Teil A

A 1.0

Trapeze $A_nB_nC_nD$ mit den parallelen Seiten $[DC_n]$ und $[A_nB_n]$ rotieren um die Gerade $SD.$

Es gilt:

$A_n \in SD$ ; $\overline{SD}=3 \,\text{cm}$ ; $\overline{A_nB_n}=4 \,\text{cm}$ ; $\sphericalangle B_nA_nD=90^°.$

Die Winkel $DSC_n$ haben das Maß $\phi$ mit $\phi \in ]0^°;53,13^°[.$

Die Zeichnung zeigt das Trapez $A_1B_1C_1D$ für $\phi =25^°.$

Abb. 1: Trapez

A 1.1

Zeichne in die Zeichnung zu A 1.0 das Trapez $A_2B_2C_2D$ für $\phi=40^°$ ein.

(1 P)

A 1.2

Zeige durch Rechnung, dass für die Längen der Strecken $[DC_n]$ und $[SA_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $\overline{DC_n}(\phi)=3 \cdot \tan \phi \,\text{cm}$ und $\overline{SA_n}(\phi)=\dfrac{4}{\tan \phi} \,\text{cm}.$

(2 P)

A 1.3

Bestätige rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von $\phi$ gilt:

$V(\phi)=\dotsc$

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(2 P)

A 2.0

Die Punkte $A(-0,5 \mid 1)$ und $B(3,5 \mid 1)$ legen zusammen mit Pfeilen $\overrightarrow{AC_n}(\phi)=\pmatrix{8 \cdot \cos \phi -0,5\\ \frac{1}{\cos \phi}+1}$ für $\phi \in [0^°;90^°[$ Dreiecke $ABC_n$ fest.

Runde im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

A 2.1

Berechne die Koordinaten der Pfeile $\overrightarrow{AC_1}$ für $\phi=40^°$ und $\overrightarrow{AC_2}$ für $\phi=80^°.$

Zeichne anschließend die Dreiecke $ABC_1$ und $ABC_2$ in das Koordinatensystem ein.

Abb. 2: Koordinatensystem

(3 P)

A 2.2

Zeige rechnerisch, dass dür die Koordinaten der Punkte $C_n$ in Abhängigkeit von $\phi$ gilt: $C_n \left(8 \cdot \cos \phi -1 \Bigg| \dfrac{1}{\cos \phi}+2 \right).$

(1 P)

A 2.3

Bestimme rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $C_n.$

(2 P)

A 2.4

Unter den Dreiecken $ABC_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $ABC_3$ mit der Basis $[AB].$

Ermittle das zugehörige Winkelmaß $\phi$ und begründe durch Rechnung, dass das Dreieck $ABC_3$ nicht gleichseitig ist.

(3 P)

A 3.0

Gegeben sind die Funktionen $f_1$ mit der Gleichung $y=4 \cdot 0,5^x$ und $f_2$ mit der Gleichung $y=4 \cdot 0,5^{x+2} -3 \, (\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}).$ Punkte $A_n\left(x \big| 4 \cdot 0,5^x \right)$ auf dem Graphen zu $f_1$ und Punkte $B_n\left(x \big| 4 \cdot 0,5^{x+2}-3 \right)$ auf dem Graphen zu $f_2$ haben dieselbe Abszisse $x.$ Die Strecken $[A_nB_n]$ sind für $x \in \mathbb{R}$ die Basen von gleichschenkligen Dreiecken $A_nB_nC_n.$ Für die Höhen $[M_nC_n]$ der Dreiecke $A_nB_nC_n$ gilt: $\overline{M_nC_n}=3 \,\text{LE}.$

Abb. 3: Graphen

A 3.1

Zeichne das Dreieck $A_1B_1C_1$ für $x=1$ in das Koordinatensystem ein.

(1 P)

A 3.2

Zeige durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: $\overline{A_nB_n}(x)=(3 \cdot 0,5^x+3) \,\text{LE}.$

(2 P)

A 3.3

Das Dreieck $A_2B_2C_2$ hat einen Flächeninhalt von $15 \,\text{FE}.$

Berechne den zugehörigen Wert für $x.$

(2 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

A 1.1

$\blacktriangleright$ Trapez einzeichnen

Für das Trapez $A_2B_2C_2D_2$ folgt mit $\phi=40^°$ :

Abb. 1: Trapez

A 1.2

$\blacktriangleright$ Längen der Strecken nachweisen

Mit dem Tangens im Dreieck $DC_nS$ folgt:

$\overline{DC_n}= 3 \cdot \tan \phi \,\text{cm}$

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Somit folgt für die Länge der Strecke $[DC_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$ :

$\overline{DC_n}=3\cdot \tan \phi \,\text{cm}.$

Mit dem Tangens im Dreieck $A_nB_nS$ folgt entsprechend:

$\overline{SD}= \dfrac{4}{\tan \phi} \,\text{cm}$

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Somit folgt für die Länge der Strecke $[SA_n]$ in Abhängigkeit von $\phi$ :

$\overline{DC_n}=\dfrac{4}{\tan \phi} \,\text{cm}.$

A 1.3

$\blacktriangleright$ Volumen des Rotationskörpers bestätigen

Der entstehende Rotationskörper ist ein Kegelstumpf. Mit der Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes folgt:

$V(\phi)=\dotsc$

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Somit ist bestätigt, dass für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers folgende Gleichung gilt:

$V(\phi)=\dotsc$

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A 2.1

$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen

Für die Koordinaten des Pfeiles $\overrightarrow{AC_1}$ folgt mit $\phi=40^°$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_1}&=& \pmatrix{8 \cdot \cos 40^° -0,5\\ \dfrac{1}{\cos 40^° }+1} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{5,6\\2,3}\\[5pt] \end{array}$

Für die Koordinaten des Pfeiles $\overrightarrow{AC_2}$ folgt entsprechend mit $\phi=80^°$ :

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC_2}&=& \pmatrix{8 \cdot \cos 80^° -0,5\\ \dfrac{1}{\cos 80^° }+1} \\[5pt] &\approx& \pmatrix{0,9\\6,8}\\[5pt] \end{array}$

Somit gelten für die Koordinaten $\overrightarrow{AC_1}(40^°) \approx \pmatrix{5,6\\2,3}$ und $\overrightarrow{AC_2}(80^°) \approx \pmatrix{0,9\\6,8}.$

$\blacktriangleright$ Dreiecke zeichnen

Für die Dreiecke $ABC_1$ und $ABC_2$ folgen mit den zuvor bestimmten Koordinaten:

Abb. 2: Dreiecke

A 2.2

$\blacktriangleright$ Koordinaten nachweisen

Für die Pfeile $\overrightarrow{AC_n}$ gilt mit den Ortsvektoren die Gleichung:

$\overline{OC_n}=\pmatrix{8 \cdot \cos \phi -1\\ \dfrac{1}{\cos \phi}+2}$

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Somit gilt für die Koordinaten $C_n\left(8 \cdot \cos \phi -1 \Bigg| \dfrac{1}{\cos \phi }+2 \right).$

A 2.3

$\blacktriangleright$ Gleichung des Trägergraphen bestimmen

Für die Gleichungen des Trägergraphen ergeben sich mit den Koordinaten der Punkte $C_n$ :

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& x&=& 8 \cdot \cos \phi -1 \\[5pt] \text{II}\quad& y&=& \dfrac{1}{\cos \phi} +2 \\[5pt] \end{array}$

Die Gleichung $\text{I}$ kann somit wie folgt nach $\cos \phi$ umgeformt werden:

$\cos \phi=\frac{1}{8} \cdot (x+1)$

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Durch Einsetzen in die Gleichung $\text{II}$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{1}{\frac{1}{8} \cdot (x+1)} +2\\[5pt] y&=& \dfrac{8}{x+1} +2\\[5pt] \end{array}$

Damit lautet die Gleichung des Trägergraphen der Punkte $C_n$ :

$y= \dfrac{8}{x+1} +2$

A 2.4

$\blacktriangleright$ Winkelmaß bestimmen

Die Basis des gleichschenkligen Dreiecks $ABC_3$ ist $[AB]$ , somit folgt, dass die $x$ -Koordinate des Punktes $C_3$ genau in der Mitte der Strecke $[AB]$ liegen muss. Hierbei besitzen die Punkte $A$ und $B$ jeweils die gleiche $y$ -Koordinate. Somit folgt für die $x$ -Koordinate des Punktes $C_3$ mit der Formel für den Mittelwert:

$\begin{array}[t]{rll} x_{C_3}&=& \dfrac{x_A + x_B}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{-0,5 + 3,5}{2}\\[5pt] &=& 1,5\\[5pt] \end{array}$

Mit den zuvor bestimmten Koordinaten des Punktes $C_3$ in Abhängigkeit des Winkels $\phi$ folgt:

$\phi \approx 71,8^°$

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Somit beträgt das zugehörige Winkelmaß $\phi \approx 71,79^°.$

$\blacktriangleright$ Geometrie des Dreiecks begründen

Ein Dreieck ist gleichseitig, falls alle Seiten gleich lang sind. Für die Länge der Strecke $[AC_3]$ folgt mit dem Winkel $\phi$ und den Ergebnissen aus den vorherigen Teilaufgaben: