Aufgabe 4
Gegeben ist die Gerade 
mit 
Punkte 
auf der Geraden 
bilden zusammen mit dem Punkt 
sowie Punkten 
und 
Parallelogramme 
Es gilt: 
Runde im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichne die Gerade sowie die Parallelogramme 
für 
und 
für 
in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 
Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Pfeile 
in Abhängigkeit von der Abszisse 
der Punkte 
![Formula: \left[\text { Ergebnis: } \overrightarrow{A B_n}(x)=\pmatrix{0,55x+3,40 \\ -0,13x+1,74}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/f586844fc3e7c03403f520cf6c4be9ed2b94a413188b85870f809d383ebb1b78_light.svg)
![Formula: \left[\text { Ergebnis: } \overrightarrow{A B_n}(x)=\pmatrix{0,55x+3,40 \\ -0,13x+1,74}\right]](https://www.schullv.de/resources/formulas/f586844fc3e7c03403f520cf6c4be9ed2b94a413188b85870f809d383ebb1b78_dark.svg)
Die Seite 
des Parallelogramms 
liegt auf der Geraden 
Berechne die Koordinaten des Punktes 
Unter den Strecken 
hat die Strecke 
die minimale Länge.
Bestimme rechnerisch die -Koordinate des Punktes 
Begründe, weshalb das Parallelogramm 
unter den Parallelogrammen 
den minimalen Flächeninhalt hat.
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Für 
ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD_n}(x) &=&\pmatrix{x-(-3) \\ 0,5 x+5-(-2)} \\[5pt] &=& \pmatrix{x+3 \\ 0,5 x+7} \\[5pt] \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8d80544c0c5ed0d952414da03677036b57d22eb5d30b6585416be1b8393861b7_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD_n}(x) &=&\pmatrix{x-(-3) \\ 0,5 x+5-(-2)} \\[5pt] &=& \pmatrix{x+3 \\ 0,5 x+7} \\[5pt] \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8d80544c0c5ed0d952414da03677036b57d22eb5d30b6585416be1b8393861b7_dark.svg)
Damit folgt für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD_n'}(x) &=&\pmatrix{\cos(-40^\circ) & -\sin(-40^\circ) \\ \sin(-40^\circ) & \cos(-40^\circ)}\odot\pmatrix{x+3 \\ 0,5 x+7}\\[5pt] &=& \pmatrix{1,09 x+6,79 \\ -0,26 x+3,47} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c5d7ed634ed604547d9fe9203772fbbef7600d09c129f406a4fa846fb3806365_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD_n'}(x) &=&\pmatrix{\cos(-40^\circ) & -\sin(-40^\circ) \\ \sin(-40^\circ) & \cos(-40^\circ)}\odot\pmatrix{x+3 \\ 0,5 x+7}\\[5pt] &=& \pmatrix{1,09 x+6,79 \\ -0,26 x+3,47} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c5d7ed634ed604547d9fe9203772fbbef7600d09c129f406a4fa846fb3806365_dark.svg)
Für ergibt sich somit:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB_n}(x) &=&0,5\cdot\pmatrix{1,09 x+6,79 \\ -0,26 x+3,47}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,55 x+3,40 \\ -0,13 x+1,74} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8d8c7c9c902e691b99e6242eab9010cf64cea68377b45d40d539ddd926f852ad_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB_n}(x) &=&0,5\cdot\pmatrix{1,09 x+6,79 \\ -0,26 x+3,47}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,55 x+3,40 \\ -0,13 x+1,74} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/8d8c7c9c902e691b99e6242eab9010cf64cea68377b45d40d539ddd926f852ad_dark.svg)
Die Steigung der Geraden entspricht der Steigung der Strecke 
Damit folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,5 &=& \dfrac{-0,13x+1,74}{0,55 x+3,40} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(0,55 x+3,40) \\[5pt] 0,275x+1,70 &=& -0,13x+1,74 &\quad\scriptsize\mid\;+0,13x-1,70 \\[5pt] 0,405x &=& 0,04 &\quad\scriptsize\mid\;:0,405 \\[5pt] x &=& 0,10 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/55209d83b971a6feff5579e8e23293776418871a4b71d9174ce4de36224bd97d_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 0,5 &=& \dfrac{-0,13x+1,74}{0,55 x+3,40} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(0,55 x+3,40) \\[5pt] 0,275x+1,70 &=& -0,13x+1,74 &\quad\scriptsize\mid\;+0,13x-1,70 \\[5pt] 0,405x &=& 0,04 &\quad\scriptsize\mid\;:0,405 \\[5pt] x &=& 0,10 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/55209d83b971a6feff5579e8e23293776418871a4b71d9174ce4de36224bd97d_dark.svg)
Damit ergibt sich 
Es gilt 
Für folgt damit:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x+3 \\ 0,5 x+7} \odot\pmatrix{1 \\ 0,5} &=& 0 \\[5pt] x+3+0,25x+3,5 &=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6,5 \\[5pt] 1,25x &=& -6,5 &\quad\scriptsize\mid\;:1,25 \\[5pt] x &=& -5,2 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5753f4fbc896600397e7001dc60a562697f8a5453bb3cdfd0b4fe0db01e84840_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x+3 \\ 0,5 x+7} \odot\pmatrix{1 \\ 0,5} &=& 0 \\[5pt] x+3+0,25x+3,5 &=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6,5 \\[5pt] 1,25x &=& -6,5 &\quad\scriptsize\mid\;:1,25 \\[5pt] x &=& -5,2 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/5753f4fbc896600397e7001dc60a562697f8a5453bb3cdfd0b4fe0db01e84840_dark.svg)
Für den Flächeninhalt des Parallelogramms 
gilt:
Da 
minimal ist, ist wegen 
auch 
minimal. Folglich ist der Flächeninhalt minimal unter allen Parallelogrammen 
