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Teil A

Aufgaben
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A 1.0
Teil A
Abb. 1: Trapez
Teil A
Abb. 1: Trapez
A 1.1
Zeichne in die Zeichnung zu A 1.0 das Trapez $A_2B_2C_2D$ für $\phi=40^°$ ein.
(1 P)
A 1.2
Zeige durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $[DC_n]$ und $[SA_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $\overline{DC_n}(\phi)=3 \cdot \tan \phi \,\text{cm}$ und $\overline{SA_n}(\phi)=\dfrac{4}{\tan \phi} \,\text{cm}.$
(2 P)
A 1.3
Bestätige rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\phi$ gilt:
$V(\phi)=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{64}{\tan \phi}-27 \cdot \tan^2 \phi \right) \,\text{cm}^3.$
$V(\phi)=\dotsc$
(2 P)
#rotationsvolumen
A 2.0
Die Punkte $A(-0,5 \mid 1)$ und $B(3,5 \mid 1)$ legen zusammen mit Pfeilen $\overrightarrow{AC_n}(\phi)=\pmatrix{8 \cdot \cos \phi -0,5\\ \frac{1}{\cos \phi}+1}$ für $\phi \in [0^°;90^°[$ Dreiecke $ABC_n$ fest.
Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
A 2.1
Berechne die Koordinaten der Pfeile $\overrightarrow{AC_1}$ für $\phi=40^°$ und $\overrightarrow{AC_2}$ für $\phi=80^°.$
Zeichne anschließend die Dreiecke $ABC_1$ und $ABC_2$ in das Koordinatensystem ein.
Teil A
Abb. 2: Koordinatensystem
Teil A
Abb. 2: Koordinatensystem
(3 P)
A 2.2
Zeige rechnerisch, dass dür die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $C_n \left(8 \cdot \cos \phi -1 \Bigg| \dfrac{1}{\cos \phi}+2 \right).$
(1 P)
A 2.3
Bestimme rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $C_n.$
(2 P)
A 2.4
Unter den Dreiecken $ABC_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $ABC_3$ mit der Basis $[AB].$
Ermittle das zugehörige Winkelmaß $\phi$ und begründe durch Rechnung, dass das Dreieck $ABC_3$ nicht gleichseitig ist.
(3 P)
#gleichschenkligesdreieck#gleichseitigesdreieck
A 3.0
Gegeben sind die Funktionen $f_1$ mit der Gleichung $y=4 \cdot 0,5^x$ und $f_2$ mit der Gleichung $y=4 \cdot 0,5^{x+2} -3 \, (\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}).$ Punkte $A_n\left(x \big| 4 \cdot 0,5^x \right)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $B_n\left(x \big| 4 \cdot 0,5^{x+2}-3 \right)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x.$ Die Strecken $[A_nB_n]$ sind für $x \in \mathbb{R}$ die Basen von gleichschenkligen Dreiecken $A_nB_nC_n.$ Für die Höhen $[M_nC_n]$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ gilt: $\overline{M_nC_n}=3 \,\text{LE}.$
Teil A
Abb. 3: Graphen
Teil A
Abb. 3: Graphen
A 3.1
Zeichne das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=1$ in das Koordinatensystem ein.
(1 P)
A 3.2
Zeige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{A_nB_n}(x)=(3 \cdot 0,5^x+3) \,\text{LE}.$
(2 P)
#abszisse
A 3.3
Das Dreieck $A_2B_2C_2$ hat einen Flächeninhalt von $15 \,\text{FE}.$
Berechne den zugehörigen Wert für $x.$
(2 P)
#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
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[2]
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Lösungen
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A 1.1
$\blacktriangleright$  Trapez einzeichnen
Für das Trapez $A_2B_2C_2D_2$ folgt mit $\phi=40^°$:
Teil A
Abb. 1: Trapez
Teil A
Abb. 1: Trapez
A 1.2
$\blacktriangleright$  Längen der Strecken nachweisen
Mit dem Tangens im Dreieck $DC_nS$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \phi&=&\dfrac{ \overline{DC_n}}{\overline{SD}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{SD}\\[5pt] \overline{SD} \cdot \tan \phi&=& \overline{DC_n} \\[5pt] 3 \cdot \tan \phi \,\text{cm}&=& \overline{DC_n} \end{array}$
$ \overline{DC_n}= 3 \cdot \tan \phi \,\text{cm}$
Somit folgt für die Länge der Strecke $[DC_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$:
$ \overline{DC_n}=3\cdot \tan \phi \,\text{cm}.$
Mit dem Tangens im Dreieck $A_nB_nS$ folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \phi&=&\dfrac{ \overline{A_nB_n}}{\overline{SA_n}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{SA_n}\\[5pt] \overline{SA_n} \cdot \tan \phi&=&\overline{A_nB_n} &\quad \scriptsize \mid\; :\tan \phi\\[5pt] \overline{SD}&=& \dfrac{ \overline{A_nB_n}}{\tan \phi} \\[5pt] \overline{SD}&=& \dfrac{4}{\tan \phi} \,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{SD}= \dfrac{4}{\tan \phi} \,\text{cm}$
Somit folgt für die Länge der Strecke $[SA_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$:
$ \overline{DC_n}=\dfrac{4}{\tan \phi} \,\text{cm}.$
#winkelsätze
A 1.3
$\blacktriangleright$  Volumen des Rotationskörpers bestätigen
Der entstehende Rotationskörper ist ein Kegelstumpf. Mit der Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V(\phi)&=& \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \overline{A_nB_n}^2 \cdot \overline{SA_n} - \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \overline{DC_n}^2 \cdot \overline{SD} \\[5pt] &=&\left( \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot \dfrac{4}{\tan \phi} - \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3\cdot \tan \phi)^2 \cdot 3 \right)\text{cm}^3 \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( 16 \cdot \dfrac{4}{\tan \phi} - 9 \cdot \tan^2 \phi \cdot 3 \right)\text{cm}^3 \\[5pt] &=&\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( \dfrac{64}{\tan \phi} - 27 \cdot \tan^2 \phi \right)\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$V(\phi)=\dotsc$
Somit ist bestätigt, dass für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers folgende Gleichung gilt:
$V(\phi)=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left( \dfrac{64}{\tan \phi} - 27 \cdot \tan^2 \phi \right)\text{cm}^3$
$V(\phi)=\dotsc$
A 2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Für die Koordinaten des Pfeiles $\overrightarrow{AC_1}$ folgt mit $\phi=40^°$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_1}&=& \pmatrix{8 \cdot \cos 40^° -0,5\\ \dfrac{1}{\cos 40^° }+1} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{5,6\\2,3}\\[5pt] \end{array}$
Für die Koordinaten des Pfeiles $\overrightarrow{AC_2}$ folgt entsprechend mit $\phi=80^°$:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_2}&=& \pmatrix{8 \cdot \cos 80^° -0,5\\ \dfrac{1}{\cos 80^° }+1} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{0,9\\6,8}\\[5pt] \end{array}$
Somit gelten für die Koordinaten $\overrightarrow{AC_1}(40^°) \approx \pmatrix{5,6\\2,3}$ und $\overrightarrow{AC_2}(80^°) \approx \pmatrix{0,9\\6,8}.$
$\blacktriangleright$  Dreiecke zeichnen
Für die Dreiecke $ABC_1$ und $ABC_2$ folgen mit den zuvor bestimmten Koordinaten:
Teil A
Abb. 2: Dreiecke
Teil A
Abb. 2: Dreiecke
A 2.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten nachweisen
Für die Pfeile $\overrightarrow{AC_n}$ gilt mit den Ortsvektoren die Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_n}(\phi)&=&\overrightarrow{OC_n} - \overrightarrow{OA} &\quad \scriptsize \mid\; +\overrightarrow{OA}\\[5pt] \overrightarrow{AC_n}(\phi) +\overrightarrow{OA} &=& \overrightarrow{OC_n} \\[5pt] \pmatrix{8 \cdot \cos \phi -0,5\\ \dfrac{1}{\cos \phi}+1} +\pmatrix{-0,5\\1} &=& \overrightarrow{OC_n} \\[5pt] \pmatrix{8 \cdot \cos \phi -1\\ \dfrac{1}{\cos \phi}+2}&=& \overline{OC_n} \end{array}$
$ \overline{OC_n}=\pmatrix{8 \cdot \cos \phi -1\\ \dfrac{1}{\cos \phi}+2} $
Somit gilt für die Koordinaten $C_n\left(8 \cdot \cos \phi -1 \Bigg| \dfrac{1}{\cos \phi }+2 \right).$
#ortsvektor
A 2.3
$\blacktriangleright$  Gleichung des Trägergraphen bestimmen
Für die Gleichungen des Trägergraphen ergeben sich mit den Koordinaten der Punkte $C_n$:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& x&=& 8 \cdot \cos \phi -1 \\[5pt] \text{II}\quad& y&=& \dfrac{1}{\cos \phi} +2 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung $\text{I}$ kann somit wie folgt nach $\cos \phi $ umgeformt werden:
$\begin{array}[t]{rll} x&=& 8 \cdot \cos \phi -1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] x+1&=& 8 \cdot \cos \phi &\quad \scriptsize \mid\; :8\\[5pt] \frac{1}{8} \cdot (x+1)&=& \cos \phi \end{array}$
$\cos \phi=\frac{1}{8} \cdot (x+1)$
Durch Einsetzen in die Gleichung $\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{1}{\frac{1}{8} \cdot (x+1)} +2\\[5pt] y&=& \dfrac{8}{x+1} +2\\[5pt] \end{array}$
Damit lautet die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $C_n$:
$y= \dfrac{8}{x+1} +2$
A 2.4
$\blacktriangleright$  Winkelmaß bestimmen
Die Basis des gleichschenkligen Dreiecks $ABC_3$ ist $[AB]$, somit folgt, dass die $x$-Koordinate des Punktes $C_3$ genau in der Mitte der Strecke $[AB]$ liegen muss. Hierbei besitzen die Punkte $A$ und $B$ jeweils die gleiche $y$-Koordinate. Somit folgt für die $x$-Koordinate des Punktes $C_3$ mit der Formel für den Mittelwert:
$\begin{array}[t]{rll} x_{C_3}&=& \dfrac{x_A + x_B}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{-0,5 + 3,5}{2}\\[5pt] &=& 1,5\\[5pt] \end{array}$
Mit den zuvor bestimmten Koordinaten des Punktes $C_3$ in Abhängigkeit des Winkels $\phi$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1,5&=& 8 \cdot \cos \phi -1 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2,5&=& 8 \cdot \cos \phi &\quad \scriptsize \mid\; :8\\[5pt] \frac{5}{16}&=& \cos \phi &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}(\,)\\[5pt] \cos^{-1} \left(\frac{5}{16} \right)&=& \phi \\[5pt] 71,8^° &\approx& \phi\\[5pt] \end{array}$
$ \phi \approx 71,8^° $
Somit beträgt das zugehörige Winkelmaß $\phi \approx 71,79^°.$
$\blacktriangleright$  Geometrie des Dreiecks begründen
Ein Dreieck ist gleichseitig, falls alle Seiten gleich lang sind. Für die Länge der Strecke $[AC_3]$ folgt mit dem Winkel $\phi$ und den Ergebnissen aus den vorherigen Teilaufgaben:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC_3}&=& \sqrt{(8 \cdot \cos 71,8^° -1 -(-0,5))^2 + \left( \dfrac{1}{\cos 71,8^°} +2 -1\right)^2 } \text{ LE}\\[5pt] &=& \sqrt{(8 \cdot \cos 71,8^° -0,5)^2 + \left( \dfrac{1}{\cos 71,8^°} +1 \right)^2 } \text{ LE}\\[5pt] &\approx& 4,7 \text{ LE}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{AC_3} \approx 4,7 \text{ LE} $
Für die Länge der Strecke $[AB]$ gilt:
$\overline{AB}=4 \text{ LE}$
Daraus folgt $\overline{AC_3} \neq \overline{AB}$ und hiermit ist das Dreieck $ABC_3$ nicht gleichseitig.
#mittelwert
A 3.1
$\blacktriangleright$  Dreieck einzeichnen
Für das Dreieck $A_1B_1C_1$ mit $x=1$ und der Strecke $[A_1B_1]$ als Basis folgt:
Teil A
Abb. 3: Dreieck $A_1B_1C_1$
Teil A
Abb. 3: Dreieck $A_1B_1C_1$
A 3.2
$\blacktriangleright$  Länge der Strecke nachweisen
Für die Längen der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ folgt mit den gegebenen Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{A_nB_n}&=& \sqrt{(x-x)^2+ \left(4 \cdot 0,5^{x}-(4 \cdot 0,5^{x+2} -3) \right)^2} \text{ LE} \\[5pt] &=& \sqrt{ \left(4 \cdot 0,5^{x}-4 \cdot 0,5^{x+2} +3 \right)^2} \text{ LE}\\[5pt] &=& \left[4 \cdot 0,5^{x}-4 \cdot 0,5^{x} \cdot 0,5^2 +3 \right] \text{ LE} \\[5pt] &=& \left[4 \cdot 0,5^{x}-\cdot 0,5^{x} +3 \right] \text{ LE} \\[5pt] &=& \left[ 3 \cdot 0,5^{x} +3 \right] \text{ LE}\\[5pt] \end{array}$
$\overline{A_nB_n}=\left[ 3 \cdot 0,5^{x} +3 \right] \text{ LE}$
Somit gilt für die Längen der Strecken $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von $x$:
$\overline{A_nB_n}=\left[ 3 \cdot 0,5^{x} +3 \right] \text{ LE}$
A 3.3
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Mit den Längen der Strecken $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit der Abszisse $x$ und den Höhen der Dreiecke folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{A_nB_n} \cdot \overline{M_nC_n} \\[5pt] 15 &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left(3 \cdot 0,5^{x} +3 \right) \cdot 3 \\[5pt] 15 &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left(3 \cdot 0,5^{x} +3 \right) \cdot 3 \\[5pt] 15 &=& 4,5 \cdot 0,5^{x} +4,5 & \quad \scriptsize \mid \, -4,5\\[5pt] 10,5&=& 4,5 \cdot 0,5^{x} & \quad \scriptsize \mid \, :4,5\\[5pt] \frac{7}{3}&=& 0,5^{x} & \quad \scriptsize \mid \, \log(\,) \\[5pt] \log\left(\frac{7}{3}\right)&=& x \cdot \log(0,5) & \quad \scriptsize \mid \, :\log(0,5) \\[5pt] \dfrac{\log\left(\frac{7}{3}\right)}{\log(0,5)}&=& x\\[5pt] -1,22 &\approx& x \end{array}$
$ x \approx -1,22 $
Damit beträgt der zugehörige Wert $x\approx -1,22.$
Bildnachweise [nach oben]
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