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Teil A

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Aufgabe A1

1.0  Gegeben sind rechtwinklige Dreiecke $AB_nM$ mit $\overline{AM}=4\,\text{cm}$ und den Hypotenusen $[AB_n]$.
Die Winkel $B_nAM$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]30°90°[$.
Der Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r=\overline{MC}=2\,\text{cm}$ schneidet die Seite $[AM]$ im Punkt $D$ und die Seiten $[B_nM]$ im Punkt $C$.
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1  Berechne die Länge der Seite $[AB_1]$ für $\varphi=54°$.
(1P)
1.2  Die Figuren $AB_nCD$, die durch die Strecken $[AD]$, $[AB_n]$ und $[B_nC]$ sowie durch den Kreisbogen $\Large^\frown\small{\hspace{-0.72cm}DC}$ begrenzt sind, rotieren um die Gerade $AM$.
Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:
$V(\varphi)=\dfrac{16}{3}\cdot\pi\cdot\left(4\cdot\tan^2\varphi-1\right)\,\text{cm}^3$.
(3P)
1.3  Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers für $\varphi=54°$.
(1P)

Aufgabe A2

2.0  Punkte $A_n\left(2\cdot\sin\varphi-4\mid3\cdot\sin\varphi-1\right)$ mit $\varphi\in[0°90°]$ legen zusammen mit den Punkten $B(-2\mid-3)$ und $D(2\mid3)$ Parallelogramme $A_nBC_nD$ fest.
2.1  In das Koordinatensystem zu A 2.0 ist das Parallelogramm $A_1BC_1D$ für $\varphi=0°$ eingezeichnet.
Berechne die Koordinaten des Punktes $A_2$ für $\varphi=90°$ und zeichne sodann das Parallelogramm $A_2BC_2D$ ein.
(2P)
2.2  Zeige rechnerisch, dass für den Trägergraphen $t$ der Punkte $A_n$ gilt:
$y=\dfrac{3}{2}x+5$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$.
Zeichne den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zu A 2.0 ein.
(3P)
2.3  Begründe, dass die Flächeninhalte $A$ aller Parallelogramme $A_nBC_nD$ maßgleich sind.
(4P)

Aufgabe A3

3.0  Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Gleichung $y=\log_2(x+2)+1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$.
3.1  Gib die Definitionsmenge der Funktion $f_1$ an.
(1P)
3.2  Bestimme die nach $y$ aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f_1$.
(2P)
3.3  Der Graph der Funktion $f_2$ hat eine Gleichung der Form $y=\log_2(-x+a)+3$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};\;a\in\mathbb{R})$ und schneidet den Graphen der Funktion $f_1$ auf der $y$-Achse.
Bestimme den zugehörigen Wert für $a$.
(2P)
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