilen. Es gilt für die dabei entstehenden Winkeln $\sphericalangle D_5C_5A = \sphericalangle AC_5B_5$. Diesen Winkel kannst du mit $\varphi$ bezeichnen. Somit gilt $\sphericalangle D_5C_5B_5 = 2 \cdot \varphi$.
Da die Seite $[C_5D_5]$ parallel zur $x$ Achse verläuft kannst du den Winkel $\varphi$ auch über die Steigung der Geraden $h$ berechnen.

Aufgabe B2

2.1
$\blacktriangleright$ Schrägbild zeichnen und Werte berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du zuerst das Schrägbild der Pyramide $ABCS$ zeichnen. Hierbei hast du gegeben, dass $q=0,5$ gilt. Das bedeutet, dass die Strecken in der Grundebene , welche senkrecht zur Schrägbildachse $[AM]$ stehen mit dem Faktor $q=0,5$ gekürzt werden. Außerdem schließen diese Strecken mit der Schrägbildachse einen Winkel von $\omega=45^{\circ}$ ein.
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke und Winkel berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke $[AS]$ und den Winkel $\sphericalangle MAS$ berechnen. Die Länge der Strecke $[AS]$ kannst du hierbei in dem rechtwinkligen Dreieck $AMS$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Anschließend kannst du den Winkel $\sphericalangle MAS$ mit einer Winkelfunktion im Dreieck $AMS$ berechnen.
2.2
$\blacktriangleright$ Pyramide einzeichnen
In dieser Teilaufgabe hast du den Winkel $\varphi=65^{\circ}$ gegeben und kannst somit die Pyramide $AMP_1C$ mit der Grundfläche $AMP_1$ und der Spitze im Punkt $C$ einzeichnen.
2.3
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke $[AP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ berechnen und zeigen, dass
$V(\varphi)=\dfrac{60,20 \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi+48,01^{\circ})}\text{ cm}^3$
$ V(\varphi)= \dotsc$
.
Berechne also zunächst die Länge der Strecke $[AP_n]$. Hierbei kannst du den Sinussatz anwenden. Der Sinussatz lautet wie folgt für das gegebene Dreieck $AMP_n$:
$\dfrac{\overline{AP_n}}{\sin \sphericalangle AMP_n}=\dfrac{\overline{AM}}{\sin \sphericalangle AP_nM}$
$\dfrac{\overline{AP_n}}{\sin \sphericalangle AMP_n}=\dfrac{\overline{AM}}{\sin \sphericalangle AP_nM}$
Der Winkel $\sphericalangle AMP_n$ ist hierbei mit $\varphi$ bezeichnet. Den Winkel $\sphericalangle MAP_n$ hast du bereits in der vorherigen Aufgabe mit $\sphericalangle MAP_n=48,01^{\circ}$ bestimmt. Nun kannst du den Winkel $\sphericalangle AP_nM$ durch die Winkelsumme in einem Dreieck bestimmen.
Nun sollst du das Volumen der Pyramide $AMP_nC$ in Abhängigkeit von $\varphi$ bestimmen. Für das Volumen der Pyramide $AMP_nC$ gilt:
$V= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Bei der Grundseite der Pyramide handelt es sich in diesem Fall, um ein rechtwinkliges Dreieck mit der Fläche $G=\frac{1}{2} \cdot \overline{AM} \cdot \overline{MC}$.
2.4
$\blacktriangleright$ Prozentualer Anteil des Volumens berechnen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass die Grundfläche der Pyramide $AM_2P_2C$ das rechtwinklige Dreieck $AMP_2$ mit der Hypotenuse $[AM]$ darstellt. Du sollst hierfür den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $AMP_2C$ am Volumen der Pyramide $ABCS$ berechnen.
Da die Hypotenuse die Seite $[AM]$ darstellt und sich der rechte Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck immer gegenüberliegend der Hypotenuse befindet lässt sich folgern, dass der Winkel $\sphericalangle AP_2M=90 ^{\circ}$ beträgt. Durch die obere Teilaufgabe ist außerdem der Winkel $\sphericalangle MAP_2=48,01 ^{\circ}$ bekannt. Mit der Winkelsumme im Dreieck kannst du den Winkel $\varphi$ berechnen.
Nun kannst du mit dem Winkel $\varphi$ das Volumen $V_1$ der Pyramide $AM_2P_2C$ bestimmen. Außerdem kannst du mit den gegebenen Angaben das Volumen der Pyramide $ABCS$ berechnen. Der prozentuale Anteil $p$ lässt sich anschließend durch folgende Formel bestimmen:
$p= \dfrac{V_1}{V_{ges}}$
$p= \dfrac{V_1}{V_{ges}}$
2.5
$\blacktriangleright$ Wert für $\varphi$ berechnen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass das gleichschenklige Dreieck $ACP_3$ mit der Basis $[CP_3]$ eine Seitenfläche der Pyramide $AMP_3C$ ist. Hierfür sollst du den zugehörigen Wert für $\varphi$ berechnen. Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt und als Basis die Seite $[CP_3]$ besitzt folgt daraus, dass die Seiten $[AC]$ und $[AP_3]$ die gleiche Länge besitzen.
In der oberen Teilaufgabe hast du bereit die Länge der Seiten $AP_n$ in Abhängigkeit von dem Winkel $\varphi$ angegeben. Somit musst du zuerst die Länge der Seite $[AC]$ mit Hilfe dem Satz des Pythagoras bestimmen und anschließend kannst du mit der Länge der Seite $[AP_3]$ den gesuchten Winkel $\varphi$ berechnen.
2.6
$\blacktriangleright$ Volumen begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $[AMP_nC]$ $V\leq 90 \text{ cm}^3$ gilt. In der oberen Teilaufgabe hast du bereits berechnet, dass für das Volumen der Pyramide $[ABCS]$ $ V_{ABCS}= 180 \text{ cm}^3$ gilt. Nun weißt du, dass die Punkte $P_n$ nur auf der Strecke $[AS]$ liegen können.
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Aufgabe B1

1.1
$\blacktriangleright$ Geraden und Drachenvierecke einzeichnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Geraden $g$ und $h$ sowie die Drachenvierecke $AB_1C_1D_1$ für $x=3$ und $AB_2C_2D_2$ für $x=5$ in einen Koordinatensystem einzeichnen.
Hierbei hast du die Punkte $B_n(x \mid -0,3x-1)$, $A(0\mid 0)$ gegeben. Für die Punkte $C_n$ und $D_n$ gilt, dass sie für $x> 0,84$ Eckpunkte von Drachenvierecken $AB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_n$ sind. Die Symmetrieachsen der Diagonalenvierecke ist hierbei mit der Gleichung der Geraden $h$ gegeben. Außerdem ist bekannt, dass die Diagonalen $[AC_n]$ auf dieser Symmetrieachse liegen und $\overrightarrow{AC_n}=4 \cdot \overrightarrow{AM_n}$ gilt. Somit sieht das Schaubild wie folgt aus:
Teil B
Abb. 1: Geraden und Drachenvierecke
Teil B
Abb. 1: Geraden und Drachenvierecke
1.2
$\blacktriangleright$ Koordinaten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ bestimmen. Die Punkte $D_n$ entstehen hierbei durch Spiegelung der Punkte $B_n$ an der Geraden $h$ mit $y=\frac{2}{3}$.
Die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ kannst du nun mithilfe einer Drehmatrix bestimmen. Die allgemeine Form für eine Drehung des Vektors $\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime}$ um einen Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn lautet:
$\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime}=\begin{pmatrix} \cos \alpha& \sin \alpha \\ \sin \alpha& -\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{x \\ y}$
$\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime}=\begin{pmatrix} \cos \alpha& \sin \alpha \\ \sin \alpha& -\cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{x \\ y}$
Nun musst du noch den Winkel bestimmen, um den der Vektor $\pmatrix{x \\ y}$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird. Diesen Winkel kannst du mit der Steigung der Spiegelachsen bestimmen. Dieser Winkel beträgt aber nur die Hälfte des gesuchten Winkels, da der Vektor nochmals den selben Winkel weiter gedreht wird. Die Spiegelachse ist mit der Gleichung $y=\frac{2}{3}$ gegeben. Somit folgt für $\alpha$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \frac{\alpha}{2} &=& \dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \frac{\alpha}{2}&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right) &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \alpha&=& 2 \cdot \tan^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right) \\[5pt] &=& 67,38^\circ \end{array}$
$\alpha =67,38^\circ$
Somit kannst du die Koordinaten der Punkte $D_n(x^\prime \mid y^\prime)$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ der Punkte $B_n(x \mid -0,3x-1)$ mit dem Matrizenprodukt wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x^\prime \\ y^\prime}&=& \begin{pmatrix} \cos 67,38^\circ& \sin 67,38^\circ \\ \sin 67,38^\circ& -\cos 67,38^\circ \end{pmatrix} \cdot \pmatrix{x \\ -0,3x-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{x\cdot \cos 67,38^\circ + \sin 67,38^\circ \cdot (-0,3x-1) \\ \sin 67,38^\circ \cdot x-\cos 67,38^\circ \cdot ( -0,3x-1)}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,38 \cdot x -0,27 \cdot x-0,92 \\0,92 \cdot x+0,12 \cdot x + 0,38} \\[5pt] &=& \pmatrix{0,11 \cdot x -0,92 \\1,04 \cdot x + 0,38} \\[5pt] \end{array}$
$\pmatrix{x^\prime \\ y^\prime}= \dotsc$
Damit betragen die Koordinaten der Punkte $D_n$ $(0,11x -0,92 \mid 1,04x + 0,38)$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ der Punkten $B_n$.
1.3
$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $B_3$ berechnen. Hierbei hast du gegeben, dass der Punkt $D_3$ auf der $y$-Achse liegt. Somit gilt für die $x$-Koordinate des Punktes $D_3$ $x_{D3}=0$. In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ bestimmt. Somit kannst du nun die Abszisse des Punktes $B_3$ $x_{B3}$ durch $x_{D3}=0$ wie folgt bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} x_{D3} &=& 0,11 \cdot x_{B3} -0,92\\[5pt] 0&=& 0,11 \cdot x_{B3} -0,92 &\quad \scriptsize \mid\; + 0,92 \\[5pt] 0,92&=& 0,11 \cdot x_{B3} &\quad \scriptsize \mid\; : 0,11 \\[5pt] x_{B3}&=& 8,36 \\[5pt] \end{array}$
$x_{B3} = 8,36$
Nun kannst du mit der Abszisse $x_{B3}$ die $y$-Koordinate des Punktes $B_3$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} y_{B3} &=& -0,3 \cdot x_{B3} -1 \\[5pt] &=& -0,3 \cdot 8,36 -1 \\[5pt] &=& -3,51 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt für die Koordinaten des Punktes $B_3$ $(8,36 \mid -3,51)$.
1.4
$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten der Punkte $M_n$ und $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ berechnen. Die Punkte $M_n$ bezeichnen hierbei die Mittelpunkte der Strecken $\overline{B_nD_n}$. Für die Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke gilt folgende Formel:
$M \left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \Big| \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
$M \left(\dfrac{x_1+x_2}{2} \Big| \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Mit dem berechneten Mittelpunkten kannst du nun durch $\overrightarrow{AC_n}=4 \cdot \overrightarrow{AM_n}$ die Koordinaten der Punkte $C_n$ bestimmen.
Für die Mittelpunkte $M_n$ mit $B_n(x \mid -0,3x-1)$ und $D_n$ mit den Koordinaten $(0,11x -0,92 \mid 1,04x+0,38)$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ folgen die Koordinaten:
$M_n \left(\dfrac{x+0,11x -0,92}{2} \Big| \dfrac{-0,3x-1+1,04x+0,38}{2}\right)= M_n \left(0,56x -0,46\mid 0,37x-0,31\right)$
$ M_n \left( \dotsc \right)$
Nun kannst du mit der gegebenen Gleichung $\overrightarrow{AC_n}=4 \cdot \overrightarrow{AM_n}$ die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ bestimmen. Das bedeutet, dass der Abstand auf der $x$-und $y$-Achse zwischen den Punkten $A$ und $C_n$ viermal so groß ist wie der Abstand zwischen den Punkten $A$ und $M_n$. Das bedeutet, dass für die $x$-Koordinate der Punkte $C_n$ folgendes gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{Cn} &=& x_A + 4 \cdot (x_{Mn}-x_A) \\[5pt] &=& 0 + 4 \cdot (0,56x -0,46) \\[5pt] &=& 2,24x -1,84 \\[5pt] \end{array}$
$x_{Cn}=2,24x -1,84$
Entsprechend gilt für die $y$-Koordinate der Punkte $C_n$:
$\begin{array}[t]{rll} y_{Cn} &=& y_A + 4 \cdot (y_{Mn}-y_A) \\[5pt] &=& 0 + 4 \cdot (0,37x-0,31) \\[5pt] &=& 1,48x -1,24 \\[5pt] \end{array}$
$y_{Cn}=1,48x -1,24$
Die Punkte $C_n$ besitzen somit die Koordinaten $(2,24x -1,84 \mid 1,48x -1,24 )$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$.
1.5
$\blacktriangleright$ Zugehörigen Wert berechnen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass das Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ bei $B_4$ rechtwinklig ist. Dadurch, dass du weißt, dass das Drachenviereck bei $B_4$ einen rechten Winkel besitzt gilt entsprechend mit dem Skalarprodukt $\overrightarrow{AB_4} \circ \overrightarrow{B_4C_4} = 0$. Für den Vektor $\overrightarrow{AB_4}$ gilt hierbei:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB_4} &=& \pmatrix{x - 0 \\ -0,3x-1 -0} \\[5pt] &=& \pmatrix{x \\ -0,3x-1} \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{AB_4}= \pmatrix{x \\ -0,3x-1}$
Für den Vektor $\overrightarrow{B_4C_4}$ gilt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{B_4C_4} &=& \pmatrix{x_{C_4} - x_{B4} \\ y_{C_4} - y_{B4}} \\[5pt] &=& \pmatrix{2,24x -1,84 - x \\ 1,48x -1,24 +0,3x+1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1,24x -1,84 \\ 1,78x -0,24 } \\[5pt] \end{array}$
$\overrightarrow{B_4C_4}=\pmatrix{1,24x -1,84 \\ 1,78x -0,24 } $
Somit folgt mit dem Skalarprodukt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB_4} \circ \overrightarrow{B_4C_4} &=& 0 \\[5pt] \pmatrix{x \\ -0,3x-1} \circ \pmatrix{1,24x -1,84 \\ 1,78x -0,24 }&=& 0 \\[5pt] x \cdot (1,24x -1,84) + (-0,3x-1) \cdot (1,78x -0,24)&=& 0 \\[5pt] 1,24x^2 -1,84x -0,534x^2 -1,78x +0,072x+0,24&=& 0 \\[5pt] 0,71x^2 -3,55x +0,24&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :0,71\\[5pt] x^2 -5x +0,34&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq- Formel} \\[5pt] x_1&=& 4,93 \\[5pt] x_2&=& 0,07 \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1,2}= \dotsc $
Da in der Aufgabenstellung $x>0,84$ gilt muss $x=4,93$ betragen. Somit besitzt das Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ mit $x= 4,93$ bei $B_4$ einen rechten Winkel.
1.6
$\blacktriangleright$ Winkel begründen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass die Seite $[C_5D_5]$ des Drachenvierecks $AB_5C_5D_5$ parallel zur $x$_Achse verläuft. Nun sollst du begründen, dass $\sphericalangle D_5C_5B_5 = 67,38 ^{\circ}$ gilt. Den Winkel $\sphericalangle D_5C_5B_5$ kann man mit der Geraden $h$ in zwei gleich große Teile teilen. Es gilt für die dabei entstehenden Winkeln $\sphericalangle D_5C_5A = \sphericalangle AC_5B_5$. Diesen Winkel kannst du mit $\varphi$ bezeichnen. Somit gilt $\sphericalangle D_5C_5B_5 = 2 \cdot \varphi$.
Da die Seite $[C_5D_5]$ parallel zur $x$ Achse verläuft kannst du den Winkel $\varphi$ auch über die Steigung der Geraden $h$ berechnen. Somit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \varphi &=& \dfrac{2}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \varphi&=& \tan^{-1} \dfrac{2}{3} \\[5pt] &=& 33,69 ^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ ERGEBNIS $
Dadurch folgt für den Winkel $\sphericalangle D_5C_5B_5$:
$\begin{array}[t]{rll} \sphericalangle D_5C_5B_5&=& 2 \cdot \varphi \\[5pt] &=& 2 \cdot 33,69 ^{\circ} \\[5pt] &=& 67,38 ^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Somit hast du begründet, dass $\sphericalangle D_5C_5B_5=67,38 ^{\circ}$ gilt.

Aufgabe B2

2.1
$\blacktriangleright$ Schrägbild zeichnen und Werte berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du zuerst das Schrägbild der Pyramide $ABCS$ zeichnen. Hierbei hast du gegeben, dass $q=0,5$ gilt. Das bedeutet, dass die Strecken in der Grundebene , welche senkrecht zur Schrägbildachse $[AM]$ stehen mit dem Faktor $q=0,5$ gekürzt werden. Außerdem schließen diese Strecken mit der Schrägbildachse einen Winkel von $\omega=45^{\circ}$ ein. Somit ergibt sich das Schrägbild wie folgt:
Teil B
Abb. 2: Schrägbild
Teil B
Abb. 2: Schrägbild
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke und Winkel berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke $[AS]$ und den Winkel $\sphericalangle MAS$ berechnen. Die Länge der Strecke $[AS]$ kannst du hierbei in dem rechtwinkligen Dreieck $AMS$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Anschließend kannst du den Winkel $\sphericalangle MAS$ mit einer Winkelfunktion im Dreieck $AMS$ berechnen.
Für die Länge der Streck $[AS]$ folgt mit dem Satz des Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AS}^2&=& \overline{AM}^2 +\overline{MS}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] \overline{AS}&=& \sqrt{\overline{AM}^2 +\overline{MS}^2}\\[5pt] &=& \sqrt{9^2 +10^2} \text{ cm}\\[5pt] &=& 13,45 \text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{AS}=13,45 \text{ cm}$
Somit gilt $\overline{AS}= 13,45 \text{ cm}$.
Den Winkel $\sphericalangle MAS$ kannst du mit einer beliebigen Winkelfunktion im Dreieck $AMS$ berechnen. Wähle hierbei beispielsweise den Tangens. Mit dem Tangens folgt für den Winkel $\sphericalangle MAS$:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \sphericalangle MAS&=& \dfrac{\overline{MS}}{\overline{AM}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}(\,)\\[5pt] \sphericalangle MAS&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{\overline{MS}}{\overline{AM}}\right)\\[5pt] &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{10 \text{ cm}}{9 \text{ cm}}\right)\\[5pt] &=& 48,01^{\circ}\\[5pt] \end{array}$
$ \sphericalangle MAS=48,01^{\circ}$
2.2
$\blacktriangleright$ Pyramide einzeichnen
In dieser Teilaufgabe hast du den Winkel $\varphi=65^{\circ}$ gegeben und kannst somit die Pyramide $AMP_1C$ mit der Grundfläche $AMP_1$ und der Spitze im Punkt $C$ einzeichnen.
Teil B
Abb. 3: Pyramide $AMP_1C$
Teil B
Abb. 3: Pyramide $AMP_1C$
2.3
$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke $[AP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ berechnen und zeigen, dass
$V(\varphi)=\dfrac{60,20 \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi+48,01^{\circ})}\text{ cm}^3$
$ V(\varphi)= \dotsc$
.
Berechne also zunächst die Länge der Strecke $[AP_n]$. Hierbei kannst du den Sinussatz anwenden. Der Sinussatz lautet wie folgt für das gegebene Dreieck $AMP_n$:
$\dfrac{\overline{AP_n}}{\sin \sphericalangle AMP_n}=\dfrac{\overline{AM}}{\sin \sphericalangle AP_nM}$
$\dfrac{\overline{AP_n}}{\sin \sphericalangle AMP_n}=\dfrac{\overline{AM}}{\sin \sphericalangle AP_nM}$
Der Winkel $\sphericalangle AMP_n$ ist hierbei mit $\varphi$ bezeichnet. Den Winkel $\sphericalangle MAP_n$ hast du bereits in der vorherigen Aufgabe mit $\sphericalangle MAP_n=48,01^{\circ}$ bestimmt. Nun kannst du den Winkel $\sphericalangle AP_nM$ durch die Winkelsumme in einem Dreieck folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=& \sphericalangle AMP_n + \sphericalangle MAP_n +\sphericalangle AP_nM \\[5pt] 180^{\circ}&=& \varphi + 48,01^{\circ} +\sphericalangle AP_nM &\quad \scriptsize \mid\;- (\varphi +48,01^{\circ}) \\[5pt] \sphericalangle AP_nM&=& 180^{\circ} - (\varphi +48,01^{\circ}) \end{array}$
$\sphericalangle AP_nM= \dotsc$
Nun kannst du mit dem Sinussatz die Länge der Strecke $[AP_n]$ bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AP_n}}{\sin \sphericalangle AMP_n} &=&\dfrac{\overline{AM}} {\sin \sphericalangle AP_nM}\\[5pt] \dfrac{\overline{AP_n}}{\sin \varphi}&=& \dfrac{9 \text{ cm}}{\sin (180^{\circ} - (\varphi +48,01^{\circ}))} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin \varphi \\[5pt] \overline{AP_n}&=& \dfrac{9 \text{ cm} \cdot \sin \varphi}{\sin (180^{\circ} - (\varphi +48,01^{\circ})} &\quad \scriptsize \mid\; \text{ Additionstheorem} \\[5pt] \\[5pt] &=& \dfrac{9 \text{ cm} \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})} \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{AP_n}=\dfrac{9 \text{ cm} \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})}$
Somit gilt für die Länge der Strecke $[AP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ $\overline{AP_n}(\varphi)=\dfrac{9 \text{ cm} \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})}$.
Nun sollst du das Volumen der Pyramide $AMP_nC$ in Abhängigkeit von $\varphi$ bestimmen. Für das Volumen der Pyramide $AMP_nC$ gilt:
$V= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
$V= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Bei der Grundseite der Pyramide handelt es sich in diesem Fall, um ein rechtwinkliges Dreieck mit der Fläche $G=\frac{1}{2} \cdot \overline{AM} \cdot \overline{MC}$. Die Höhe $h$ kann man hierbei wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \sphericalangle MAP_n&=& \dfrac{h}{\overline{AP_n}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AP_n}\\[5pt] h&=& \overline{AP_n} \cdot \sin \sphericalangle MAP_n \\[5pt] \end{array}$
$ h=\dotsc$
Somit gilt für das Volumen der Pyramide:
$\begin{array}[t]{rll} V &=&\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{AM} \cdot \overline{MC} \cdot \overline{AP_n} \cdot \sin \sphericalangle MAP_n \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \cdot 9 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm} \cdot dfrac{9 \text{ cm} \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})} \cdot \sin 48,01^{\circ}\\[5pt] &=& \dfrac{81 \cdot \sin 48,01^{\circ} \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})} \text{ cm}^3\\[5pt] &=& \dfrac{60,20 \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})} \text{ cm}^3\\[5pt] \end{array}$
$ V= \dfrac{60,20 \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})} \text{ cm}^3$
Damit hast du gezeigt, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von $\varphi$ $V=\dfrac{60,20 \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})} \text{ cm}^3$ gilt.
2.4
$\blacktriangleright$ Prozentualer Anteil des Volumens berechnen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass die Grundfläche der Pyramide $AM_2P_2C$ das rechtwinklige Dreieck $AMP_2$ mit der Hypotenuse $[AM]$ darstellt. Du sollst hierfür den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $AMP_2C$ am Volumen der Pyramide $ABCS$ berechnen.
Da die Hypotenuse die Seite $[AM]$ darstellt und sich der rechte Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck immer gegenüberliegend der Hypotenuse befindet lässt sich folgern, dass der Winkel $\sphericalangle AP_2M=90 ^{\circ}$ beträgt. Durch die obere Teilaufgabe ist außerdem der Winkel $\sphericalangle MAP_2=48,01 ^{\circ}$ bekannt. Mit der Winkelsumme im Dreieck kannst du den Winkel $\varphi$ berechnen. Für den Winkel $\varphi$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=& \sphericalangle AMP_2 + \sphericalangle MAP_2 +\sphericalangle AP_2M \\[5pt] 180^{\circ}&=& \varphi + 48,01^{\circ} +90 ^{\circ} \\[5pt] 180^{\circ}&=& \varphi + 138,01^{\circ} &\quad \scriptsize \mid\; -138,01^{\circ} \\[5pt] \varphi &=& 41,99^{\circ} \end{array}$
$ \varphi = 41,99^{\circ} $
Nun kannst du mit dem Winkel $\varphi$ das Volumen $V_1$ der Pyramide $AM_2P_2C$ bestimmen. Außerdem kannst du mit den gegebenen Angaben das Volumen der Pyramide $ABCS$ berechnen. Der prozentuale Anteil $p$ lässt sich anschließend durch folgende Formel bestimmen:
$p= \dfrac{V_1}{V_{ges}}$
$p= \dfrac{V_1}{V_{ges}}$
Für das Volumen $V_1$ folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& \dfrac{60,20 \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})} \text{ cm}^3\\[5pt] &=& \dfrac{60,20 \cdot \sin 41,99^{circle}}{\sin (41,99^{circle}+48,01^{\circ})} \text{ cm}^3\\[5pt] &=& 40,27 \text{ cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$V_1=40,27 \text{ cm}^3 $
Für das Volumen der Pyramide $ABCS$ folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} V_{ABCS}&=& \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \overline{AM} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{MS} \\[5pt] &=& \frac{1}{6} \cdot 9 \text{ cm} \cdot 12 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm}\\[5pt] &=& 180 \text{ cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$V_{ABCS}=180 \text{ cm}^3 $
Daraus folgt für den prozentualen Anteil $p$:
$\begin{array}[t]{rll} p &=& \dfrac{V_1}{V_{ABCS}} \\[5pt] &=& \dfrac{40,27 \text{ cm}^3}{180 \text{ cm}^3}\\[5pt] &=& 0,2237\\[5pt] &=& 22,37 \,\%\\[5pt] \end{array}$
Der prozentuale Anteil des Volumens der Pyramide $AMP_2C$ am Volumen der Pyramide $ABCS$ beträgt $22, 37\,\%.
2.5
$\blacktriangleright$ Wert für $\varphi$ berechnen
In dieser Teilaufgabe hast du gegeben, dass das gleichschenklige Dreieck $ACP_3$ mit der Basis $[CP_3]$ eine Seitenfläche der Pyramide $AMP_3C$ ist. Hierfür sollst du den zugehörigen Wert für $\varphi$ berechnen. Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt und als Basis die Seite $[CP_3]$ besitzt folgt daraus, dass die Seiten $[AC]$ und $[AP_3]$ die gleiche Länge besitzen.
In der oberen Teilaufgabe hast du bereit die Länge der Seiten $AP_n$ in Abhängigkeit von dem Winkel $\varphi$ angegeben. Somit musst du zuerst die Länge der Seite $[AC]$ mit Hilfe dem Satz des Pythagoras bestimmen und anschließend kannst du mit der Länge der Seite $[AP_3]$ den gesuchten Winkel $\varphi$ berechnen.
Bestimme also zunächst mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Seite $[AC]$ wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2 &=& \overline{AM}^2 +\overline{MC}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AC} &=& \sqrt{\overline{AM}^2 +\overline{MC}^2}\\[5pt] &=& \sqrt{9^2 +6^2} \text{ cm}\\[5pt] &=& 10,82 \text{ cm}\\[5pt] \end{array}$
$ \overline{AC}= 10,82 \text{ cm}$
Damit weißt du, dass $\overline{AC}=\overline{AP_3}=10,82 \text{ cm}$ gilt. Mit der zuvor berechneten Länge der Seiten $[AP_n]$ kannst du nun den Winkel $\varphi$ folgendermaßen bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AP_3} &=&\dfrac{9 \text{ cm} \cdot \sin \varphi}{\sin (\varphi +48,01^{\circ})} &\quad \scriptsize \mid\; \text{Additionstheorem} \\[5pt] \overline{AP_3} &=&\dfrac{9 \text{ cm} \cdot \sin \varphi}{\sin \varphi \cdot \cos 48,01^{\circ} + \cos \varphi \cdot sin 48,01^{\circ}}\\[5pt] \end{array}$
Hier kannst du mit $\sin \varphi \cdot \cos 48,01^{\circ} + \cos \varphi \cdot sin 48,01^{\circ}$ multiplizieren und es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AP_3} \cdot (\sin \varphi \cdot \cos 48,01^{\circ} + \overline{AP_3} \cdot \cos \varphi \cdot sin 48,01^{\circ})&=& 9 \text{ cm} \cdot \sin \varphi\\[5pt] \end{array}$
Anschließend kannst du durch $\sin \varphi$ teilen. Daraus folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AP_3} \cdot \cos 48,01^{\circ} + \overline{AP_3} \cdot \dfrac{\cos \varphi}{\sin \varphi} \cdot sin 48,01^{\circ}&=& 9 \text{ cm} &\quad \scriptsize \mid\; - \overline{AP_3} \cdot \cos 48,01^{\circ}\\[5pt] \overline{AP_3} \cdot \dfrac{1}{\tan \varphi} \cdot \sin 48,01^{\circ}&=& 9 \text{ cm} -\overline{AP_3} \cdot \cos 48,01^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
Durch teilen mit $\overline{AP_3}\cdot \sin 48,01^{\circ}$ erhältst du
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{\tan \varphi} &=& \dfrac{9 \text{ cm} -\overline{AP_3} \cdot \cos 48,01^{\circ}}{\overline{AP_3}\cdot \sin 48,01^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\; (\,)^{-1} \\[5pt] \tan \varphi &=& \dfrac{\overline{AP_3}\cdot \sin 48,01^{\circ}}{9 \text{ cm} -\overline{AP_3} \cdot \cos 48,01^{\circ}} &\quad \scriptsize \mid\; tan^{-1}(\,) \\[5pt] \varphi &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{\overline{AP_3}\cdot \sin 48,01^{\circ}}{9 \text{ cm} -\overline{AP_3} \cdot \cos 48,01^{\circ}} \right) \\[5pt] \varphi &=& \tan^{-1} \left( \dfrac{10,82 \text{ cm}\cdot \sin 48,01^{\circ}}{9 \text{ cm} -10,82 \text{ cm}} \cdot \cos 48,01^{\circ} \right) \\[5pt] \varphi &=& 77,65^{\circ} \end{array}$
$\varphi = 77,65^{\circ}$
Der zugehörige Wert für den Winkel $\varphi$ lautet somit $\varphi=77,65^{\circ}$.
2.6
$\blacktriangleright$ Volumen begründen
In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $[AMP_nC]$ $V\leq 90 \text{ cm}^3$ gilt. In der oberen Teilaufgabe hast du bereits berechnet, dass für das Volumen der Pyramide $[ABCS]$ $ V_{ABCS}= 180 \text{ cm}^3$ gilt. Nun weißt du, dass die Punkte $P_n$ nur auf der Strecke $[AS]$ liegen können.
Somit besitzen die Pyramiden $[AMP_nC]$ genau dann das größte Volumen, wenn der Punkt $P_n$ genau auf dem Punkt $S$ liegt. In diesem Fall beträgt das Volumen der Pyramide $[AMSC]$ genau die Hälfte des Volumen der Pyramide $[ABCS]$. Somit gilt:
$V \leq \dfrac{V_{ABCS}}{2}= 90 \text{ cm}^3$
Bildnachweise [nach oben]
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