Teil A

Aufgabe A1

1.0 Gegeben sind rechtwinklige Dreiecke $AB_nM$ mit $\overline{AM}=4\,\text{cm}$ und den Hypotenusen $[AB_n]$ .

Die Winkel $B_nAM$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]30^{\circ}90^{\circ}[$ .

Der Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r=\overline{MC}=2\,\text{cm}$ schneidet die Seite $[AM]$ im Punkt $D$ und die Seiten $[B_nM]$ im Punkt $C$ .

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1 Berechne die Länge der Seite $[AB_1]$ für $\varphi=54^{\circ}$ .

(1P)

1.2 Die Figuren $AB_nCD$ , die durch die Strecken $[AD]$ , $[AB_n]$ und $[B_nC]$ sowie durch den Kreisbogen $\Large^\frown\small{\hspace{-0.72cm}DC}$ begrenzt sind, rotieren um die Gerade $AM$ .
Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$V(\varphi)=\dfrac{16}{3}\cdot\pi\cdot\left(4\cdot\tan^2\varphi-1\right)\,\text{cm}^3$ .

(3P)

1.3 Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für $\varphi=54^{\circ}$ .

(1P)

Aufgabe A2

2.0 Punkte $A_n\left(2\cdot\sin\varphi-4\mid3\cdot\sin\varphi-1\right)$ mit $\varphi\in[0^{\circ}90^{\circ}]$ legen zusammen mit den Punkten $B(-2\mid-3)$ und $D(2\mid3)$ Parallelogramme $A_nBC_nD$ fest.

2.1 In das Koordinatensystem zu A 2.0 ist das Parallelogramm $A_1BC_1D$ für $\varphi=0^{\circ}$ eingezeichnet.
Berechne die Koordinaten des Punktes $A_2$ für $\varphi=90^{\circ}$ und zeichne sodann das Parallelogramm $A_2BC_2D$ ein.

(2P)

2.2 Zeige rechnerisch, dass für den Trägergraphen $t$ der Punkte $A_n$ gilt:

$y=\dfrac{3}{2}x+5$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Zeichne den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.

(3P)

2.3 Begründe, dass die Flächeninhalte $A$ aller Parallelogramme $A_nBC_nD$ maßgleich sind.

(4P)

Aufgabe A3

3.0 Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=\log_2(x+2)+1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

3.1 Gib die Definitionsmenge der Funktion $f_1$ an.

(1P)

3.2 Bestimme die nach $y$ aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f_1$ .

(2P)

3.3 Der Graph der Funktion $f_2$ hat eine Gleichung der Form $y=\log_2(-x+a)+3$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};\;a\in\mathbb{R})$ und schneidet den Graphen der Funktion $f_1$ auf der $y$ -Achse.

Bestimme den zugehörigen Wert für $a$ .

(2P)

Aufgabe A1

$\blacktriangleright$ Berechne den Winkel

Gegeben ist dir das rechtwinklige Dreieck $AB_nM$ , von welchem die Länge der Seite $\overline{AM}$ bekannt ist. Weiterhin ist dir ein Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$ gegeben, welcher das Dreieck in den Punkten $C$ und $D$ schneidet. Mit Hilfe der Kosinusfunktion kannst du nun die Länge der Seite $AB_1$ für den vorgegebenen Winkel $\varphi=54^{\circ}$ berechnen:

Da sowohl der Winkel $\varphi=54^{\circ}$ als auch die Länge der Strecke $\overline{AM}=4\,\text{cm}$ (Ankathete) bekannt sind, kannst du die Länge der Strecke $\overline{AB_1}$ (Hypotenuse) über den Kosinus berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \cos\varphi&=&\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB_1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(54^{\circ})&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{\overline{AB_1}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\dfrac{\overline{AB_1}}{\cos54^{\circ}} \\[5pt] \overline{AB_1}&=&\dfrac{4\,\text{cm}}{\cos54^{\circ}} \\[5pt] \overline{AB_1}&=& 6,81\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Die Länge der Strecke $\overline{AB_1}$ beträgt also $6,81\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Leite die Volumenformel her

Gegeben ist dir das rechtwinklige Dreieck $AB_nM$ , von welchem die Länge der Seite $\overline{AM}$ bekannt ist. Weiterhin ist dir ein Kreis mit Mittelpunkt $M$ gegeben, welcher das Dreieck in den Punkten $C$ und $D$ schneidet. Dabei ist der Radius des Kreises gegeben. Die Fläche $AB_nCD$ (lila) rotiert um die Gerade $\overline{AM}$ . Nun sollst du zeigen, dass für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers in Abhängigkeit von $\varphi$ folgendes gilt:

$V(\varphi)=\dfrac{16}{3}\cdot \pi\cdot (4\cdot\tan^2{(\varphi)}-1)$

Unter Benutzung der Tangensfunktion und der Volumenformeln für Kegel und Halbkugel kannst du die Formel für das Volumen des Rotationskörpers herleiten.

Bei der Rotation des rechtwinkligen Dreiecks $AB_nM$ (Skizze rot) um die Gerade $\overline{AM}$ entsteht ein Kegel, dessen Volumen du wie folgt berechnen kannst:

$V_{Kegel}=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot r^2\cdot\pi\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot\overline{MB_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{AM}$

Bei der Rotation des Viertelkreises $MCD$ (Skizze grün) um die Strecke $\overline{MD}$ ensteht eine Halbkugel, deren Volumen du wie folgt berechnen kannst:

$V_{Halbkugel}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot\overline{MC}^3$

Das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation der Fläche $AB_nCD$ entsteht, erhältst du, indem du das Volumen des Kegels und das Volumen der Halbkugel mit Radius voneinander subtrahierst.

$\begin{array}[t]{rll} V&=&V_{Kegel}-V_{Halbkugel} \quad \scriptsize \\[5pt] V&=&\dfrac{1}{3}\cdot\overline{MB_n}^2\cdot\pi\cdot\overline{AM}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\overline{MC}^3\cdot \pi &\quad \scriptsize \overline{AM}=4\,\text{cm},\,\overline{MC}=2\,\text{cm} \\[5pt] V&=&\dfrac{1}{3}\cdot\overline{MB_n}^2\cdot\pi\cdot4\,\text{cm}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot(2\,\text{cm})^3\cdot \pi \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Nun hast du eine Formel, welche jedoch noch völlig unabhängig von $\tan(\varphi)$ ist. Dieser berechnet sich im Dreieck $AB_nM$ jedoch wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi)&=&\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \quad \scriptsize \\[5pt] \tan(\varphi)&=&\dfrac{\overline{MB_n}}{\overline{AM}} &\quad\scriptsize \overline{AM}=4\,\text{cm}\\[5pt] \tan(\varphi)&=&\dfrac{\overline{MB_n}}{4\,\text{cm}} & \quad \scriptsize \mid\;\cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{MB_n}(\varphi)&=&4\,\text{cm}\cdot \tan(\varphi) \\[5pt] \end{array}$

Dies kannst du jetzt in die obige Volumenformel einsetzen und erhältst:

$\begin{array}[t]{rll} V(\varphi)&=& \left(\dfrac{1}{3}\cdot (4\cdot\tan(\varphi))^2\cdot\pi\cdot 4 - \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot 2^3\cdot \pi \right) \,\text{cm}^3 \quad \scriptsize \\[5pt] V(\varphi)&=&\left(\dfrac{16}{3}\cdot\tan^2{(\varphi)}\cdot\pi\cdot 4- \dfrac{16}{3}\cdot\pi\right)\,\text{cm}^3 & \quad \scriptsize \dfrac{16}{3}\cdot\pi \,\text{ausklammern} \\[5pt] V(\varphi)&=& \dfrac{16}{3}\cdot\pi\cdot(4\cdot\tan^2{(\varphi)}-1)\,\text{cm}^3 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Berechne das Volumen

In diesem Aufgabenteil sollst du das Volumen des Rotationskörpers für $\varphi=54^{\circ}$ berechnen. Dazu musst du $\varphi=54^{\circ}$ in die gegebene Volumenformel einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} V(\varphi)&=& \dfrac{16}{3}\cdot\pi\cdot(4\cdot\tan^2{(\varphi)}-1)\,\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \varphi=54^{\circ} \\[5pt] V(54^{\circ})&=& \dfrac{16}{3}\cdot\pi\cdot(4\cdot\tan^2{(54^{\circ})}-1)\,\text{cm}^3 \\[5pt] V(54^{\circ})&=& 110,21\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Körpers beträgt also $110,21\,\text{cm}^3$ .

Aufgabe A2

$\blacktriangleright$ Berechne den Winkel

Gegeben sind dir das Parallelogramm $A_nBC_nD$ sowie die Koordinaten der Punkte $A_n$ , $B$ und $D$ . Gesucht sind die Koordinaten des Punktes $A_2$ für $\varphi=90^{\circ}$ . Des Weiteren sollst du das Parallelogramm $A_2BC_2D$ in die Grafik einzeichnen. Dabei ist es hilfreich, die Punktsymmetrie der Punkte $A_n$ und $C_n$ zum Ursprung auszunutzen. Gehe dafür wie folgt vor:

Koordinaten des Punktes $C_n$ bestimmen

Kooridnaten des Punktes $A_2$ berechnen

1. Schritt: Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{C_n}$ bestimmen

Bei genauerer Betrachtung des Parallelogramms $A_1BC_1D$ stellst du fest, dass sowohl $A_1$ und $C_1$ als auch $B$ und $D$ punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Das heißt, dass die Koordinaten der jeweiligen Paare jeweils mit $-1$ multipliziert werden, um eine Spiegelung im Ursprung zu erhalten. Dies kannst du zum Beispiel bei den Punkten $B(-2\mid-3)$ und $D(2\mid3)$ feststellen. Folglich gilt für den Punkt $C_n$ :

$C_n(-2\cdot\sin(\varphi)+4\mid -3\cdot\sin(\varphi)+1)$

2. Schritt: Kooridnaten des Punktes $\boldsymbol{A_2}$ berechnen

Da du die Koordinaten des Punktes $A_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ kennst, kannst du diese nun für $\varphi=90^{\circ}$ durch Einsetzen berechnen:

$A_2\left(2\cdot \sin(90^{\circ})-4\mid 3\cdot\sin(\varphi)-1\right)=A_2\left(-2\mid 2\right)$

Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung folgt für $C_2$ :

$C_2(2\mid -2)$

Eine Skizze samt eingezeichnetem Parallelogramm $A_2BC_2D$ findest du im nächsten Aufgabenteil.

$\blacktriangleright$ Trägergraphen bestimmen

Gegeben sind dir die Parallelogramme $A_nBC_nD$ sowie die Koordinaten der Punkte $A_n$ , $B$ und $D$ . Nun sollst du den Trägergraphen der Punkte $A_n$ bestimmen und diesen anschließend in der Skizze einzeichnen. Da sowohl die $x$ -Koordinate als auch die $y$ -Koordinate von $A_n$ von $\varphi$ abhängen, kannst du die beiden als Funktionen $x(\varphi)$ und $y(\varphi)$ auffassen.

Wenn du nun zum Beispiel die Funktion $x(\varphi)$ nach $\sin(\varphi)$ auflöst und das Ergebnis davon in $y(\varphi)$ einsetzt, erhältst du die Funktion des Trägergraphen:

$\begin{array}[t]{rll} x&=&2\cdot\sin(\varphi)-4& \quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 2\cdot \sin(\varphi)&=&x+4& \quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \sin(\varphi)&=&\dfrac{1}{2}(x+4) \\[5pt] \end{array}$

Dies kannst du nun in $y(\varphi)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&3\cdot\sin(\varphi)-1 & \quad \scriptsize \sin(\varphi)=\dfrac{1}{2}(x+4)\,\text{einsetzen} \\[5pt] y&=&3\cdot \dfrac{1}{2}(x+4)-1 \\[5pt] y&=&\dfrac{3}{2}\cdot x+ \dfrac{3}{2}\cdot 4-1 \\[5pt] y&=& \dfrac{3}{2}\cdot x+5 \\[5pt] \end{array}$

Folglich gilt für den Trägergraphen: $y= \dfrac{3}{2}\cdot x+5$ . Das Schaubild mit den Parallelogrammen $A_1BC_1D$ und $A_2BC_2D$ inklusive Trägergraphen sieht wiefolgt aus:

$\blacktriangleright$ Gleichheit der Flächeninhalte zeigen

In diesem Aufgabenteil ist dir erneut das Parallelogramm $A_nBC_nD$ gegeben. Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass die Flächeninhalte aller Parallelogramme $A_nBC_nD$ gleich sind. Hilfreich dabei ist, wenn du dir die Flächenformel für Parallelogramme über die Determinante herleitest.

Zur Vereinfachung kannst du aus dem Parallelogramm $A_nBC_nD$ ein neues Parallelogramm konstruieren. Die Strecke $\overline{BD}$ teilt jedes Parallelogramm $A_nBC_nD$ in zwei identische Dreiecke. Wie du in der Skizze sehen kannst wurde die Seite $\overline{BC_1}$ des Dreiecks $BC_1D$ an die Seite $\overline{A_1D}$ gesetzt was zu einem neuen Parallelogramm führt. Diese Konstruktion funktioniert für alle Parallelogramme $A_nBC_nD$ .

Bevor du den Flächeninhalt bestimmen kannst benötigst du noch die Richtungen $\overrightarrow{BD}$ und $\overrightarrow{BA_n}$

$\overrightarrow{BD}= \begin{pmatrix}2-(-2)\\3-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{BA_n}(\varphi)=\begin{pmatrix}2\sin(\varphi)-4-(-2)\\3\sin(\varphi)-1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\sin(\varphi)-2\\3\sin(\varphi)+2\end{pmatrix}$

Nun kannst du den Flächeninhalt des neuen Parallelogramms über die Determinante bestimmen:

$A(\varphi)=\left|\begin{pmatrix}\overrightarrow{BD}& \overrightarrow{BA_n}\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}4 & 2\sin(\varphi)-2\\6&3\sin(\varphi)+2\end{pmatrix}\right|=4\cdot ( 3\sin(\varphi)+2)-6\cdot (2\sin(\varphi)-2) =12\sin(\varphi)+8-(12\sin(\varphi)-12)=20$

Der Flächeninhalt beträgt also für jedes Parallelogramm $A_nBC_nD\; 20$ $\text{FE}$ .

Aufgabe A3

$\blacktriangleright$ Definitionsmenge angeben

Betrachte die Funktion $f_1$ , zu welcher du die Definitionsmenge angeben sollst. Dazu betrachtest du die einzelnen "Terme" (hier im Speziellen die Logarithmusfunktion) und schränkst die zulässigen $x$ -Werte so ein, dass die Funktionen definiert sind:

Die gegebene Funktion lautet $y=\log_2(x+2)+1$ . Da der Logarithmus nur für Zahlen, die echt größer $0$ sind, definiert ist, gilt es sicherzustellen keine $x$ -Werte zuzulassen, bei denen $x+2\leq0$ ist:

$\begin{array}[t]{rll} x+2&>&0& \quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&>&-2 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt für die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\left\{x\mid x&gt-2\right\}$ .

$\blacktriangleright$ Umkehrfunktion bestimmen

In diesem Aufgabenteil sollst du die Umkehrfunktion der Funktion $f_1$ bestimmen. Diese erhältst du, indem du die Gleichung der Funktion $f_1$ nach $x$ auflöst:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&\log_2(x+2)+1 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] y-1&=&\log_2(x+2) &\quad \scriptsize \text{Erhebung beider Seiten der Gleichung in den Exponenten zur Basis}\,2 \\[5pt] 2^{y-1}&=&2^{\log_2(x+2)}\\[5pt] 2^{y-1}&=&x+2 & \quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&=&2^{y-1}-2 \\[5pt] \end{array}$

Nun musst du nur noch $x$ und $y$ vertauschen, um wieder eine Funktion zu erhalten, deren $y$ -Werte von $x$ abhängen. Daraus folgt für die Umkehrfunktion:

$f_1^{-1}:\, y=2^{x-1}-2$

$\blacktriangleright$ Parameter und Schnittpunkt bestimmen

In diesem Aufgabenteil ist zur Funktion $f_1$ eine weitere Funktion $f_2$ gegeben, die von einem vorerst unbekannten Parameter $a$ abhängt.
Der Graph von $f_2$ schneidet den Graphen von $f_1$ auf der $y$ -Achse. Nun sollst du den zugehörigen Wert für $a$ berechnen. Da der Schnittpunkt auf der $y$ -Achse liegt, schneiden sich die Schaubilder an der Stelle $\color{#87c800}{\boldsymbol{x=0}}$ . Das heißt wiederum, dass die Funktionswerte an dieser Stelle gleich sind und $\color{#87c800}{\boldsymbol{f_1(0)=f_2(0)}}$ gelten muss. Diese Gleichung kannst du dann nach $a$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} \log_2(x+2)+1&=&\log_2(-x+a)+3 & \quad \scriptsize x=0 \\[5pt] \log_2(2)+1&=&\log_2(a)+3 \\[5pt] 1+1&=&\log_2(a)+3 & \quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] -1&=&\log_2(a) & \quad \scriptsize \text{Erhebung beider Seiten der Gleichung in den Exponenten zur Basis}\,2 \\[5pt] 2^{\log_2(a) }&=&2^{-1} \\[5pt] a&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

Der zugehörige Wert für $a$ ist somit $0,5$ .