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Teil B

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Aufgabe B 1

1.0
Punkte $B_n(x\mid -0,3x-1)$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=-0,3x-1$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$. Die sind zusammen mit dem Punkt $A(0\mid 0)$ sowie Punkten $C_n$ und $D_n$ für $x> 0,84$ Eckpunkte von Drachenvierecken $AB_nC_nD_n$ mit den Diagonalenschnittpunkten $M_n$.
Die Diagonalen $[AC_n]$ der Drachenvierecke $AB_nC_nD_n$ liegen auf der Symmetrieachse $h$ mit der Gleichung $y=\frac{2}{3}x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}$x$\mathbb{R})$. Es gilt: $\overrightarrow{AC_n}=4\cdot \overrightarrow{AM_n}$.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1
Zeichne die Geraden $g$ und $h$ sowie die Drachenvierecke $AB_1C_1D_1$ für $x=3$ und $AB_2C_2D_2$ für $x=5$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\,\text{cm}$; $-2\leqq x\leqq 10$; $-3\leqq y\leqq 8$
(4P)
1.2
Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$.
[Ergebnis: $D_n(0,11x-0,92\mid 1,04x+0,38)$]
(3P)
1.3
Der Punkt $D_3$ liegt auf der $y$-Achse.
Berechne die Koordinaten des Punktes $B_3$.
(2P)
1.4
Berechne die Koordinaten der Punkte $M_n$ und $C_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_n$.
[Ergebnis: $C_n(2,24x-1,84\mid 1,48x-1,24)$]
(2P)
1.5
Das Drachenviereck $AB_4C_4D_4$ ist bei $B_4$ rechtwinklig.
Berechne den zugehörigen Wert für $x$.
(4P)
1.6
Die Seite [$C_5D_5$] des Drachenvierecks $AB_5C_5D_5$ verläuft parallel zur $x$-Achse.
Begründe, dass gilt: $\sphericalangle D_5C_5B_5=67,38^{\circ}$.
(2P)

Aufgabe B 2

2.0
Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ ist die Grundfläche der Pyramide $ABCS$. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Basis [$BC$]. Die Pyramidenspitze $S$ liegt senkrecht über dem Punkt $M$.
Es gilt: $\overline{AM}=9\,\text{cm}$; $\overline{BC}=12\,\text{cm}$; $\overline{MS}=10\,\text{cm}$.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1
Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCS$, wobei die Strecke [$AM$] auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $M$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=0,5$; $\omega =45^{\circ}$.
Berechne sodann die Länge der Strecke [$AS$] sowie das Maß des Winkels $MAS$.
[Ergebnisse: $\overline{AS}=13,45\,\text{cm}$; $\sphericalangle MAS=48,01^{\circ}$]
(4P)
2.2
Auf der Strecke [$AS$] liegen Punkte $P_n$. Die Winkel $P_nMA$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ]0^{\circ}$;$90^{\circ}]$.
Die Dreiecke $AMP_n$ sind die Grundflächen von Pyramiden $AMP_nC$, deren Spitze der Punkt $C$ ist.
Zeichne die Pyramide $AMP_1C$ für $\phi =65^{\circ}$ in die Zeichnung zu B 2.1 ein.
(1P)
2.3
Berechne die Länge der Strecken [$AP_n$] in Abhängigkeit von $\phi$ und zeige sodann, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $AMP_nC$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $V(\phi)=\frac{60,20\cdot sin\phi}{sin(\phi + 48,01^{\circ})}\,\text{cm}^3$.
[Ergebnis: $\overline{AP_n}(\phi)$$=\frac{9\cdot sin \phi}{sin(\phi + 48,01^{\circ})}\,\text{cm}$]
(3P)
2.4
Die Grundfläche der Pyramide $AMP_2C$ ist das rechtwinklige Dreieck $AMP_2$ mit der Hypothenuse [$AM$].
Berechne den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $AMP_2C$ am Volumen der Pyramide $ABCS$.
(3P)
2.5
Das gleichschenklige Dreieck $AVP_3$ mit der Basis [$CP_3$] ist eine Seitenfläche der Pyramide $AMP_3C$.
Berechne den zugehörigen Wert für $\phi$.
(4P)
2.6
Begründe, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $AMP_nC$ gilt: $V\leqq 90\,\text{cm}^3$.
(2P)
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