Teil A

Aufgabe A1

1.0

Informationen über die Leistungsfähigkeit eines Sportlers kann man mithilfe von sogenannten Laktat-Tests ermitteln, da die Laktat-Konzentration im Blut mit steigender Laufgeschwindigkeit zunimmt.

Bei einem solchen Test wird die Laktat-Konzentration $y\dfrac{\text{mmol}}{\text{l}}$ (Millimol pro Liter Blut) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit $x\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ erfasst.

Für Paul lässt sich dieser Zusammenhang bei einem Test näherungsweise durch die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=0,01\cdot1,5^x+0,85 \,\,(\mathbb{G}=\mathbb{R}^+_0 \times\mathbb{R}^+_0)$ beschreiben.

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

1.1

Bei Paul wurde für die Geschwindigkeiten von $10\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ und $12\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ jeweils eine Messung der Laktat-Konzentration durchgeführt.

Berechne mithilfe der Funktion $f$ die zugehörigen Funktionswerte für diese beiden Geschwindigkeiten und ermittle sodann, um wie viel Prozent sich die Laktat-Konzentration zwischen diesen beiden Messungen erhöht hat.

(3 P)

1.2

Berechne die nach $y$ aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu $f$ .

(2 P)

Aufgabe A2

2.0

Punkte $B_n(x\mid0,5x-4)$ und Punkte $C_n$ liegen auf der Geraden $g$ mit der Gleichung $y=0,5x-4\,\,(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).$ Sie sind für $x\gt -4,25$ zusammen mit dem Punkt $A(0\mid0)$ und den Punkten $D_n$ Eckpunkte von Trapezen $AB_nC_nD_n.$

Es gilt: $\sphericalangle B_nAD_n=45^{\circ}$ ; $\overline{AD_n}=\dfrac{1}{2}\cdot\overline{AB_n}$ ; $[AB_n]\mid\mid[D_nC_n].$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

2.1

Im Koordinatensystem sind die Gerade $g$ und das Trapez $AB_1C_1D_1$ für $x=-3$ bereits gezeichnet.

Zeichne das Trapez $AB_2C_2D_2$ für $x=2$ ein.

(1 P)

2.2

Im Trapez $AB_3C_3D_3$ gilt: $\sphericalangle C_3B_3A=90^{\circ}.$

Berechne den zugehörigen Wert von $x.$

(3 P)

2.3

Zeige rechnerisch, dass für die Koordinaten der Punkte $D_n$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $D_n(0,18x+1,41\mid0,53x-1,41).$

(3 P)

2.4

Berechne die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_n$ und zeichne diesen in das Koordinatensystem zu A 2.1 ein.

(3 P)

Aufgabe A3

3.0

Gegeben ist ein Schrägbild des Würfels $ABCDEFGH$ mit $\overline{AB}=4\,\text{cm}.$ $P$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AD]$ , $Q$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[AC]$ und $R$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[EG].$

Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

3.1

Punkte $S_n\in[QR]$ legen zusammen mit $P$ und $Q$ Winkel $QPS_n$ mit dem Maß $\varphi$ fest. Sie sind für $\varphi\in[0^{\circ};63,43^{\circ}[$ die Spitzen von Pyramiden $EFGHS_n$ mit der Grundfläche $EFGH$ .

Zeichne die Strecke $[PS_1]$ und die Pyramide $EFGHS_1$ für $\varphi=30^{\circ}$ in die Zeichnung A 3.0 ein.

(1 P)

3.2

Zeige rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $EFGHS_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=(21,33-10,67\cdot\tan\varphi)\,\text{cm}^3.$

(3 P)

3.3

Unter den Pyramiden $EFGHS_n$ hat die Pyramide $EFGHS_0$ das maximale Volumen $V_0.$ Begründe, weshalb gilt: $V_\text{Würfel}:V_0=3:1.$

(2 P)

Lösung A1

1.1

$f(10)$ $=0,01 \cdot 1,5^{10}+0,85$ $= 1,43$

$f(12)$ $=0,01 \cdot 1,5^{12}+0,85$ $= 2,15$

Einsetzen in die Prozentformel ergibt:

$\dfrac{2,15-1,43}{1,43} \cdot 100 \,\% =50,35 \,\%$

Die Laktat-Konzentration hat sich um $50,35 \,\%$ erhöht.

1.2

Variablentausch: $x= 0,01 \cdot 1,5^{y}+0,85$

Auflösen nach $y:$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$y = \log_{1,5}(100x - 85)$

Lösung A2

2.1

1. Die Koordinaten des Punktes $B_n$ für $x = 2$ berechnen ergibt: $B_2(2|-3)$
2. Den Punkt $B_2$ in das Koordinatensystem einzeichnen.
3. Die Strecke $\overline{AB_2}$ in das Koordinatensystem einzeichnen.
4. Die Strecke $\overline{AD_2}$ konstruieren, indem die Hälfte der Streckenlänge von $\overline{AB_2}$ im $45^\circ$ Winkel zu $\overline{AB_2}$ abgetragen wird.
5. Parallel zu der Strecke $\overline{AB_2}$ eine Strecke von Punkt $D_2$ bis zur Geraden $g$ einzeichnen. Der resultierende Schnittpunkt mit der Geraden $g$ wird mit $C_2$ bezeichnet.
6. Eine Strecke von dem Punkt $B_2$ zu dem Punkt $C_2$ einzeichnen.

2.2

$\overrightarrow{A B_{n}}(x)=\left(\begin{array}{c} x \\ 0,5 x-4 \end{array}\right)$ mit $x \in \mathbb{R} ; x>-4,25$

$\overrightarrow{v_{g}}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right)$

Damit $\sphericalangle C_{3} B_{3} A=90^{\circ}$ gilt, muss der Vekor $\overrightarrow{A B_{n}}(x)$ senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{v_{g}}$ stehen. Somit ergibt sich folgende Gleichung mit dem Skalarprodukt für $x \in \mathbb{R} ; x>-4,25$ :

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\0,5 x-4} \circ \pmatrix{2 \\ 1}&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] 2x + 0,5x -4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; + 4 \\[5pt] 2,5x &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; : 2,5 \\[5pt] x &=& 1,6 \end{array}$

$\mathbb{L} = \{1,6 \}$

2.3

Es gilt: $\sphericalangle B_{n} A D_{n}=45^{\circ}$ und $\overline{A D_{n}}=\dfrac{1}{2} \cdot \overline{A B_{n}}$ .

Die Strecke $\overline{A D_{n}}$ geht mithilfe einer Drehmatrix aus der Strecke $\overline{A B_{n}}$ hervor.

Somit ergibt sich folgende Gleichung mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} ; x \in \mathbb{R} ; x>-4,25$ :

$\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)$ $=0,5 \cdot\left(\begin{array}{cc} \cos 45^{\circ} & -\sin 45^{\circ} \\ \sin 45^{\circ} & \cos 45^{\circ} \end{array}\right)$ $\cdot \left(\begin{array}{c} x \\ 0,5 x-4 \end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc} \dfrac{\sqrt{2}}{4} & -\dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ \dfrac{\sqrt{2}}{4} & \dfrac{\sqrt{2}}{4} \end{array}\right)$ $\cdot \left(\begin{array}{c} x \\ 0,5 x-4 \end{array}\right)$

$\approx \left(\begin{array}{l} 0,18 x+1,41 \\ 0,53 x-1,41 \end{array}\right)$

Es folgt: $D_{n}(0,18 x+1,41 \mid 0,53 x-1,41)$

2.4

Aus Aufgabe 2.3 folgt mit $\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} ; \mathbf{x} \in \mathbb{R} ; \mathbf{x}>-4,25$ :

$x_{D_{n}}=0,18 x+1,41$ und $y_{D_{n}}=0,53 x-1,41$

Auflösen der ersten Gleichung nach $x:$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x = 5,56 x_{D_{n}} - 7,83$

Einsetzen in die zweite Gleichung ergibt:

$y_{D_{n}}$ $= 0,53 \cdot (5,56 x_{D_{n}} - 7,83) - 1,41$ $=2,94 x_{D_{n}}-5,56$

Somit ergibt sich folgende Gleichung für den Trägergraphen mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ :

$t : y=2,94 x-5,56$

Lösung A3

3.1

Der Winkel $\varphi$ wird an der Stecke $\overline{PQ}$ im Punkt $P$ mit $\varphi = 30 ^ \circ$ abgetragen. $S_1$ ist dann der Schnittpunkt mit der Strecke $\overline{RQ}.$

3.2

Hauptrechnung:

$V=\frac{1}{3} \cdot G \cdot h$

$V=\frac{1}{3} \cdot \overline{E F}^{2} \cdot \overline{R S_{n}}$

$V = \frac{1}{3} \cdot \overline{E F}^{2} \cdot \left( \overline{QR} - \overline{Q S_{n}} \right)$

Nebenrechnung:

Aus $\tan (\varphi)=\dfrac{\overline{Q S}_{n}}{\overline{PQ}}$ mit $\overline{PQ} = 0,5 \cdot 4 \text{ cm}$ folgt:

$\overline{Q S_{n}}(\varphi)=2 \cdot \tan ( \varphi)$ $\mathrm{cm}.$

Fortführung der Hauptrechnung:

$V(\varphi) = \frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot \left( 4 -2 \tan (\varphi) \right)$ $\mathrm{cm}^3$

$V(\varphi)=(21,33-10,67 \cdot \tan \varphi)$ $\mathrm{cm}^{3}$

3.3

Da alle Pyramiden der Form EFGHS $_{0}$ die gleiche Grundfläche haben, unterscheiden sie sich nur in ihrer Höhe. Weil das Volumen einer Pyramide proportional zu ihrer Höhe ist, ist die Pyramide EFGHS $_{0}$ maximalem in ihrem Volumen wenn gilt: $\overline{R S}_{0}=\overline{R Q}=4 \text{ cm.}$

Somit ergibt sich für das Volumen $V_0$ der Pyramide EFGHS $_{0}:$

$V_{0} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ $=\frac{1}{3} \cdot \underbrace{4^{2} \cdot 4 }_{V_{\text {Würfel }}}=\frac{1}{3} \cdot V_{\text {Würfel }}$
Somit ergibt sich folgendes Verhältnis:

$V_{\text {Würfel }}: V_{0}=3: 1$